Гидравлика (лекции)

Гидравлика

1. Введение.

Механика материальной точки и механика твердого тела - это предмет изучения теоретической

механики. Наряду с твердыми телами в природе существуют жидкости и газы. Законы
механического движения жидкостей изучает гидромеханика. В гидромеханике, как и в механике
твердых тел, выделяют кинематику жидкости, гидростатику и гидромеханику.

Кинематика жидкости является разделом гидромеханики, в котором движение изучается вне

зависимо от действующих сил; в кинематике устанавливается связь между геометрическими
характеристиками движения и временем.

Гидростатика изучает законы равновесия (покоя) жидкости.
Гидродинамика изучает законы движения жидкости.
В зависимости от теоретической или прикладной направленности употребляют наименования

теоретическая или прикладная гидромеханика.

2. Жидкости и их свойства.

Материальные тела могут находится в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и

газообразном. Каждое из этих состояний характеризуется специфическими свойствами, которые
определяются особенностями их молекулярной структуры, непосредственно связанной с силами
взаимодействия молекул. Этими силами являются силы притяжения и отталкивания, действующие
одновременно и зависящие от расстояния между частицами.

На примере двух изолированных молекул (рис. 1) на расстоянии

сила взаимодействия равна

нулю, то есть силы отталкивания уравновешивают силы притяжения. При

r 

результирующей

силой является сила притяжения, которая растет по абсолютной величине, достигая максимума
при

r 

, а затем уменьшается. При

r 

– силы отталкивания. Молекула в поле этих сил

обладает потенциальной энергией

 

, которая связана с силой f(r) дифференциальным

соотношением

dE=-f(r)dr

(1)

В точке

r 

 



 

достигает экстремума (минимума). В твердых (кристаллических)

телах молекулы располагаются на расстоянии

, где потенциальная энергия минимальна,

образуя кристаллическую решетку. Тепловое движение – колебание атомов в узлах решетки.
Средняя кинетическая энергия теплового движения - kT , она много меньше энергии связи
молекулы в узле решетки, т. е.



(2)

Отсюда – устойчивость сохранения объема и формы твердого тела.
В газе межмолекулярное расстояние

10r



, что соответствует слабым силам притяжения и

малой потенциальной энергии. Тепловое движение доминирует над силами притяжения



(3)

Молекулы практически свободны. Свободное беспорядочное движение молекул газа

обуславливает его расширение во все стороны, поэтому газ не имеет определенного объема и
собственной формы, а занимает объем и принимает форму сосуда, в котором он находится.

Жидкости по молекулярному строению занимают промежуточное положение между

кристаллическим твердым телом и газом



(4)

Поэтому они обладают плотностью близкой к твердому телу, устойчиво сохраняют величину

занимаемого ими объема, но не держат форму.

Сложность молекулярного строения жидкости затрудняет получение теоретическим путем

достаточно общих связей между молекулярными характеристиками и наблюдаемыми свойствами:
температурой, давлением плотностью, вязкостью и др. Поэтому в гидродинамике пользуются
экспериментально установленными значениями для этих величин и связями между ними.

Основными параметрами, характеризующими термодинамическое состояние жидкости,

являются температура Т, давление р и плотность ρ.

Связь между плотностью, температурой и давлением устанавливается уравнением состояния,

которое   для   реальных   жидкостей   и   газов   выводится   в   кинетической   теории.   Однако   ввиду
сложности   общего   уравнения   состояния   и   затруднительности   определения   входящих   в   него
констант,   для   качественного   анализа   свойств   этих   сред   пользуются   приближенными
теоретическими или эмпирическими уравнениями.

Другой термодинамической характеристикой жидкости является сжимаемость.
Количественно сжимаемость оценивается изотермическим коэффициентом сжимаемости:

p 






















(5)

где



– удельный объем,







. Жидкости, в отличие от газов, обладают малой

сжимаемостью. Коэффициент сжимаемости большинства жидкостей лежит в пределах









(Н/м

)

-1

. Для всех жидкостей он уменьшается с возрастанием давления и

возрастает с повышением температуры.

Объем жидкостей и газов изменяется не только при изменении давления, но и при изменении

температуры. Как правило, жидкости и газы расширяются с повышением температуры, а
плотность их при этом уменьшается. Исключение составляет вода, плотность которой возрастает
при повышении температуры от 0 до 4 °С и достигает максимума при 4 °С. Такая аномалия
объясняется особенностями молекулярного строения воды.

Количественно изменение объема при изменении температуры и постоянном давлении

оценивается коэффициентом теплового объемного расширения



















(6)

У жидкостей этот коэффициент зависит от температуры и давления, возрастая с повышением

первой и уменьшаясь с увеличением второго.

Молекулярные движения в жидкостях и газах обусловливают сопротивление этих сред

сдвигающим усилиям.

Рис. 1. Зависимость потенциальной энергии молекул и силы

взаимодействия от расстояния между их центрами.

Механизм возникновения силы сопротивления можно представить следующим образом. Слой

жидкости, прилегающей к пластинке, прилипает к ней и движется вместе с пластинкой со
скоростью

. Вследствие молекулярных связей этот слой увлекает за собой следующий и т. д.

Поскольку нижний слой примыкает к неподвижной пластинке, его скорость равна нулю. Таким
образом, в жидкости возникает слоистое движение с некоторым распределением скоростей по

высоте и =f(y).

В рассматриваемом случае распределение скоростей линейное. Вследствие действия

межмолекулярных связей между движущимися слоями жидкости возникают силы вязкости или
внутреннего трения. Ньютон указал на те параметры, от которых зависит величина этой силы



Для рассматриваемого слоистого движения











– касательное напряжение

(7)

где μ – динамический коэффициент вязкости; S – площадь соприкосновения слоев;

–

градиент скорости, являющийся показателем интенсивности изменения величины скорости по
нормали к ее направлению.

Динамический коэффициент вязкости μ является основной количественной

характеристикой вязкости жидкостей и газов.

Наряду с динамическим коэффициентом вязкости в гидрогазодинамике широко используют

кинематический коэффициент вязкости ν, определяемый соотношением









(8)

где



– плотность жидкости.

Единицей измерения кинематического коэффициента вязкости служит м

/с.

3. Гипотеза сплошности среды.

В гидромеханике рассматриваются макроскопические движения жидкостей и газов, а также

силовое взаимодействие этих сред с твердыми телами. При этом, как правило, размеры
рассматриваемых объемов жидкостей, газов и твердых тел оказываются несопоставимо большими
по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Это естественно,
поскольку межмолекулярные расстояния в жидкостях составляют всего





см.

Указанные обстоятельства позволяют ввести гипотезу сплошности изучаемой среды и заменить

реальные дискретные объекты упрощенными моделями, представляющими собой материальный
континуум, т. е. материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему. Такая
идеализация упрощает реальную дискретную систему и позволяет использовать для ее описания
хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых и теорию
непрерывных функций.

Параметры, характеризующие термодинамическое состояние, покой или. движение среды,

считаются при этом непрерывно изменяющимися по всему объему, занятому средой, кроме, быть
может, отдельных точек, линий или поверхностей, где могут существовать разрывы.

Теоретические результаты, подученные для гипотетической сплошной среды, тем лучше

совпадут с результатами наблюдений, чем полнее и точнее учтены в ней свойства реальных
жидкостей и газов. К сожалению, идеализацию среды во многих случаях не удается ограничить
только допущением ее сплошности. Сложность изучаемых явлений заставляет отказываться от

Рис. 2. Слоистое движение в жидкости.

учета и некоторых других свойств реальных сред. В зависимости от тех свойств, которые
приписываются гипотетической сплошной среде, получают различные ее модели.

Гипотеза сплошности среды означает, что всякий малый элемент объема жидкости считается

все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно
этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будем
подразумевать «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем достаточно малый по сравнению
с объемом жидкости, но большой по сравнению с молекулярными расстояниями.

Согласно гипотезе сплошности масса среды распределена в объеме непрерывно и в общем

неравномерно. Основной динамической характеристикой среды является плотность
распределения массы по объему или просто плотность среды.

Плотность среды



в произвольной точке А определяется соотношением

lim











(9)

где M



– масса, заключенная в малом объеме



, включающем точку А; предел берется при

стягивании объема



к этой точке.

Наряду с плотностью в рассмотрение вводится понятие удельного объема  , который

представляет собой объем, содержащий единицу массы:







(10)

Плотность среды может изменятся от точки к точке и в данной точке со временем, т. е.









(11)

Аналогично для давления имеем





p 

. Как известно, по двум термодинамическим

величинам с помощью уравнения состояния вещества могут быть определены все
термодинамические величины. Таким образом, задание пяти величин: трех компонентов скорости

(x,





, давления и плотности полностью определяет состояние движущейся жидкости.

Подчеркнем, что

(x,





есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z

пространства в момент времени t.

Однако эта функциональная связь не является непосредственной, так как плотность жидкостей

и газов определяется фактически значениями термодинамических параметров состояния (р и Т),
которые при движении среды зависят от координат (х, у, z) и времени (t).

Математическое описание движения жидкой среды общими дифференциальными

уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, оказывается весьма
сложной задачей. Если даже ограничится учетом только текучести, вязкости и сжимаемости, то и
тогда   уравнения   движения,   выражающие   основные   законы   механики,   оказываются   настолько
сложными,   что   пока   не   удалось   разработать   общих   аналитических   методов   их   решения.
Применение   численных   методов   интегрирования   таких   уравнений   на   базе   современных   ЭВМ
также   связано   со   значительными   трудностями.   В   гидромеханике   поэтому   широко   используют
различные упрощенные модели среды и отдельных явлений.

Под моделью реальной среды понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только

некоторые из физических свойств, существенные для определенного круга явлений и технических
задач. Другие малосущественные свойства среды в модели игнорируются.

Одной из основных в гидромеханике является модель несжимаемой идеальной (или невязкой)

жидкости.  Так  называется  гипотетическая  сплошная  среда,  обладающая  текучестью,  лишенная
вязкости   и   полностью  несжимаемая.   Эта   модель   является   объектом   исследования   в   разделе
гидромеханики «Теория идеальной несжимаемой жидкости». Игнорирование свойств вязкости и
сжимаемости   сильно   упрощает   математическое   описание   движения   жидкости   и   позволяет
получить   многие   решения   в   конечном   замкнутом   виде.   Несмотря   на   значительную   степень
идеализации среды, теория несжимаемой невязкой жидкости дает ряд не только качественно, но и
количественно подтверждаемых опытом результатов, полезных для практических приложений. Но
не менее существенное значение этой теории состоит  в том, что она является базой для других
моделей, более полно учитывающих свойства реальных сред. Следует, однако, подчеркнуть, что
пренебрежение   вязкостью   является   весьма   сильной   степенью   идеализации,   поэтому   теория
идеальной несжимаемой жидкости может приводит к результатам, резко расходящимся с опытом.

Более полно свойства реальной жидкости учитываются в модели вязкой несжимаемой

жидкости, которая представляет собой среду, обладающую текучестью и вязкостью, но абсолютно
несжимаемую.  Теория   вязкой   несжимаемой   жидкости   лишь   в   ограниченном   числе   случаев   с
простейшими   граничными   условиями   позволяет   получить   точные   решения   полных   уравнений
движения. Наибольшее значение в этой теории имеют приближенные уравнения и их решения.
Такие   уравнения   получают   путем   отбрасывания   в   полных   уравнениях   движения   тех   членов,
которые мало влияют на соответствие  теоретических решений  опыту. Решения приближенных
уравнений могут быть как точными, так и приближенными.

Как известно, капельные жидкости являются малосжимаемыми средами, поэтому для широкого

круга   теоретических   и   прикладных   задач   пренебрежение   сжимаемостью   является   вполне
допустимой   идеализацией   и   мало   влияет   на   вид   получаемых   решений   и   степень   совпадения
теоретических   результатов   с   данными   измерений.   Но   все   же   существуют   случаи   движения
жидкостей, которые нельзя достаточно достоверно описать, если не учесть сжимаемость.

ГИДРОСТАТИКА

Уравнение Эйлера.

Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая на выделенный объем

жидкости, равна интегралу





(12)

от давления, взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по

объему, имеем:









grad

(13)

Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости действует со стороны окружающей

его жидкости сила

dVgrad



. Другими словами, можно сказать, что на единицу объема

жидкости действует сила -grad р.

Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема жидкости, приравняв силу -

grad p произведению массы  единицы объема жидкости на ее ускорение



grad









(14)

Стоящая здесь производная



определяет не изменение скорости жидкости в данной

неподвижной   точке   пространства,   а   изменение   скорости   определенной   передвигающейся   в
пространстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к
неподвижным   в   пространстве   точкам.   Для   этого   заметим,   что   изменение   вскорости   данной
частицы жидкости в течение времени  dt  складывается из двух частей: из изменения скорости в
данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент
времени)   в   двух   точках,   разделенных   расстоянием  dr,  пройденным   рассматриваемой   частицей
жидкости в течение времени dt. Первая из этих частей равна





(15)

где теперь производная





берется при постоянных х, у, z, т.е. в заданной точке пространства.

Вторая часть изменения скорости равна





















(16)

Таким образом,















(17)

или, разделив обе стороны равенства на dt,















(18)

Подставляя полученное соотношение в (14), находим:





grad















(19)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в 1775 г.

Оно называется уравнением Эйлера является одним из основных уравнений гидродинамики

Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее объема действует еще сила



, где g есть ускорение силы тяжести. Эта сила должна быть прибавлена к правой стороне

уравнения (14), так что (19) приобретает вид























(20)

При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывал процессов диссипации энергии,

которые могут иметь место в текущей жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в
жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое здесь
относится только к таким движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы
теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.

Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости (а также, конечно, и между

жидкостью и соприкасающимися с нею окружающими телами) означает, что движение
происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости. Таким
образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать как адиабатическое.

При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при

перемещении последнего в пространстве. Обозначая посредством

энтропию, отнесенную к

единице массы жидкости, мы можем выразить адиабатичность движения уравнением



(21)

где полная производная по времени означает, как и в (14), изменение энтропии заданного
перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде







grad



(22)

Это есть общее уравнение, выражающее собой адиабатичность движения идеальной жидкости.

С помощью











div

его можно написать в виде «уравнения непрерывности» для энтропии



















div

(23)

Произведение psv представляет собой «плотность потока энтропии».
Надо иметь в виду, что обычно уравнение адиабатичности принимает гораздо более простую

форму. Если, как это обычно имеет место, в некоторый начальный момент времени энтропия
одинакова во всех точках объема жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной со
временем и при дальнейшем движении жидкости. В этих случаях можно, следовательно, писать
уравнение адиабатичности просто в виде

s = const.

(24)

что мы и будем обычно делать в дальнейшем. Такое движение называют изэнтропическим.

Изэнтропичностью движения можно воспользоваться для того, чтобы представить уравнение

движения (19) в несколько ином виде. Для этого воспользуемся известным термодинамическим
соотношением





(25)

где w – тепловая функция единицы массы жидкости,





– удельный объем, а Т –

температура. Поскольку s = const, мы имеем просто

Vdp





(26)

и поэтому









. Уравнение (19) можно, следовательно, написать в виде





grad













(27)

Рис. 2. к выводу

формулы
гидростатики.

Полезно заметить еще одну форму уравнения Эйлера, в котором оно содержит скорость.

Воспользовавшись известной формулой векторного анализа









rot

grad









(28)

можно написать (29) в виде





grad

rot

grad















(29)

Если применить к обеим строкам этого уравнения операцию rot, то мы получим уравнение





rot





(30)

содержащее только скорость.

К уравнениям движения надо добавить граничные условия, которые должны выполняться на

ограничивающих жидкость стенках. Для идеальной жидкости это условие должно выражать собой
просто тот факт, что жидкость не может проникнуть за твердую поверхность. Это значит, что на
неподвижных стенках должна обращаться в нуль нормальная к поверхности стенки компонента
скорости жидкости:





(31)

(в общем же случае движущейся поверхности



должно быть равно соответствующей

компоненте скорости поверхности).

На границе между двумя несмешивающимися жидкостями должны выполняться условие

равенства давлений и условие равенства нормальных к поверхности раздела компонент скорости
обеих жидкостей (причем каждая из этих скоростей равна скорости нормального перемещения
самой поверхности раздела).

Как уже было указано, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами:

тремя компонентами скорости



и, например, давлением р и плотностью  . Соответственно

этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для
идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и
уравнение, выражающее адиабатичность движения.

1. Основная формула гидростатики.
Закон Паскаля. Понятие о напоре

Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести.
Уравнение Эйлера (20) принимает вид

grad





(32)

Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости. Если внешние силы вообще

отсутствуют, то уравнение равновесия гласит просто





, т.е. р = const – давление одинаково

во всех точках жидкости.

Уравнение (32) непосредственно интегрируется, если плотность жидкости можно считать

постоянной вдоль всего объекта, т.е. если не происходит заметного сжатия жидкости под
действием внешнего поля. Выберем оси координат, как показано на рис. 2. Поскольку из массовых
сил действует только сила тяжести, то









;









(33)

Таким образом, искомая функция р зависит только от одной

переменной z; интегрирование последнего равенства дает









(34)

где С – произвольная постоянная.

Эта формула выражает гидростатический закон распределения

давления, состоящий в том, что в тяжелой (подверженной действию
силы тяжести) несжимаемой жидкости давление линейно зависит от
вертикальной координаты.

Чтобы найти постоянную в уравнении (34), надо использовать какое-

нибудь граничное условие. Пусть, например, жидкость покоится в

резервуаре (см. рис.2) причем на ее свободной поверхности давление равно р

. Будем это давление

называть внешним.

Для точек свободной поверхности можем записать









(35)

Вычитая это отношение из уравнения (34), находим













(36)

или, обозначив через









заглубление точки М под свободную поверхность, получим

основную формулу гидростатики







(37)

где величина



называется весовым давлением.

Из этой формулы ясно, что всякое изменение внешнего давления

вызывает изменение

давления во всех точках покоящейся жидкости на ту же величину. Этот результат известен как
закон Паскаля.

Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т.е. в ней отсутствуют напряжения

сжатия, то



. Значения p , отсчитанные от нуля, называют иногда абсолютным давлением.

В технике весьма часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным

который называется избыточным или манометрическим давлением. По определению





(38)

Для произвольной точки М, заглубленной на высоту h под свободную поверхность, избыточное

давление равно

Ми









;

(39)

отсюда видно, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной
поверхности равно атмосферному (

p 

Если все члены формулы (37) разделить на величину g

 , то они приобретут линейную

размерность:







(40)

Отсюда следует, что каждому давлению

р можно поставить в соответствие линейную величину



, которая представляет собой величину столба жидкости, создающего в своем основании

данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис.

Если на свободной

поверхности в резервуаре давление

, а из запаянной сверху трубки А удален воздух, то под

действием давления







жидкость в трубке поднимется над точкой М на некоторую

высоту

пр

, называемую приведенной высотой. Принимая приближенно, что на свободной

поверхности в трубке давление равно нулю, согласно (37) можно записать

пр





Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности
которого давление равно нулю, а в основании – данному давлению жидкости.

Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезометром, получим







(41)

откуда

Mи









;

(42)

Гидравлика (лекции) - часть 1