Гидравлика (лекции) - часть 3

Г и д р а в л и ч е с к и е э л е м е н т ы п о т о к а. Живым сечением

называется поверхность в

пределах потока, проведенная перпендикулярно к

линиям тока (элементарным струйкам)

. В общем

случае   эта   поверхность  криволинейная   (на   рис.   14   поверхность
ABC). Однако в большинстве случаев практической гидравлики поток
жидкости   можно   представить  параллельно-струйным   или   с   очень
малым углом расхождения струек, а за живое сечение принять плоское
поперечное  сечение  потока  (на  рис.  14  плоскость   АС).  Площадь
живого сечения обозначается буквой s.

Смоченным периметром

называется

длина части периметра

живого сечения, в

пределах которой поток соприкасается с

твердыми внешними стенками. Смоченный периметр обозначают
буквой П.

Гидравлическим радиусом

называется отношение площади живого

сечения к

смоченному периметру

R 

(67)

На рис. 15 приведены примеры поперечных сечений потока:

а) трапецеидальное; б) прямоугольное; в) круговое.

Для кругового сечения, заполненного жидкостью полностью (рис. 15, в) :





;





;



Р а с х о д ж и д к о с т и и с р е д н я я с к о р о с т ь. Расходом

жидкости называется

количество жидкости, проходящей через данное живое

сечение потока в единицу времени

Расход потока жидкости обозначают Q, а элементарной струйки –



. Единицами измерения

расхода являются: м

/сек, м

/ч или л/сек, л/ч и др.

Рассмотрим элементарную струйку (рис. 13) с поперечным сечением



и постоянной скоростью

движения частицы жидкости и. Через промежуток времени t частицы переместятся из сечения 1-1 в
сечение 2-2 на расстояние l. При этом через сечение 1-1 пройдет элементарный объем жидкости







. Разделив обе части уравнения на t, получим







но







– расход элементарной струйки (объем, прошедший через элемент живого сечения 1-1 в

единицу времени);



– скорость движения частиц жидкости (путь, пройденный частицами

жидкости за единицу времени).

Отсюда







(67a)

т. е. расход элементарной струйки равен площади

ее поперечного сечения,

умноженной на скорость в

этом сечении

. Поток жидкости в данном

живом сечении представляет совокупность (сумму) большого числа
элементарных струек, заполняющих сплошь площадь живого сечения,
поэтому для определения расхода потока через живое сечение s необходимо
взять сумму расходов



элементарных струек, т.е.







(67б)

Рис. 14.

Рис. 15.

рис. 16.

В общем случае, чтобы воспользоваться формулой (67б) для определения расхода потока, надо знать

закон распределения скоростей по живому сечению, который очень сложен или вообще неизвестен.
Поэтому для практических расчетов вводится понятие средней скорости потока.

На рис. 16 представлен график (эпюра) распределения действительных скоростей в точках живого

сечения потока, из которого видно, что скорости  по сечению распределяются неравномерно. При
действительных   скоростях  через   живое   сечение   проходит   определенный   расход  Q.   Можно  найти
некоторую постоянную для всех точек сечения фиктивную скорость, при  которой через данное
сечение проходил бы тот же самый расход, что и при действительных скоростях движения жидкости.
Эта скорость  v  будет средней  из действительных скоростей. Подставляя в формулу (67б) скорость  v
получим







, но

const

v 







, поэтому

Q 

(68)

т. е. расход жидкости в данном сечении потока равен произведению средней скорости движения
жидкости, умноженной на площадь живого сечения.

Итак, средней скоростью

потока в данном сечении

v называется такая

одинаковая для всех точек

живого сечения скорость движения жидкости, при

которой через это живое сечение проходит тот же

расход

, что и при

действительных скоростях движения жидкости

и .

Из формулы (68) можно написать

v 

(68

)

s 

(68

)

Формулы (68), (68') и (68") используются при решении основных гидравлических задач, связанных с

потоком жидкости. Их следует четко знать и запомнить.

2.3. Виды движения жидкости

Установившимся стационарным

движением

жидкости называется такое движение, при

котором в каждой данной точке основные элементы

движения жидкости – скорость движения

гидродинамическое давление

не изменяются с течением времени

, т.е. зависят только от координат

точки. Аналитически это условие запишется так:













Неустановившимся (нестационарным) движением

жидкости называется

такое движение, при

котором в каждой данной точке основные элементы движения жидкости – скорость движения и и
гидродинамическое давление р – постоянно изменяются, т.е. зависят не только от положения
точки в пространстве, но и от времени

. Аналитически это условие запишется так:













Примером установившегося движения может быть: движение жидкости в канале, в реке при

неизменных глубинах, истечение жидкости из резервуара при постоянном уровне жидкости в нем
и др. Неустановившееся движение – это движение жидкости в канале или реке при переменном
уровне или при опорожнении резервуара, когда уровень жидкости в нем непрерывно изменяется.

В дальнейшем будет изучаться главным образом установившееся движение жидкости и в

отдельных случаях будут разбираться примеры неустановившегося движения.

Установившееся движение в свою очередь подразделяется на

равномерное и неравномерное

Равномерным

называется такое установившееся движение, при котором

живые сечения вдоль

потока не изменяются: в этом случае

const

s 

; средние

скорости по длине потока также не

изменяются, т.е.

const

v 

. Примером равномерного движения является: движение жидкости в

цилиндрической трубе, в канале постоянного сечения при одинаковых глубинах.

Установившееся движение называется

неравномерным,

когда

распределение скоростей в

различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя

скорость и площадь поперечного

сечения потока могут быть

и достоянными вдоль потока

. Примером неравномерного движения

может быть движение жидкости в конической трубе или в речном русле переменной ширины.

Напорным называется движение жидкости, при котором поток полностью заключен в твердые

стенки и не имеет свободной поверхности. Напорное движение происходит вследствие разности
давлений и под действием силы тяжести. Примером напорного движения является движение
жидкости в замкнутых трубопроводах (например, в водопроводных трубах).

Безнапорным называется движение жидкости, при котором поток имеет свободную поверхность.

Примером   безнапорного   движения   может   быть:  движение   жидкости   в   реках,   каналах,
канализационных и дренажных трубах.  Безнапорное движение происходит под действием силы
тяжести   и   за   счет  начальной   скорости.   Обычно   на   поверхности   безнапорного   потока   давление
атмосферное.

Следует отметить еще один вид движения: свободную струю. Свободной струей называется поток, не

ограниченный твердыми стенками. Примером может служить движение жидкости из пожарного
брандспойта, гидромонитора, водопроводного крана, из отверстия резервуара и т. п. В этом случае
движение жидкости происходит по инерции (т. е. за счет начальной скорости) и под действием силы
тяжести.

Для упрощения выводов, связанных с изучением потока жидкости, вводится понятие о плавно

изменяющемся движении жидкости.

Плавно изменяющимся называется такое движение жидкости, при котором кривизна струек

незначительна (равна нулю или близка к нулю) и  угол расхождения между струйками весьма мал
(равен   нулю   или   близок   к  нулю),   т.   е.   практически   поток   жидкости   мало   отличается   от
параллельноструйного.   Это   предположение   вполне   оправдывается   при  изучении   многих   случаев
движения жидкости в каналах, трубах и других сооружениях.

Отметим следующие свойства потока при плавно изменяющемся движении:
1. поперечные сечения потока плоские, нормальные к оси потока;
2. распределение гидродинамических давлений по сечению потока подчиняется закону

гидростатики, т.е. гидродинамические давления по  высоте сечения распределяются по закону прямой.
Это свойство легко можно доказать, если внутри потока выделить частицу жидкости и спроектировать
все действующие на нее силы на плоскость живого сечения. Вследствие того, что скорости и ускорения в
этом   случае   будут   перпендикулярны   сечению,  силы   инерции   в   уравнение   не   войдут;   поэтому
уравнение   равновесия   и   закон  распределения   давления   в   плоскости   живого   сечения   не   будет
отличаться от такового для жидкости, находящейся в покое;

3. удельная потенциальная энергия (т. е. потенциальная энергия единицы веса жидкости) по

отношению к некоторой плоскости сравнения для всех точек данного сечения потока жидкости есть
величина постоянная.

2.4. Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости

При рассмотрении движения жидкости считают, что в потоке жидкость сплошь заполняет занимаемое

ею пространство без образования пустот, т.е. движение жидкости происходит неразрывно. В этом
случае справедливо уравнение неразрывности движения, выводимое на основе закона сохранения массы.
Получим вначале уравнение неразрывности при установившемся движении жидкости для
элементарной струйки.

Пусть имеем элементарную струйку (рис. 17). Возьмем сечение 1-

1 с площадью



и скоростью движения частиц жидкости и

Элементарный расход через сечение 1-1 [по формуле (67а), § 2.2]
равен







Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения



и скоростью u

. Элементарный расход через сечение 2-2 равен







Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность

невозможен   (см.   §  2.1);  кроме   того,   в   отсеке  12,  который   сохраняет   неизменные   размеры,   не
образуется   пустот   и  не  происходит  переуплотнений;  значит  количества жидкости,  протекающей  н
единицу времени через сечения  1-1  и  2-2, должны быть одинаковы, т.е.







. Принимая во

внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки
написать

const





















...

или

Рис. 17.

const





















...

(69)

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки, которое читается

так:

элементарный расход жидкости



при

установившемся движении есть величина

постоянная для всей элементарной

струйки

Пусть теперь имеем поток жидкости (рис. 18). Взяв в потоке два

произвольных сечения 1- 1 и 2-2 и представив живые сечения их
состоящими из суммы элементарных струек, можно написать







– расход жидкости в сечении 1-1;







–

расход жидкости в сечении 2-2.

Но поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока,

то   в   отсек  между  сечениями  1-1  и  2-2  через  боковую  поверхность
движения жидкости не  происходит;  не изменяется  и объем отсека.
Следовательно,   в   отсек   через  сечение  1-1  поступает   столько   же

жидкости, сколько за то же время выходит

Q 

. Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты

произвольно, то можно написать, что

const



...

или, выражая расход жидкости в

сечениях через среднюю скорость v, получим

const



...

(69')

Это и есть уравнение неразрывности для потока жидкости, которое читается так: расход

жидкости

через любое сечение потока при

установившемся движении есть величина постоянная

Из уравнения (69) для двух сечений можно написать



(70)

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых
сечений.

2.5. Уравнение Д. Бернулли

Уравнение Даниила Бернулли является основным уравнением гидродинамики. Ниже разбирается

это уравнение для установившегося плавно изменяющегося движения жидкости, с помощью
которого решаются основные задачи гидродинамики. Введем понятия удельной энергии
элементарной струйки и потока жидкости.

У д е л ь н а я э н е р г и я э л е м е н т а р н о й

с т р у й к и .

Напомним, что удельная энергия есть  энергия, отнесенная к единице силы
тяжести жидкости. Пусть имеем в элементарной струйке частицу массой m,
которая обладает некоторой скоростью и, находится под гидродинамическим
давлением  р,  занимает  некоторый объем  V  и находится от произвольной
плоскости сравнения  о-о  на некоторой высоте  z  (рис.  20). Масса частицы
обладает запасом удельной потенциальной энергии е

, которая складывается

из удельных потенциальных энергий положения е

пол

, и давления е

дав

. В самом

деле, масса жидкости, поднятая на высоту

z , имеет запас потенциальной энергии,

равный

mgz

, где g –

ускорение свободного падения. Удельная потенциальная энергия положения равна потенциальной
энергии, деленной на силу тяжести жидкости ( mg )

mgz

пол



(а)

Масса жидкости занимает некоторый объем V, находящийся под давлением р.

Потенциальная энергия давления равна

р V

Удельная же потенциальная

энергия давления равна

потенциальной энергии

, деленной на силу тяжести

данного объема



, т.

е.



дав



(б)

Полный запас удельной потенциальной энергии массы жидкости равен их сумме, т. е.

пол

дав





и, учитывая выражения (а) и (б), напишем







(в)

рис. 18.

рис. 20.

Кроме того, масса жидкости т движется со скоростью и и обладает кинетической энергией

; но сила тяжести этой массы равна mg, и удельная кинетическая энергия струйки равна



(г)

Складывая выражения (в) и (г), получим выражение полной удельной

энергии элементарной

струйки







(71)

Здесь

– удельная кинетическая энергия;





– удельная потенциальная энергия давления и положения.

Полная удельная энергия потока

складывается из

удельной потенциальной энергии

и удельной

кинетической энергии

потока.

Для случая установившегося плавно изменяющегося движения жидкости удельная потенциальная

энергия во всех точках живого сечения одинакова и равна

const









(д)

Поток жидкости рассматривается как совокупность п элементарных струек, каждая из которых

обладает своей удельной кинетической энергией

. Эта величина различна для разных

струек, образующих поток.

Определим среднее значение этой величины в сечении потока. Для этого действительные

скорости элементарных струек u

, u

, ..., и

заменим средней скоростью потока v; тогда среднее

значение удельной кинетической энергии потока в данном сечении равно

...

























(е)

Здесь  – коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению

потока (или корректив кинетической энергии).

Безразмерный коэффициент  представляет собой отношение действительной кинетической энергии

потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Если эпюра скоростей в сечении потока
близка к прямоугольной, т.е. скорости в разных точках близки к средней, то коэффициент Кориолиса 
близок к единице. Если же скорости в сечении значительно различаются между собой, то и
коэффициент  оказывается значительно больше единицы.

Рассмотрим, например, поток глубиной Н = 6 м, в сечении которого скорости распределены по

треугольнику, т.е. у дна скорость равна нулю и к поверхности нарастает по закону прямой до
наибольшего значения и

пов

= 3 м/сек. Средняя скорость v = 1,5 м/сек, а соответствующая ей

кинетическая энергия

118



ср

м.

Оценим кинетическую энергию потока точнее. Для этого возьмем три точки на высоте h

= 1м;

= 3 м и h

= 5 м, которые лежат посредине слоев равной высоты по 2 м каждый. Скорость в этих

точках соответственно и

= 0,5; и

= 1,5 и и

= 2,5 м/сек. Вычислим кинетическую энергию по этим

трем скоростям

153













м,

что больше, чем по средней скорости.

Коэффициент Кориолиса получается

118

153



ср



На основе обработки многочисленных данных, полученных на реках и каналах, установлено,

что для больших открытых потоков





. При равномерном движении в трубах и каналах

практически

1





В дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, для упрощения расчетов будем

принимать





. Однако следует помнить, что в некоторых случаях при неравномерном

распределении скоростей значения  могут быть значительно больше 1 (2 и более).

Складывая удельную кинетическую и удельную потенциальную энергии потока, получим формулу

полной удельной энергии потока





а учитывая выражения (е) и (д), имеем





















(72)

т.е. полная удельная энергия потока равна сумме удельной кинетической и удельной потенциальной
(давления и положения) энергий потока. Напомним, что все выводы сделаны для установившегося,
плавно изменяющегося движения жидкости.

У р а в н е н и е Д. Б е р н у л л и д л я э л е м е н т а р н о й с т р у й к и. Выделим в

установившемся потоке реальной жидкости элементарную струйку (рис. 21) и определим удельную
энергию жидкости в двух произвольных сечениях 1-1 и 2-2. Высоты положения центров первого и
второго сечений будут соответственно z

и z

; гидродинамическое давление и этих же точках р

и р

скорости течения – и

и и

. Тогда полная удельная энергия элементарной струйки в сечении 1- 1 на

основании формулы (71) равна







(ж)

а в сечении 2-2







(з)

Практически всегда

e 

, так как часть полной энергии затрачивается на преодоление сил

сопротивления (трения) при движении жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим эти потери

. Тогда в соответствии с законом сохранения энергии можно написать, что





, и, учитывая

выражения (ж) и (з), получим









(73)

Уравнение  (73) и есть  уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки  реальной жидкости при
установившемся   движении,   которое   устанавливает  связь   между   скоростью   движения,   давлением   в
жидкости и положением точки в пространстве. Оно справедливо для любых двух сечений, так как сечения
1-1  и  2-2  были взяты произвольно. Уравнение (73) можно изобразить и  графически (рис.  21).  Если

Рис.21.

соединить   уровни   жидкости   в   пьезометрах,  присоединенных   к   нескольким   сечениям,   получим
некоторую линию р-р, которая называется пьезометрической линией и показывает изменение удельной
потенциальной энергией по длине элементарной струйки. Если соединить точки, которые в каждом
сечении   вертикали   изображают  полную   удельную   энергию   (а   такие   точки   действительно   можно
получить, о  чем см. ниже), получим некоторую линию  N-N, которая называется  напорной  линией  или
линией   энергии;  она   показывает   изменение   полной   удельной  энергии   по   длине   струйки.   Тогда
расстояние по вертикали в любом сечении  между горизонтальной плоскостью  I-I, соответствующей
начальному запасу  удельной энергии в первом сечении, и напорной линией  N-N  дает величину
потерь энергии h

на преодоление сил сопротивления на участке от первого сечения до данного сечения, а

расстояние между напорной и пьезометрической линиями – удельную кинетическую энергию в
данном сечении u

/2g.

Для идеальной жидкости, где отсутствуют силы трения, в уравнении (IV.7) h

= 0 и уравнение

Бернулли принимает вид









(73

)

Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то в общем виде уравнение Бернулли для

элементарной струйки идеальной жидкости записывается так:

const







(73")

У р а в н е н и е Д. Б е р н у л л и д л я п о т о к а . Рассмотрим поток при установившемся, плавно

изменяющемся движении (рис. 22). Выберем произвольно два сечения 1-1 и 2-2, по осям которых
соответственно имеем z

и z

– вертикальные координаты оси потока над произвольной плоскостью

сравнения о-о, р

и p

гидродинамические давления, в тех же точках v

и v

– средние скорости в сечениях

1-1 и 2-2.

Полную удельную энергию потока определяем по формуле (72): сечение 1-1









сечение 2-2









Очевидно

E 

, так как часть энергии потратится

на преодоление сил сопротивления (трения).
Обозначим потерю энергии на этом участке –



Тогда можно написать, что







и, подставляя

значения

, получим

















(74)

Уравнение  (74) называется  уравнением Д. Бернулли для
потока  жидкости  и является  основным уравнением
гидродинамики;   с   его   помощью  получены   многие
расчетные формулы и решается ряд практических задач.
Уравнение Бернулли устанавливает математическую связь
между основными элементами движения жидкости, т. е.
средней скоростью и гидродинамическим давлением.

2.6. Истолкование уравнения Д. Бернулли

Рассмотрим смысл уравнения Бернулли с точек зрения гидравлической, геометрической и

энергетической.

Рис.22.

Г и д р а в л и ч е с к о е и с т о л к о в а н и е у р а в н е н и я Д. Б е р н у л л и. С точки зрения

гидравлики каждый член уравнения Бернулли (74) имеет свое название, а именно:

1. Первый член правой и левой частей уравнения Бернулли



называется

скоростным напором в сечениях 1-1 и 2-2.

Скоростной напор можно наблюдать в действительности. Если

например   в   точке   А   (рис.  23)   рядом   с   пьезометром   поставить
изогнутую  трубку,   обращенную   отверстием   навстречу   потоку,  то
уровень жидкости в этой трубке будет выше уровня в пьезометре на
высоту, равную  скоростному   напору   в   той   точке,   где   находится

отверстие трубки

. Эта трубка называется

гидрометрической, или трубкой Пито. Зная разницу уровней в трубке
Пито и пьезометре, можно определить скорость движения
жидкости в этой точке.

2. Второй член правой и левой частей уравнения



называется пьезометрической высотой (если учитываем манометрическое давление), или приведенной
высотой давления (если учитываем абсолютное давление). Как правило, в расчет принимается
манометрическое давление, поэтому в дальнейшем



будем называть пьезометрической

высотой.

3. Третий член правой и левой частей уравнения

называется высотой положения

точки живого сечения над плоскостью сравнения.

4. Четвертый член правой части уравнения h

называется потерей напора при движении жидкости

между сечениями 1-1 и 2-2.

Напомним, что сумма пьезометрической высоты



и высоты положения z во всех точках

живого сечения установившегося, плавно изменяющегося потока одна и та же, т.е.

const







называется пьезометрическим напором.

Сумма скоростного напора



и пьезометрического напора





называется

гидродинамическим напором









(75)

Учитывая выражение (75), уравнение Д. Бернулли можно написать в следующем виде:





(76)

Таким образом, с гидравлической точки зрения уравнение Д. Бернулли может быть прочитано так:

гидродинамический напор в данном сечении потока жидкости равен гидродинамическому
напору в другом сечении (лежащем ниже по течению) плюс потеря напора между этими
сечениями.

Г е о м е т р и ч е с к о е и с т о л к о в а н и е у р а в н е н и я Д. Б е р н у л л и. В связи с тем,

что все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, его можно представить графически
(см. рис. 22), отложив в каждом сечении от плоскости сравнения о-о по вертикали отрезки,

выражающие в определенном масштабе





. Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию рр по

верхним точкам пьезометрического напора, получим так называемую пьезометрическую линию,
которая показывает изменение пьезометрического напора по длине потока. Если расстояние между
сечениями но длине потока равно l, то можно получить изменение пьезометрического напора на
единицу длины потока. Обозначив эту длину J

, называемую средним пьезометрическим уклоном

на данном участке, получим



































(77)

Рис. 23

содержание .. 1 2 3 4 ..