Гидравлика (лекции) - часть 2

величину 

п

h

 называют пьезометрической высотой.

Если давление в точках какого-либо объема жидкости         меньше атмосферного (

AT

p

p 

), то

такое   состояние   называется   вакуумом.         Для         его   характеристики     вводится   понятие
вакуумметрического давления (

B

p

), под которым подразумевается  недостаток данного давления

до атмосферного

p

p

p

AT

B





.

(43)

Соответствующая высота называется вакуумметрической

 

 :  

g

p

g

p

p

h

B

AT

B











.

(44)

На рис. 3 и 4 показаны вакуумметрические высоты для случаев вакуума в капельной жидкости

и газе. Давление измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В системе СИ
единицей   давления   служит   Н/м

2

  =  Па   (паскаль),   а   в   технической   системе  –  кгс/см

2

  =  ат

(техническая атмосфера). Наряду с этими, как следует из (42) и (44), давление можно, измерять в
единицах длины столба данной жидкости.

Общей формулой перевода единиц давления в линейные единицы является

g

p

h





.

(45)

При выражении давления  высотой столба  жидкости  чаще всею применяют метры  водяного

столба, миллиметры ртутного столба и миллиметры спиртового столба.

Гидростатический   закон   распределения   давления,   выраженный   формулой  (34),  справедлив,

очевидно,   для   любого   положения   координатной   плоскости  хОу.  Эту   плоскость   называют

плоскостью   сравнения,   а   величину  

g

p

z

H

CT







–   гидростатическим   напором.   Величину

g

p

z

H

и

п







,  где  

и

p

– избыточное  давление, называют пьезометрическим напором. Из формулы

(34)  следует,   что   напоры  

CT

H

  и  

п

H

  постоянны   для   всех   точек   данной   массы   покоящейся

жидкости.

9

рис.  3.  Абсолютное  давление  в  точке  М  может  быть 

выражено  через  приведенную  высоту    или  через 
пьезометрическую высоту . Абсолютное давление в точке 
N,  где  имеет  место  вакуум,  выражается  через 
вакуумметрическую высоту: 

рис.  4.  Вакуумметрическая  высота  характеризует 

недостаток давления до атмосферного 

2.

    Силы давления жидкости на твердые поверхности

 

 

В   общем   случае   воздействие   жидкости   на   твердую   поверхность  S  сводится   к   сумме

элементарных сил  

F

d



, действующих на малых площадках  dS,  составляющих эту поверхность

(рис. 5).

Если  

n



  –  единичный вектор нормали к поверхности  S,  внешней к объему жидкости, а   p –

давление на площадке dS, то сила 

dS

n

p

F

d







.

Суммируя систему сил 

F

d



, получаем выражение для главного вектора





S

dS

n

p

F





,

(46)

называемого силой давления жидкости на поверхность 

 

 S

  ,   и выражение для главного момента







S

dS

n

p

r

M







,

(47)

где  

r

  –   радиус-вектор   площадки  

dS

  относительно   центра

приведения системы сил.
Рассмотрим несколько частных случаев.

2.1.  Равномерное   давление   на   плоскую   стенку   (

 

 р  =

  const

 

 .,  

п

=

   const

 

 ).

  

В этом случае суммируемые векторы 

F

d



 составляют систему

параллельных и одинаково направленных сил. Такая система
всегда может быть сведена только к силе давления 

F



. При р =

const и n = const из выражения (46) получаем

S

n

p

F









.

(48)

Линия   действия   силы  

F



  проходит   через   центр   тяжести

площади S.
Равномерное давление может создаваться покоящимся газом,
так   как   благодаря   малой   его   плотности   можно     пренебречь
действием массовых сил и считать давление одинаковым во

всех точках газа.

Равномерное   давление   может   создаваться   и   капельной   жидкостью,   например,   при   ее

воздействии на горизонтальные площадки, в случае абсолютного покоя или движения сосуда с
ускорением вверх или вниз.

Величина   силы  

F



  при   равномерном   распределении   давления   не   зависит   от   ориентации

плоской стенки S в пространстве и вычисляется по формуле 

S

p

F 

.

Например, для схемы на рис. 6 давление на дне 

0

0

h

g

p

p







, а сила 





0

0

0

S

h

g

p

F







. Заметим,

что сила давления на дно не зависит от формы сосуда (гидростатический парадокс).

2.2. Сила равномерного давления на криволинейную стенку (

const

p 

, 

const

n 



)

В   этом   случае   элементарные   силы  

F

d



  имеют   разные   направления.   Главный   вектор  

F



системы вычисляется через свои проекции. Чтобы найти его проекцию 

x

F

 на ось х , проектируем

на эту ось векторы 

n

F

d

F

d







 (рис.7).

10

Рис. 

5. 

Схема 

к 

определению 

силы 

давления 

покоящейся 

жидкости 

на 

твердую 

поверхность.

Рис. 6. Гидростатический 

парадокс

Рис. 

7 

Схема 

к 

определению 

силы 

равномерного  давления 
на 

криволинейную 

поверхность





x

x

dS

p

dS

x

n

p

n

x

dS

p

dF







0

0

,

cos





,

где 

0

x



 – единичный вектор оси x; 

x

dS

– проекция площадки dS на плоскость, нормальную оси х.

Искомая величина 

x

F

 при 

const

p 

 

x

s

x

S

x

S

p

dS

p

dS

nx

p

F

x











cos

.

(49)

Линия   действия   силы  

x

F

  проходит   через   центр   тяжести   площади   проекции  

x

S

.  Таким

образом,  величина   проекции   на   направлении   оси  

 

 x    силы   равномерного   давления  

 

 р    на

 

 

криволинейную   поверхность

 

     S    равна   произведению   давления   и   площади   проекции  

 

 S  

x

  этой

криволинейной поверхности на плоскость. нормальной оси 

 

 х  . Если такие проекции на три взаимно

ортогональные оси пересекаются в одной точке, то система сил 

F

d



 может быть сведена только к

силе давления, величина которой

2

2

2

z

y

x

F

F

F

F







,

(50)

а направление определяется направляющими косинусами





P

F

x

F

x



,

cos

; 





P

F

y

F

y



,

cos

; 





P

F

z

F

z



,

cos

.

(51)

Если составляющие не пересекаются в одной точке, система сводится к силе и моменту.

2.3. Сила неравномерного давления на плоскую стенку

 

  (

  

const

p 

, 

const

n 



).

Систему   элементарных   сил  

F

d



,  одинаковых   по   направлению,   но   различных  по   величине,

можно свести в данном случае к одной силе давления





S

dS

p

n

F





,

(52)

где S – площадь стенки.
Величина этой силы





S

dS

p

F

(53)

зависит   от   закона   распределения   давления  Р  по
площади S. При воздействии на S капельной жидкости
эти   законы   могут   быть   различными.   Их   конкретный
вид зависит от ориентации площадки и действующих
на   жидкость   массовых   сил   при   абсолютном   и
относительном покое.

Вычислим   силу

 

F



 

для   плоской   стенки,

наклоненной к горизонту под углом  и подверженной
воздействию     тяжелой   жидкости,   находящейся   в
состоянии абсолютного покоя (рис. 8).

11

Рис.  8.  Схема  к  определению  силы 
неравномерного  гидростатического 
давления на плоскую стенку

Определим   результирующую   силу   избыточных   давлений  

и

p

,   которые   создаются   внешним

избыточным 

0

0



и

p

 и весовым 

h

g



 давлениями. Заменим внешнее давление 

и

p

0

 воздействием

эквивалентного слоя жидкости, толщина, которого 

П

h

 определяется высотой поднятия жидкости

в   пьезометре  

g

p

p

и

П



0



.   Таким   образом,   внешнее   давление   из   рассмотрения   исключается,   и

свободная поверхность СП заменяется пьезометрической плоскостью ПП. Продолжим плоскость
стенки до пересечения с пьезометрической плоскостью. Вдоль линии их пересечения направим
ось х, а ось у расположим в плоскости стенки. Затем для наглядности повернем плоскость стенки
на 90° вокруг оси у и совместим стенку с плоскостью чертежа.

Величину силы вычислим по формуле (53):





S

и

dS

p

F

.

В рассматриваемом случае (см. рис. 8) давление









sin

y

g

g

p

и





,

(54)

что при подстановке в формулу (53) дает





S

dS

y

g

F



 sin

.

Интеграл  



S

dS

y

  представляет собой статический момент площади  S  относительно оси  Ох,

равный, как известно, произведению S на координату 

c

y

 ее центра тяжести.

Поэтому

S

g

p

h

g

S

g

S

y

g

F

и

c

c

c

































0

sin

.

(55)

Формула (55) может быть записана в двух видах

S

p

F

Cи



,

(56)

где 

















g

p

h

g

p

и

c

Cи





0

 – избыточное давление в центре тяжести площади S, или

S

h

g

S

p

F

c

и







0

.

(57)

Согласно (56) величина силы избыточного давления покоящейся жидкости на плоскую стенку

равна произведению площади стенки на избыточное давление в ее центре тяжести.

Вектор силы 

F



 направлен по нормали к стенке S:

F

n

F







,

а   линия   действия   этой   силы   пересекает   стенку   в   некоторой   точке  D,  называемой   центром
давления.   Для   отыскания   координат   этой   точки   (

D

D

y

x ,

)   используем   теорему   о   равенстве

момента   равнодействующей   и   суммы   моментов   составляющих,   которая   в   данном   случае
выражается уравнением









S

и

D

dS

p

n

r

F

r









,

(58)

где  

D

r



  и   r



  –  радиус-векторы соответственно  центра давления  D  и произвольной точки  (ху)

площади S.

По правилам составления проекций векторного произведения находим





S

и

D

dS

p

y

F

y

; 





S

и

D

dS

p

x

F

x

.

Учитывая выражения (54) и (55), получим

.

;

2

S

y

dS

y

y

S

y

dS

y

x

x

C

S

D

C

S

D









(59)

12

Более   удобные   выражения   для 

D

x

  и  

D

y

  получим,   если   воспользуемся   теоремой   о

соотношении между моментами второй степени, взятыми относительно параллельных осей

/

/

y

x

C

C

S

J

S

y

x

dS

y

x







; 

/

2

2

x

c

S

J

S

y

dS

y







,

где 

/

/

y

x

– оси координат, проходящие через центр тяжести С площадки S параллельно осям х

и у;  

C

x

  и  

C

y

  – координаты  центра тяжести С в системе  xу;  

/

/

y

x

J

  –  центробежный момент

площади S относительно осей х и у ; 

/

x

J

 – момент инерции площади S относительно оси х (см.

рис. 8). Окончательно,

S

y

J

x

x

C

y

x

C

D

/

/





; 

S

y

J

y

y

C

x

C

D

/





.

(60)

Вторая из формул  (60)  показывает, что центр давления расположен ниже центра тяжести на

величину 

S

y

J

C

x

/

.

Возвращаясь к формуле  (57),  заметим, что силу давления в рассматриваемом случае можно

получить, складывая независимо вычисленные две силы: 

S

p

F

и

0

0



 и 

S

h

g

F

C

B





, где 

0

F

– сила

внешнего избыточного давления,  

B

F

– сила весового давления. При таком способе определения

силы  F  следует помнить, что линии действия сил 

0

F

 и 

B

F

 не совпадают, и центр давления D

определяется линией действия суммарной силы 

B

F

F

F











0

.

2.4.  Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность  (

const

p 

,  

const

n 



)

может   быть   создано   тяжелой   жидкостью   при   абсолютном   или   относительном   покое.
Элементарные   силы  

F

d



  составляют   в   этом   случае   самую   общую   систему,   которая   должна

сводиться к силе давления 

F



 (46) и моменту 

M



 (47). Однако существуют частные случаи,, когда

система сводится к одной силе давления  

F



, например, если линии действия элементарных сил

F

d



 пересекаются в одной точке (сферическая стенка).

Рассмотрим   криволинейную   поверхность  S,   находящуюся   под   воздействием   внешнего

избыточного   давления  

0

0



и

p

  и   весового   давления  

z

g



  (рис.9).   Как   было   показано   в

предыдущем пункте, задачу отыскания силы давления можно расчленить, определяя раздельно
силы весового и внешнего давлений. Эту же задачу можно свести к задаче об определении только
весового давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного слоя жидкости.

13

рис. 

9. 

Схема 

к 

определению 

силы 

неравномерного 
давления 

на 

криволинейную 
поверхность

Силу весового давления 

F



 определим по ее проекциям. Горизонтальная проекция

























S

x

S

S

S

x

x

dS

z

g

dS

x

n

z

g

dS

x

n

p

dP

F





cos

cos

,

где  





x

n

dS

dS

x

cos



  – проекция площадки  dS  на вертикальную плоскость, нормальную к оси  х.

Последний интеграл представляет  собой  статический  момент площади 

x

S

 относительно оси y.

Следовательно,

x

Cx

x

S

z

g

F





,

(61)

где 

Cx

z

– координата центра тяжести площади 

x

S

.

Аналогично получим

y

Cy

y

S

z

g

F





,

(62)

где 

y

S

– площадь проекции криволинейной поверхности на плоскость, нормальную оси y.

Таким   образом,   чтобы   вычислить   горизонтальную   проекцию  





y

x

i

F

i

,



  силы   весового

давления на криволинейную поверхность, следует площадь проекции  

i

S

  этой поверхности  на

плоскость, нормальную к рассматриваемой горизонтальной оси, умножить на давление в центре
тяжести площади 

i

S

.

Проекция силы весового давления на вертикальную ось определится соотношением













z

S

z

S

z

dS

z

g

dS

z

n

z

g

P





cos

,

(63)

где 

z

S

– проекция на плоскость х0у поверхности S.

Последний   интеграл   представляет   собой   объем   тела  

ТД

W

,  ограниченного   поверхностью  S,

цилиндрической   боковой   поверхностью  

бв

S

  с   вертикальными   образующими   и   проекцией 

z

S

криволинейной поверхности  S  на свободную поверхность жидкости. Это тело называется телом

давления, а величина 



S

z

z

dS

z

g



 есть вес жидкости в его объеме.

Таким образом, вертикальная проекция силы весового давления на криволинейную поверхность

равна весу жидкости в объеме тела давления.

Величина  F  силы 

F



 определится формулой

2

2

2

z

y

x

F

F

F

F







,

(64)

а направление линии ее действия – направляющими косинусами





F

F

x

n

x



cos

; 





F

F

y

n

y



cos

; 

 

F

F

z

n

z



cos

.

(65)

Если  

x

F

,  

y

F

  и  

z

F

  пересекаются   в   одной   точке,   то   система   сводится   к   силе   давления,

проходящей через эту точку.

Возможны два случая расположения криволинейной поверхности (рис. 10  а и б) под уровнем

жидкости.   В   первом   случае   жидкость   расположена   над   твердой   поверхностью;   тело   давления
заполнено   жидкостью   и   считается   положительным,   а   вертикальная   составляющая   силы

Рис. 10. Два вида давления

Рис.  11.  Архимедова  сила  А 
равна  весу  жидкости  в 
объеме погруженного тела

14

направлена   вниз.   Во   втором   случае   тело   давления   не   заполнено   жидкостью   и   считается
отрицательным; вертикальная сила давления направлена вверх.

Если криволинейная поверхность  S  замкнута и полностью погружена под уровень абсолютно

покоящейся жидкости (рис.  11),  то воздействие жидкости сводится к одной вертикальной силе.
Действительно, для любой горизонтальной оси существуют две противоположно направленные и
равные по величине силы, действующие на тело; поэтому результирующая горизонтальных сил
равна   нулю.   Чтобы   найти   вертикальную   силу,   проектируем  S  на   свободную   поверхность
жидкости. Проектирующие вертикали отметят на поверхности тела замкнутую линию  l,  которая
делит поверхность на две части 

B

S

 и 

H

S

. Для верхней части 

B

S

 тело давления положительно и

соответствующая   ему   сила   направлена   вертикально   вниз,   а   для   нижней  

H

S

  –   тело   давления

отрицательно и сила направлена вверх. Обозначив объемы этих тел давления соответственно через

B

V

 и 

H

V

, найдем величину результирующей вертикальной силы А:





m

B

H

V

g

V

V

g

A











,

(66)

где 

m

V

– объем тела.

Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на погруженное в нее тело направлена

вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела. Этот результат составляет содержание
закона Архимеда: сила А называется архимедовой или гидростатической подъемной силой. Если G
– вес тела, то его  плавучесть определяется соотношением сил А и  G. При  

A

G 

  тело тонет, при

A

G 

 – всплывает, при G = А – плавает в состоянии безразличного равновесия.  Следует иметь в

виду, что линии действия сил  G и А могут не совпадать, так как  линия действия веса  G  проходит
через центр тяжести тела, а линия действия  архимедовой силы А – через центр его объема. При
неравномерном  распределении   плотности   тела   может   появиться   момент,   способствующий
опрокидыванию тела.

В заключение отметим, что сила давления жидкости по криволинейной поверхности в случаях

относительного покоя может быть определена общим  способом суммирования элементарных сил
давления, применительно к заданной форме поверхности и условиям относительного покоя.

2. ГИДРОДИНАМИКА

2.1 Основные понятия гидродинамики

О с н о в н ы е   э л е м е н т ы   д в и ж е н и я   ж и д к о с т и .   Причинами   движения

жидкости   являются   действующие   на   нее   силы:  объемные   или   массовые   силы   (сила   тяжести,
инерционные силы) и  поверхностные силы (давление, трение). В отличие от гидростатики, где
основной   величиной,   характеризующей   состояние   покоя   жидкости,   является  гидростатическое
давление,   которое   определяется   только   положением   точки   в  пространстве,   т.е.  





z

y

x

f

p

,

,



,  в

гидродинамике   основными   элементами,  характеризующими   движение   жидкости,   будут   два:
гидродинамическое 

 

 давление и скорость движения (течения) жидкости.

 

     

Гидродинамическое   давление  р   –  это   внутреннее   давление.  развивающееся   при   движении

жидкости.   Скорость   движения   жидкости   в   данной   точке  и   –  это   скорость   перемещения
находящейся в данной точке  частицы жидкости, определяемая длиной пути  l, пройденного этой
частицей за единицу времени t.

В общем случае основные элементы движения жидкости р и и для данной точки зависят от ее

положения в пространстве (координат точки) и  могут изменяться во времени. Аналитически это
положение гидродинамики записывается так:





t

z

y

x

f

p

,

,

,

1



,





t

z

y

x

f

u

,

,

,

2



.

Задачей гидродинамики и является определение основных элементов движения жидкости 

 

 р 

   и 

   u  ,  

установление взаимосвязи между ними и законов  

 

 изменения их при различных случаях движения

 

 

жидкости.  

Т р а е к т о р и я   ч а с т и ц ы . Е сли  в  массе   движущейся   жидкости   взять   какую-либо   частицу

жидкости   и  проследить   ее   путь   за   какой-то  промежуток   времени  

t



  (конечный,   достаточно

15

большой), то можно получить некоторую линию, выражающую геометрическое место этой точки в
пространстве за время 

t



.

Л и н и я   т о к а .   Если в массе  движущейся  жидкости  в данный

момент времени t взять какую-либо точку 1 (рис. 12), то можно в этой
точке   построить  вектор   скорости  и

1

,  выражающий  величину   и

направление скорости движения частицы жидкости в данной точке 1 в этот
момент времени.

В   тот   же   момент   времени  t  можно   взять   и   другие   точки   в

движущейся жидкости, например, точки 2, 3, 4,. . . . . .  в которых также
можно построить векторы скоростей u

2

, u

3

, и

4

,…  выражающие скорость

движения других частиц жидкости в тот же момент.

Можно выбрать точки  1, 2, 3, 4. . .  и провести через них плавную

кривую,   к   которой   векторы   скоростей   будут   всюду   касательны.   Эта
линия и называется линией тока.

Таким образом,  линией тока  

 

 называется линия, проведенная через ряд точек в движущейся

 

 

жидкости так, что в данный момент времени векторы скорости частиц жидкости, находящихся в
этих   точках,   направлены   по   касательной   к   этой   линии.   В   отличие   от   траектории,   которая
показывает путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени  

t



,

линия тока соединяет разные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся
жидкости в момент времени  t. Через заданную  точку в данный момент времени можно провести
только одну линию тока.

Если   в   данных   точках   движущейся   жидкости   величина   и   направление   скорости   и

гидродинамическое   давление   с   течением   времени   не   изменяются   (такое   движение   называется
установившимся), то и линия тока, и траектория частицы, оказавшейся на ней, совпадают и со
временем не изменяются. В  этом случае траектории частиц являются и линиями тока.

Э л е м е н т а р н а я   с т р у й к а .

  Если   в   движущейся

жидкости   выделить  весьма   малую   элементарную   площадку  

s



,

перпендикулярную направлению течения, и  по контуру ее провести
линии тока, то полученная поверхность называется трубкой тока, а
совокупность линий тока, проходящих сплошь через площадку 

s



,

образует так называемую элементарную 

 

 струйку

 

  (рис. 13).

Элементарная струйка характеризует состояние движения жидкости в
данный  момент   времени  t.   При   установившемся   движении
элементарная струйка имеет следующие свойства:

1. форма  и положение элементарной струйки с течением времени остаются неизменными, так как не

изменяются линии тока;

2. приток жидкости в элементарную струйку и отток из нее через боковую поверхность невозможен,

так как по контуру элементарной струйки скорости направлены по касательной;

3.   скорость   и   гидродинамическое   давление   во   всех   точках   поперечного  лечения элементарной

струйки можно считать одинаковым ввиду малости площади 

s



.

П о т о к .     Совокупность   элементарных   струек   движущейся   жидкости,  

 

 проходящих       через

 

 

площадку     достаточно     больших     размеров, называется  

 

 потоком жидкости

 

 .  Поток ограничен

твердыми   поверхностями,   по   которым  происходит   движение   жидкости   (труба),   и   атмосферой
(река, лоток, канал и т.п.).

2.2 Понятие о потоке жидкости.

рис. 12.

Рис. 13

16