Рекомендации по проведению всероссийской олимпиады школьников в 2018/2019 учебном году по математике - часть 3

 

17 

 

 

Рис. 2 

 

(7-8  класс,  средняя).  Разрежьте  квадрат  3



3 на две части и квадрат 4



4 на две части 

так, чтобы из полученных четырех кусков можно было сложить квадрат. 

Решение. Два возможных варианта показаны на рис. 3. 

 

Рис. 3 

 

Текстовые задачи 

 

(4-5  класс,  легкая).  На  листе  бумаги  нарисованы  квадрат  и  прямоугольник.  Квадрат 

имеет площадь 25 см

2

. Одна из сторон прямоугольника на 1 см больше стороны квадрата, а 

другая сторона на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь этого прямоугольника.  

Ответ. 18 см

2

. 

 

(6-7 класс, средняя). Петя сказал, что у него братьев и сестер поровну, а Маша сказала, 

что у нее братьев в три раза больше, чем сестер. Сколько детей в семье, если Маша и Петя – 

брат и сестра? 

Ответ. 5 детей (3 брата и 2 сестры). 

Решение.  Пусть  сестер  в  семье  x.  Тогда  из  ответа  Пети  следует,  что  братьев  в  семье 

x+1. Теперь из ответа Маши получаем уравнение x+1=3(x–1), откуда x=2.  

 

18 

 

(5-7  класс,  средняя).  У  Карлсона  в  шкафу  стоят  5  банок  малинового,  8  банок 

земляничного,  10  банок  вишневого  и  25  банок  клубничного  варенья.  Может  ли  Карлсон 

съесть  все  варенье,  если  каждый  день  он  хочет  съедать  2  банки  варенья,  при  этом 

обязательно из разных ягод? 

Ответ. Не может.  

Решение.  Каждую  банку  клубничного  варенья  Карлсон  съедает  вместе  с  какой-то  из  

5  +  8  +  10  =  23  банок  другого  варенья.  Значит,  он  съест  не  более  23  банок  клубничного 

варенья и все варенье съесть не сможет.  

 

(5-7 класс, средняя). В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной 

гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей? 

Решение.  При  первом  взвешивании  в  одну  из  чашек  весов  кладем  гирю  и  все  гвозди 

раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. 

Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12=6+6. 

Получили искомое количество гвоздей: 19=13+6. 

 

(5-7 класс, средняя). На прямой через равные промежутки поставили сто точек, и они 

заняли  отрезок  длины  a.  Затем  на  прямой  через  такие  же  промежутки  поставили  десять 

тысяч точек, и они заняли отрезок длины b. Во сколько раз b больше a? 

Ответ. В 101 раз. 

Решение.  Обозначим длину промежутка за  x.  Сто точек делят отрезок длины  a на 99 

промежутков,  а  10000  точек  делят  отрезок  длины  b  на  9999  промежутков.  Поэтому  a=99x, 

b=9999x и b=101a. 

 

(6-7  класс,  средняя).  К  новогоднему  празднику  школа  покупает  каждому  ученику  по 

шоколадке. известно, что если покупать шоколад в упаковках по 20 шоколадок в каждой, то 

понадобится  на  5  упаковок  больше,  чем  упаковок  по  24  шоколадки.  Сколько  учеников  в 

школе? 

Ответ. 600. 

 

(7-8  класс,  средняя).  Три  ученика  A,  B  и  C  участвовали  в  беге  на  100  м.  Когда  A 

прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади 

него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C? 

Ответ. На 19 метров. 

 

19 

Решение.  Скорость  B  составляет  0,9  от  скорости  A,  а  скорость  C  составляет  0,9  от 

скорости B, т.е. 0,81 от скорости A. 

 

(7-8  класс,  средняя).  Определите,  чему  равен  угол  между  часовой  и  минутной 

стрелками часов в 23 часа 45 минут. 

Ответ. 82,5



. 

Решение.  Угол  между  минутной  стрелкой  и  «12»  равен  90



,  а  между  часовой  и  «12» 

равен четверти от угла между «11» и «12», т.е. равен 

1 360

7,5

4

12









. 

 

(8-9 класс, средняя). Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17.00 проехал в 1,25 

раза больший путь, чем к 16.00. Когда поезд выехал? 

Ответ. В 12.00. 

Решение. За 1 час от 16.00 до 17.00 поезд проехал 0,25 пути с момента выезда до 16.00. 

Значит, он ехал 4 часа и выехал в 12.00.  

 

(7-8 класс, средняя).  Два автомобиля, находящиеся на расстоянии S км друг от друга, 

движутся  навстречу  друг  другу.  Скорость  первого  автомобиля  v

1

  км/ч,  второго  –  v

2

  км/ч. 

Через какое время они снова окажутся на расстоянии S км друг от друга? 

Ответ. 

1

2

2S

v

v



. 

Решение. Автомобили встретятся через 

1

2

S

v

v



 ч. Поэтому через такое же время после 

момента встречи расстояние между ними снова станет равно S. 

 

(7-8 класс, средняя). В два киоска поступил товар по одинаковой цене. Через неделю в 

первом киоске все цены были снижены на 10%, а еще через неделю  – подняты на 20%. Во 

втором  киоске  через  две  недели  цены  были  увеличены  на  10%.  В  каком  киоске  через  две 

недели после поступления товара цены ниже? 

Ответ. В первом киоске. 

Решение.  Если  x  –  начальная  цена  товара,  то  его  конечная  цена  в  первом  киоске  – 

90 120

1, 08

100 100

x

x







, а во втором – 

110

1,1

100

x

x





. 

 

 

20 

(6-7  класс,  сложная).  У  весов  сдвинута  стрелка,  то  есть  они  всегда  показывают  на 

фиксированное  число  граммов  больше  (или  меньше)  чем  истинный  вес.  Когда  на  весы 

положили  дыню,  весы  показали  3  кг.  Когда  на  весы  положили  арбуз,  весы  показали  5  кг. 

Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали 7 кг. Сколько кг покажут весы, если на них 

поставить гирю в 2 кг?  

Ответ. 3 кг. 

Решение. На сумму 3 + 5 = 8 кг сдвиг стрелки влияет дважды, а на вес 7 кг  – только 

один раз. Поэтому сдвиг стрелки равен 8 – 7 = 1 кг. Следовательно, правильный вес на 1 кг 

меньше, чем показывают весы. Значит, если на весы поставить гирю в 2 кг, то они покажут 3 

кг. 

 

(9-11  класс,  средняя).  По  круговой  дороге  велодрома  едут  два  велосипедиста  с 

неизменными  скоростями.  Когда  они  едут  в  противоположенных  направлениях,  то 

встречаются каждые 10 секунд, когда же они едут в одном направлении, то один настигает 

другого  каждые  170  секунд.  Какова  скорость  каждого  велосипедиста,  если  длина  круговой 

дороги 170 метров?  

Ответ. 9 м/c и 8 м/c. 

Решение.  Пусть  скорости  велосипедистов  равны  x  м/c  и  y  м/c  (

x

y



).  Тогда 

10(

) 170

x

y





 и 

170(

) 170

x

y





. Отсюда находим x = 9 м/c и y = 8 м/c. 

 

Логические задачи 

 

(6-7  класс,  сложная).  На  острове  живут  рыцари,  которые  всегда  говорят  правду  и 

лжецы,  которые  всегда  лгут.  Встретились  три  островитянина:  Петя,  Вася  и  Толя.  Петя 

сказал:  "Мы  все  лжецы".  Вася  на  это  ему  ответил:  "Нет,  только  ты".  Может  ли  Толя  быть 

лжецом? 

Ответ. Не может.  

Решение.  Если Толя лжец, то и Вася лжец.  Но тогда Петя не может быть ни лжецом 

(так как он тогда бы сказал правду), ни рыцарем (так как он тогда бы солгал). Значит, Толя 

не может быть лжецом.  

 

(5-6  класс,  средняя).  К  Васе  пришли  его  одноклассники.  Мать  Васи  спросила  у  него, 

сколько пришло гостей. Вася ответил: «Больше шести», а стоявшая рядом сестренка сказала: 

«Больше пяти». Сколько было гостей, если известно, что один ответ верный, а другой нет? 

Ответ. 6. 

 

21 

Решение.  Допустим,  что  гостей  действительно  больше  шести.  Тогда  правы  и  Вася,  и 

его  сестра,  а  это  противоречит  условию  задачи.  Значит,  гостей  не  больше  шести,  и  Вася 

неправ. Но тогда должна быть права сестра, иначе снова нарушится условие задачи. Значит, 

гостей больше пяти. Но если их больше пяти и не больше шести, то их ровно шесть. 

 

(6-7 класс, сложная). Одиннадцать шестиклассников встали в круг. Они договорились, 

что  некоторые  из  них  всегда  говорят  правду,  а  все  другие  –  всегда  лгут.  Каждому  из  них 

раздали  по  две  карточки,  и  каждый  сказал:  «У  меня  карточки  одного  цвета».  После  этого 

каждый  передал  обе  свои  карточки  своему  соседу  справа.  Могли  ли  они  все  после  этого 

сказать: «У меня теперь карточки разных цветов»?  

Ответ. Не могли.  

Рассмотрим двух шестиклассников, стоящих рядом. Про карточки, которые правый из 

них (П) получил от левого (Л), они дали разные ответы. Значит, один из них говорит правду, 

а  другой  –  лжет.  Пусть  следующий  по  кругу  за  П  –  шестиклассник  К.  Тогда  в  паре  П  –  К 

также один говорит правду, а другой – лжет. И так далее. Значит, говорящие правду и ложь – 

чередуются. Поэтому их должно быть четное количество. 

 

(9-11  класс,  средняя).  В  мешке  лежат  26  синих  и  красных  шаров.  Среди  любых  18 

шаров  есть  хотя  бы  один  синий,  а  среди  любых  10  шаров  есть  хотя  бы  один  красный. 

Сколько красных шаров в мешке? 

Ответ. 17. 

Решение. Так как из 18 шаров найдется хотя бы один синий, то красных не более 17, а 

из любых 10 шаров найдется хотя бы один красный, то есть синих не более 9. Так как всех 

шаров 26, то синих – 9, а красных – 17.  

 

Четность 

 

(7-8  класс,  сложная).  Вдоль  забора  растут  10  кустов  смородины.  Число  ягод  на 

соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 1000 ягод?  

Ответ. Не может.  

Решение.  Число  ягод  на  двух  соседних  кустах  отличается  на  1,  поэтому  на  двух 

соседних кустах вместе нечетное число ягод. Тогда количество ягод на десяти кустах равно 

сумме пяти нечетных чисел, т.е. числу нечетному. Значит, на всех кустах вместе не может 

быть 1000 ягод. 

 

 

22 

(6-7  класс,  сложная).  В  6Б  классе  обучаются  20  учеников.  В  первой  четверти  они  по 

трое  дежурили  по  классу.  Могло  ли  так  получиться,  что  в  некоторый  момент  каждый  из 

учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу? 

Ответ: Не могло. 

Решение.  Предположим,  что  такое  возможно.  Рассмотрим  любого  ученика.  В  первое 

свое дежурство он отдежурил с двумя одноклассниками. Во второе – с двумя другими и т. д. 

Так  как  у  него  19  одноклассников  (нечетное  число),  то  после  девятого  его  дежурства 

останется ровно один одноклассник, с которым он не отдежурил. Полученное противоречие 

завершает доказательство. 

 

(6-7  класс,  сложная).  Два  натуральных  числа  в  сумме  дают  1001.  Вася  увеличил 

каждое из них на 25 и перемножил полученные числа. Он получил, что произведение также 

оканчивается на 1001. Докажите, что Вася ошибся.  

Решение.  Если  сумма  двух  натуральных  числе  равна  1001,  то  одно  из  них  четное,  а 

другое  нечетное.  Если  к  четному  числу  прибавить  25,  получится  нечетное  число. 

Аналогично, если к нечетному числу прибавить 25, получится четное число. А произведение 

четного и нечетного чисел должно быть числом четным и поэтому не может оканчиваться на 

1001.  

 

(6-7 класс, средняя).  Сумма пяти чисел равна 200. Докажите, что их произведение не 

может оканчиваться на 1999. 

Решение.  Произведение  чисел  нечетно,  следовательно,  все  пять  чисел  нечетны,  и  их 

сумма также должна быть нечетной. 

 

(5-7  класс,  сложная).  В  конце  каждого  урока  физкультуры  учитель  проводит  забег  и 

даёт  победителю  забега  три  конфеты,  а  всем  остальным  ученикам  –  по  одной.  К  концу 

четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля  – 30, а Вася – 33 конфеты. Известно, что один из 

них  пропустил  ровно  один  урок  физкультуры,  участвуя  в  олимпиаде  по  математике; 

остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ. 

Ответ. Коля.  

Решение.  После  каждого  забега  все  присутствующие  на  уроке  школьники  получают 

нечётное  количество  конфет.  Поэтому  чётность  количества  полученных  конфет  у  ребят, 

посетивших все уроки, должна быть одинаковой. Но из трёх чисел 29, 30, 33 первое и третье 

–  нечётные,  а  второе  –  чётное.  Значит,  пропустил  урок  тот,  у  кого  чётное  количество 

заработанных конфет. 

 

23 

 

(8-9 класс, трудная). Грани игрального кубика занумерованы числами от 1 до 6. Петя 

сложил  из  восьми  игральных  кубиков  куб  вдвое  большего  размера  так,  что  числа  на 

прилегающих  друг  к  другу  гранях  кубиков  одинаковы.  Может  ли  сумма  всех  24  чисел, 

написанных на поверхности сложенного Петей куба, равняться 99? 

Ответ. Не может.  

Решение.  Сумма  всех  чисел,  записанных  на  гранях  этих  восьми  игральных  кубиков 

равна  четному  числу  (

8 21



).  Так  как  числа  на  прилегающих  друг  к  другу  гранях  кубиков 

одинаковы,  то  они  все  числа  внутри  большого  куба  разбиваются  на  пары  одинаковых.  То 

есть  сумма  всех  чисел  внутри  большого  куба  четна.  Значит,  и  сумма  всех  чисел  на 

поверхности  большого  куба  также  должна  быть  четной  (как  разность  четных  чисел)  и  не 

может равняться 99.  

 

Делимость 

 

(6-7 класс, легкая). Запишите числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 в строку так, чтобы из любых двух 

соседних чисел одно делилось бы на другое. 

Ответ. Например, 9, 3, 6, 2, 4, 8, 1. 

 

(5-6  класс,  средняя).  Каждое  из  двух  чисел  не  делится  на  10.  Их  произведение  равно 

1000. А чему может равняться их сумма?  

Ответ. 133=125+8. 

 

(6-7 класс, легкая). Придумайте девятизначное число, у которого по крайней мере три 

разные цифры, и которое делится на каждую из них. 

Ответ. Например, число 111111124 (делится на 1, на 2 и на 4). 

 

(7-8 класс, сложная). В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе 

тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит 

в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе? 

Ответ. 24 ученика.  

Решение. Пусть в шахматный кружок ходит  x  ребят, тогда в него не ходит 

x

2

 ребят. 

Итак,  всего  в  классе 

x

3

  ребят,  и  количество  учеников  в  классе  делится  на  3.  Аналогично, 

пусть  в  шашечный  кружок  ходит 

y

  ребят,  тогда  в  него  не  ходит 

y

3

  ребят.  Итак,  всего  в 

классе 

y

4

 ребят, и количество учеников в классе делится на 4. 

 

24 

Число учеников в классе делится и на 3, и на 4, то есть оно делится на 12. Единственное 

подходящее число, большее 20 и меньшее 30, это 24. 

 

(9-10 класс, средняя). Докажите, что при любом натуральном n число 

3

2

3

6

8

n

n

n







 

является составным. 

Решение.  Утверждение  задачи  следует  из  разложения  данного  выражения  на 

множители, каждый из которых больше единицы при всех натуральных n: 

3

2

3

2

2

2

3

6

8

8 3

6

(

2)(

2

4) 3 (

2)

(

2)(

4).

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n

n

n

n





 

 











 







 

 

 

 (8-9  класс,  сложная).  Произведение  трех  натуральных  чисел  оканчивается  на  2222. 

Докажите, что их сумма не может равняться 9999. 

Решение. Если сумма трех целых чисел равна 9999, то либо они все нечетны (и тогда 

их произведение оканчивается на нечетную цифру), либо два из них четны, а одно нечетно 

(тогда их произведение делится на 4, а число, оканчивающееся на 22, на 4 не делится). 

 

(8-10 класс, средняя). Сумма цифр натурального числа A равна сумме цифр числа 3A.  

а) Докажите, что A делится на 3. 

б) Докажите, что A делится на 9. 

в) Верно ли, что A обязательно делится на 27? 

Ответ. в) Не обязательно.  

Решение.  

а), б) Пусть сумма цифр числа A равна S. Но так как 3A делится на 3, то S делится на 3, 

тогда и A делится на 3. Отсюда следует, что 3A делится на 9 и S также делится на 9, то есть A 

делится на 9. 

в) Не обязательно, можно взять, например, A=9. 

 

(8-10  класс,  средняя).  Найдите  какие-нибудь  три  последовательных  натуральных 

числа, меньших 1000, произведение которых делится на 9999. 

Ответ. Например, 99, 100 и 101. 

Решение. Этот пример можно получить, заметив, что 

9999

99 101





. 

Замечание. Кроме этого, существует ровно один другой пример: 504, 505, 506.