Большая книга занимательных наук (Яков Перельман) - часть 16

 

  Главная      Учебники - Разные     Большая книга занимательных наук (Яков Перельман)

 

поиск по сайту            правообладателям  

 

 

 

 

 

 

 



 

содержание   ..  14  15  16  17   ..

 

 

Большая книга занимательных наук (Яков Перельман) - часть 16

 

 


последний – явно наибольший.

Поэтому наибольшее число, какое можно изобразить четырьмя двойками, таково:

image

Не обращаясь к услугам логарифмических таблиц, мы можем составить себе приблизительное представление о величине этого числа, пользуясь приближенным равенством

210 ≈ 1000.


В самом деле,

image

Итак, в этом числе – свыше миллиона цифр.


Искусство отгадывать числа


Каждый из вас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумай число, прибавь 2, умножь на 3, отними 5, отними задуманное число и т. д. – всего пяток, а то и десяток действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

Секрет «фокуса», разумеется, очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения.

Пусть, например, фокусник предложил вам выполнить программу действий, указанную в левой колонке следующей таблицы:

image

Затем фокусник просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает?

Чтобы понять это, достаточно обратиться к правой колонке таблицы,

где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое-то число х, то после всех действий у вас должно получиться 4х + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 33. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение 4х + 1 = 33 и находит: х = 8. Иными словами, от окончательного результата надо отнять единицу (33 – 1

= 32) и затем полученное число разделить на 4 (32: 4 = 8); это и дает задуманное число (8). Если же у вас получилось

25, то фокусник в уме проделывает действия 25 – 1 = 24, 24:4 = 6 и сообщает вам, что вы задумали 6.

Как видите, все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число.

image

Поняв это, вы можете еще более удивить и озадачить ваших приятелей, предложив им самим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете приятелю задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или отнимать известное число (скажем: прибавить 2, отнять 5 и т. д.), умножать[60] на известное число (на 2, на 3 и т. п.), прибавлять или отнимать задуманное число. Ваш приятель нагромождает, чтобы запутать вас, ряд действий. Например, он задумывает число 5 (этого он вам не сообщает) и, выполняя действия, говорит:

  • Я задумал число, умножил его на 2, прибавил к результату 3, затем прибавил задуманное число; теперь я прибавил 1, умножил на 2, отнял задуманное число, отнял 3, еще отнял задуманное число, отнял 2. Наконец, я умножил результат на 2 и прибавил 3.

    Решив, что уже совершенно вас запутал, он с торжествующим видом сообщает вам:

  • Получилось 49.

К его изумлению вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число

5.

Как вы это делаете? Теперь это уже достаточно ясно. Когда ваш

приятель сообщает вам о действиях, которые он выполняет над задуманным числом, вы одновременно действуете в уме с неизвестным х Он вам говорит: «Я задумал число…», а вы про себя твердите: «значит, у нас есть х». Он говорит: «…умножил его на 2…» (и он в самом деле производит умножение чисел), а вы про себя продолжаете: «теперь 2х». Он говорит: «…прибавил к результату 3…», и вы немедленно следите: 2х + 3, и т. д. Когда он «запутал» вас окончательно и выполнил все те действия,

которые перечислены выше, у вас получилось то, что указано в следующей таблице (левая колонка содержит то, что вслух говорит ваш приятель, а правая – те действия, которые вы выполняете в уме):

image

В конце концов вы про себя подумали: окончательный результат 8х +

  1. Теперь он говорит: «У меня получилось 49». А у вас готово уравнение: 8х + 9 = 49. Решить его – пара пустяков, и вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.

    Фокус этот особенно эффектен потому, что не вы предлагаете те операции, которые надо произвести над задуманным числом, а сам товарищ ваш «изобретает» их.

    Есть, правда, один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы (считая про себя) получили х + 14, а затем ваш товарищ говорит: «…теперь я отнял задуманное число; у меня получилось 14», то вы следите за ним: (х + 14) – х = 14 – в самом деле получилось 14, но никакого уравнения нет и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же в таком случае делать? Поступайте так: как только у вас получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп! Теперь я могу, ничего не спрашивая, сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это уже совсем озадачит вашего приятеля – ведь он совсем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не узнали задуманное число, фокус получился на славу!

    Вот пример (по-прежнему в левой колонке стоит то, что говорит ваш приятель):


    image

    В тот момент, когда у вас получилось число 12, т. е. выражение, не содержащее больше неизвестного х, вы и прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12.

    Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы».


    Уравнение думает за нас


    Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу.

    Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?

    Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет отцу будет 32 + х лет, сыну 5 + х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение

    32 + х= 10– (5 +х).

    Решив его, получаем х = —2.

    «Через минус 2 года» означает «два года назад». Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраст сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении.



    Цифры 1, 5 и 6


    Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому,

    между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой. Например, 462 = 2116; 463 = 97 3 36.

    Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.

    Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так: 10а + 6, 10 b + 6 и т. д.,

    где а и b — целые числа. Произведение двух таких чисел равно

    100 ab + 60 b + 60а + 36 = 10 · (10 ab + + 6 а) + 30 + 6 = 10 · (10 ab +

    + + 3) + 6.

    Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.

    Тот же прием доказательства можно приложить к 1 и к 5.

    Сказанное дает нам право утверждать, что, например,

    image



    Числа 25 и 76


    Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.

    Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково: 100а + 76, 1006 + 76 и т. д.

    Перемножим два числа этого вида; получим:

    10 000 ab + 76006 + 7600а + 5776 = 10 000аб + 76006 + 7600а + 5700 +

    76 = 100 · (100аб + 766 + 76а + 57) + 76.

    Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76. Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76,

    есть подобное же число:

    3762= 14 1 376, 5763= 191 102 9 76 и т. п.



    Бесконечные «числа»


    Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр,

    как мы покажем, бесконечно велико.

    Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.

    Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через к.

    Тогда искомое трехзначное число изобразится: 100 k + 76.

    Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:

    1000а + 100А: + 76, 10006 + 100А: + 76 и т. д.

    Перемножим два числа этого вида; получим:

    1 000 000 ab + 100 000 ak + 100 000 bk + 76 000 a + 76 000 b + 10 000 k

    2 + 15 200 k + 5776.

    Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100£ + 76, если разность

    15 200 k + 5776 – (100 k + 76) = 15 100 k + 5700 = 15 000 k + 5000 + 100

    · ( k + 7)

    делится на 1000. Это, очевидно, будет только при к= 3.

    Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:

    3762= 14 1 376.

    Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l , то придем к задаче: при каком l произведение

    (10 000а + 1000 l + 376) · (10 000b + 1000 l + 376)

    оканчивается на 1000 l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на четыре нуля и более, то останутся члены

    752 000 l + 141 376.

    Произведение оканчивается на 1000 l + 376, если разность

    752 000 l + 141 376 – (1000 l + 376) = 751 000 l + 141 000 = (750 000 l +

    140 000) + 1000 · ( l + 1)

    делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при l = 9.

    Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09 376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109 376, затем 7 109 376 и

    т. д.


    Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное

    число раз. В результате мы получим «число», у которого бесконечно много

    цифр:

    …7 109 376.

    Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение («столбиком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой – сколько угодно цифр.

    Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению

    х2 = х

    В самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного «числа» оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры

    «числа» х2, где х =…7 109 376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х2 = х.

    image

    Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76[61]. Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:

    5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д.

    В результате мы сможем написать еще одно бесконечное «число»

    …2 890 625,

    также удовлетворяющее уравнению х2=х. Можно было бы показать, что это бесконечное «число» «равно»

    image

    Полученный интересный результат на языке бесконечных «чисел» формулируется так: уравнение х2 = х имеет (кроме обычныхх = 0 их = 1) два «бесконечных» решения:

    x=…l 109 376 их =…2 890 625,

    а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет.


    Пифагоровы числа

    Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 1). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4 а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А — прямой.

    image

    Рис. 1

    Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как

    32+ 42= 52.

    Кроме чисел 3, 4, 5 существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению

    а2 + Ь2 = с2.

    Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют «катетами», а с — «гипотенузой».

    Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых чисел, то и pa, pb, рс, где р — целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел…


    Сто тысяч за доказательство теоремы


    Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100 000 немецких марок!

    Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или «великого предложения» Ферма.

    Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.

    Иначе говоря, надо доказать, что уравнение

    xn + yn = zn

    неразрешимо в целых числах для п > 2. Поясним сказанное. Мы видели, что уравнения

    x 2 + y 2 = z 2,

    x 3 + y 3 + z 3 = t 3

    имеют сколько угодно целочисленных решений. Но попробуйте подыскать три целых положительных числа, для которых было бы выполнено равенство x 3 + y 3 + z 3 ваши поиски останутся тщетными.

    Тот же неуспех ожидает вас и при подыскании примеров для четвертой, пятой, шестой и т. д. степеней. Это и утверждает «великое

    предложение Ферма»́ .

    image

    Что же требуется от соискателей премии? Они должны доказать это положение для всех тех степеней, для которых оно верно. Дело в том, что теорема Ферма еще не доказана и висит, так сказать, в воздухе[62].

    Величайшие математики трудились над этой проблемой, однако в лучшем случае им удавалось доказать теорему лишь для того или иного отдельного показателя или для групп показателей, необходимо же найти общее доказательство для всякого целого показателя.

    image

    Замечательно, что неуловимое доказательство теоремы Ферма, по- видимому, однажды уже было найдено, но затем вновь утрачено. Автор теоремы, гениальный математик XVII в. Пьер Ферма[63], утверждал, что ее доказательство ему известно. Свое «великое предложение» он записал (как и ряд других теорем из теории чисел) в виде заметки на полях сочинения Диофанта, сопроводив его такой припиской:

    «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь мало места, чтобы его привести».

    Ни в бумагах великого математика, ни в его переписке, нигде вообще в

    другом месте следов этого доказательства найти не удалось.

    Последователям Ферма́ пришлось идти самостоятельным путем.

    image

    Вот результаты этих усилий: Эйлер (1797) доказал теорему Ферма́ для третьей и четвертой степеней; для пятой степени ее доказал Лежандр (1823), для седьмой[64] – Ламе и Лебег (1840). В 1849 г. Куммер доказал теорему для обширной группы степеней и, между прочим, – для всех показателей, меньших ста. Эти последние работы далеко выходят за пределы той области математики, какая знакома была Ферма, и становится загадочным, как мог последний разыскать общее доказательство своего

    «великого предложения». Впрочем, возможно, он ошибался.

    Интересующимся историей и современным состоянием задачи Ферма́ можно рекомендовать брошюру А.Я. Хинчина «Великая теорема Ферма». Написанная специалистом, брошюра эта предполагает у читателя лишь элементарные знания из математики.


    Шестое действие


    Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое действие – возведение в степень – имеет два обратных: разыскание основания и разыскание показателя. Разыскание основания есть шестое математическое действие и называется извлечением корня. Нахождение показателя – седьмое действие – называется логарифмированием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время как сложение и умножение – только по одному, понять нетрудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами; то же верно относительно умножения; однако числа, участвующие в возведении в степень, т. е. основание и показатель степени, неравноправны между собой; переставить их, вообще говоря, нельзя (например, З5 ≠ 53). Поэтому разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умножении, производится одинаковыми приемами, а разыскание основания степени и показателя степени выполняется различным образом.



    Алгебраические комедии


    ЗАДАЧА 1

    Шестое математическое действие дает возможность разыгрывать

    настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2–2 = 5,2

    = 3 и т. п. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Исполним две пьесы этого комического репертуара из области алгебры.

    Первая: 2 = 3.

    На сцене сперва появляется неоспоримое равенство 4-10 = 9-15.

    В следующем «явлении» к обеим частям равенства прибавляется по равной величине

    image:

    image

    Дальнейший ход комедии состоит в преобразованиях:

    image

    Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получают:

    image

    image

    Прибавляя по


    к обеим частям, приходят к нелепому равенству 2 = 3.

    В чем же кроется ошибка?


    РЕШЕНИЕ

    Ошибка проскользнула в следующем заключении: из того, что

    image

    был сделан вывод, что

    image

    Но из того, что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь (—5)2 = 52, но —5 не равно 5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками. В нашем примере мы имеем именно такой случай:

    image

    но

    image

    не равно image


    .


    ЗАДАЧА 2

    Другой алгебраический фарс (рис. 2) 2-2 = 5

    разыгрывается по образцу предыдущего и основан на том же трюке.

    На сцене появляется не внушающее сомнения равенство 16 – 36 = 25–45.


    image

    Рис. 2


    Прибавляются равные числа:

    image

    и делаются следующие преобразования:

    image

    Затем с помощью того же незаконного заключения переходят к финалу:

    image

    4 = 5,

    2 · 2 = 5.


    Эти комические случаи должны предостеречь малоопытного математика от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими неизвестное под знаком корня.


    Предусмотрительность уравнений


    …Приведем пример, когда уравнение оказывается словно предусмотрительнее того, кто его составил.

    Мяч брошен вверх со скоростью 25 м в секунду. Через сколько секунд он будет на высоте 20 м над землей?

    РЕШЕНИЕ

    Для тел, брошенных вверх при отсутствии сопротивления воздуха, механика устанавливает следующее соотношение между высотой подъема тела над землей ( h ), начальной скоростью ( v ), ускорением тяжести ( g ) и временем ( t ):

    image

    Сопротивлением воздуха мы можем в данном случае пренебречь, так как при незначительных скоростях оно не столь велико. Ради упрощения расчетов примем g равным не 9,8 м, а 10 м (ошибка всего в 2 %). Подставив в приведенную формулу значения h, v и g, получаем уравнение

    image

    а после упрощения


    t 2 − 5 t + 4 = 0. Решив уравнение, имеем:

    t 1 = 1 и t 2 = 4.

    Мяч будет на высоте 20 м дважды: через 1 секунду и через 4 секунды.

    Это может, пожалуй, показаться невероятным, и, не вдумавшись, мы готовы второе решение отбросить. Но так поступить было бы ошибкой! Второе решение имеет полный смысл; мяч должен действительно дважды побывать на высоте 20 м: раз при подъеме и вторично при обратном падении. Легко рассчитать, что мяч при начальной скорости 25 м в секунду должен лететь вверх 2.5 секунды и залететь на высоту 31,25 м. Достигнув через 1 секунду высоты 20 м, мяч будет подниматься еще 1.5 секунды, затем столько же времени опускаться вниз снова до уровня 20 м и, спустя

    секунду, достигнет земли.


    Седьмое действие


    Мы упоминали уже, что пятое действие – возвышение в степень – имеет два обратных. Если

    аb = с ,

    то разыскание а есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b — другое, логарифмирование. Полагаю, что читатель этой книги знаком с основами учения о логарифмах в объеме школьного курса. Для него, вероятно, не составит труда сообразить, чему, например, равно такое выражение:

    image

    Нетрудно понять, что если основание логарифмов а возвысить в степень логарифма числа b , то должно получиться это число b .

    Для чего были придуманы логарифмы? Конечно, для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорит о своих побуждениях:

     

     

     

     

     

     

     

    содержание   ..  14  15  16  17   ..