Рекомендации по проведению всероссийской олимпиады школьников в 2018/2019 учебном году по математике - часть 4

 

25 

(9-10  класс,  средняя).  На  доске  написано  число  543254325432.  Некоторые  цифры 

стерли так, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это 

наибольшее число? 

Ответ. 5435432532.  

Решение. Из признака делимости на 9 следует, что сумма стертых цифр должна быть 

равна 6. Из двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть 

две цифры – либо 3 и 3, либо 2 и 4. Из двух десятиразрядных чисел больше то, у которого в 

старших  разрядах  стоят  большие  цифры.  Поэтому  нужно  стереть  первую  двойку  и 

последнюю четверку. 

 

Алгебра 

 

(8 класс, легкая). Найдите наименьший целый корень уравнения 

(| | 1)(

2,5)

0

x

x







. 

Ответ. –1. 

 

(8  класс,  легкая).  Проходят  ли  прямые  x+y–1=0,  2x–5y+1=0  и  4x–3y–1=0  через  одну 

точку? 

Ответ. Да. 

Решение. Прямые проходят через точку 

4 3

;

7 7













. 

 

(8-9 класс, средняя). Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 

1,  а  второй  уменьшить  на  1,  то  произведение  увеличится  на  1000.  Как  изменится 

произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй 

увеличить на 1? 

Ответ. Уменьшится на 1002.  

Решение. Пусть изначально были числа  x  и 

y

 (с произведением 

xy

). После того как 

первый  множитель  увеличили  на  1,  а  второй  уменьшили  на  1,  получилось 

1

=

1)

1)(

(











x

y

xy

y

x

.  Произведение  увеличилось  на  1000,  то  есть 

1 = 1000

y

x

 

  или 

= 1001

y

x



. Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1, получится 

1

=

1)

1)(

(











x

y

xy

y

x

. 

Заметим, 

что 

1 =

(

) 1 =

1001 1 =

1002

xy

y

x

xy

y

x

xy

xy

  

  







. То есть произведение уменьшилось на 

1002. 

 

 

26 

(8 класс, средняя). Докажите, что если 

2

3

a

b

c





и 

2

3

b

c

a





, то 

2

3

c

a

b





.  

Решение.  Сложив  два  данных  равенства,  получим 

3

2

3

3

a

b

c

c

a









,  откуда 

2

3

c

a

b





.  

Замечание.  Решая  систему  методом  подстановки  получим:  a  =  b  =  c,  откуда  также 

следует доказываемое равенство. 

 

(9  класс,  средняя).  Найдите  сумму  двух  различных  чисел  a   и 

b

,  удовлетворяющих 

равенству 

2

2

a

b

b

a

 



.  

Ответ. 

1

a b

 

.  

Решение. Решение:  уравнение можно преобразовать к виду 

(

)(

1)

0

a b a b



  

. А так 

как 

a

b



, то 

1 0

a b

  

, откуда 

1

a b

 

. 

 

(9-10 класс, средняя). Найдите все пары чисел x, y, для которых выполнено равенство 

1

x

y

y

x

x

y

 

   

. 

Ответ. x = y = –0,5.  

Решение.  В  силу  неотрицательности  подкоренных  выражений  должны  одновременно 

выполняться неравенства x 



 y, x 



 y, откуда и следует x = y = – 0,5. 

 

(9-11  класс,  средняя).  Среднее  арифметическое  десяти  различных  натуральных  чисел 

равно 15. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих чисел. 

Ответ. 105. 

Решение. Сумма данных чисел равна 150. Так как все числа различны, то сумма девяти 

наименьших из них не меньше, чем 1 + 2 + ... + 9 = 45. Следовательно, наибольшее число не 

может быть больше чем 105. Это возможно: (1 + 2 + ... + 9 + 105) : 10 = 15. 

 

(8-9 класс, сложная). В формулу линейной функции y=kx+b вместо букв k и b впишите 

числа  от  11  до  20  (каждое  по  одному  разу)  так,  чтобы  получилось  пять  функций,  графики 

которых проходят через одну точку. 

Решение.  Например,  графики  функций  y=11x+20,  y=12x+19,  y=13x+18,  y=14x+17, 

y=15x+16, проходят через точку (1; 31). 

 

 

 

 

 

27 

Геометрия 

 

(8  класс,  легкая).  Сторона  AC  треугольника  ABC  точками  D  и  E  разделена  на  три 

равные части (точка D лежит между A и E). Докажите, что если BD=BE, то треугольник ABC 

– равнобедренный. 

Решение. Так как треугольник BDE равнобедренный, то 



BDE=



BED. Значит, равны 

соответствующие  смежные  углы: 



ADB=



CEB.  По  условию,  AD=EC  и  BD=BE.  Поэтому 

треугольники  ADB  и  CEB  равны  (по  двум  сторонам  и  углу  между  ними).  Из  равенства 

треугольников  следует  равенство  сторон  AB  и  BC.  Отсюда  следует,  что  треугольник  ABC 

равнобедренный.  

 

(8 класс, средняя). Высоты AA

1

 и CC

1

 остроугольного треугольника ABC пересекаются 

в точке O. Докажите, что если OA=OC, то треугольник ABC – равнобедренный. 

 

Решение. 



AOC

1

=



COA

1

 (по гипотенузе и острому углу), следовательно, OC

1

=OA

1

 (см. 

рис.  4)  .  Поэтому  AA

1

=CC

1

,  и,  следовательно, 



ABA

1

=



CBC

1

  (по  катету  и  острому  углу). 

Откуда AB=BC. 

 

 

Рис. 4 

 

(8-9  класс,  средняя).  В  треугольнике  ABC  проведена  медиана  AD.  Найдите  углы 

треугольника ABC, если 



ADC=120



, 



DAB=60



.  

Ответ. 



A=90



, 



B=60



, 



C=30



.  

Решение.  Так  как 



ADC=120



,  то 



ADB=60



.  Значит,  треугольник  ADB 

равносторонний (и 



ABD=60



). Тогда BD  = AD = DC и треугольник ADC равнобедренный. 

Значит 



DAC= 



DCA=(180



–120



):2=30



. Откуда 



BAC = 90°. 

 

28 

 

(9-10  класс,  средняя).  У  звезды  ACEBD  (см.  рис.  5)  равны  углы  при  вершинах  A  и  B, 

углы при вершинах E и C, а также равны длины отрезков AC и BE. Докажите, что AD=BD. 

 

Рис. 5 

 

Решение.  Треугольники  ACG  и  BEF  равны  (по  стороне  и  двум  углам,  прилежащим  к 

ней)  (см.  рис.  6).  Следовательно, 



AGC=



BFE  и  AG=BF.  По  теореме  о  смежных  углах 



FGD=



GFD.  Поэтому  треугольник  GFD  равнобедренный  (GD=FD).  Следовательно, 

AG+GD=BF+FD, т.e. AD=BD. 

 

Рис. 6 

 

(9 класс, средняя). В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите угол 

ABC, если AC = 2AB.  

Ответ. 



ABC = 90°.  

Решение. Пусть точка  D – середина стороны АС (см. рис. 7). Тогда AD = AC/2

 

= АВ.

 

Значит, треугольники АВЕ и ADE равны (сторона АЕ – общая, 



BAE = 



CAE). Тогда 



ABC 

= 



ADE  =  90°,  так  как  ED  –  медиана  равнобедренного  треугольника  AEC  (АЕ=EC  –  по 

условию) и, значит, его высота. 

 

 

29 

 

 

Рис. 7 

 

(10-11  класс,  средняя).  Параллелограмм  двумя  парами  прямых,  параллельных  его 

сторонам,  разбит  на  девять  параллелограммов  (см.  рис.  8).  Найдите  площадь 

четырехугольника  ABCD,  если  площадь  исходного  параллелограмма  равна  S

1

,  а  площадь 

центрального (закрашенного) параллелограмма равна S

2

. 

 

Рис. 8 

 

Ответ. 

1

2

2

S

S



. 

Решение.  Четырехугольник  ABCD  складывается  из  закрашенного  параллелограмма  и 

половинок параллелограммов, составляющих рамку. 

 

(10-11  класс,  сложная).  Точка  D  –  середина  стороны  AC  треугольника  ABC,  DE  и  DF  – 

биссектрисы треугольников ADB и CDB. Докажите, что 

EF

AC

P

.  

Решение. 

По 

свойству 

биссектрисы 

треугольника 

:

:

:

:

BE EA

BD DA

BD DC

BF FC







. Отсюда следует, что 

EF

AC

P

. 

 

(10-11  класс,  сложная).  В  треугольнике  ABC  биссектрисы  углов  A  и  B  пересекают 

описанную окружность в точках K и L. Отрезки AK и BL пересекаются в точке X и делятся 

этой  точкой  в  равных  отношениях,  считая  от  вершин  треугольника.  Докажите,  что 

треугольник ABC – равнобедренный. 

 

 

30 

Решение. Из условия следует подобие треугольников AXB и KXL – по первому признаку 

(



AXB=



KXL).  Отсюда 



BAK=



LKA,  но 



LKA=



ABL  (вписанные  углы,  опирающиеся  на 

одну дугу). Так как AK и BL – биссектрисы, то отсюда следует 



A=



B (см. рис. 9). 

 

  

Рис. 9 

 

Комбинаторика 

 

(9-10  класс,  сложная).  Каких  натуральных  чисел  от  1  до  1000000  больше:  делящихся 

на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11? 

Ответ.  Чисел,  делящихся  на  11,  но  не  делящихся  на  13,  среди  чисел  от  1  до  1000000 

больше, чем чисел, делящихся на 13, но не делящихся на 11. 

Решение. Действительно, пусть количества этих чисел равны  A и B соответственно, а 

количество  чисел  от  1  до  1000000,  кратных  и  11,  и  13,  равно  C.  Тогда  A+C  –  количество 

чисел, делящихся на 11, а B+C – делящихся на 13. Ясно, что A+C>B+C. Поэтому A>B. 

 

(10-11  класс,  средняя).  Электронные  часы  показывают  время  от  00.00.00  до  23.59.59. 

Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7? 

Ответ. 72 секунды. 

Решение. Если на табло горят цифры ab.cd.mn, то 

7,

7,

7

a

c

m







. Поэтому b=d=n=7. 

Но  тогда  a=0  или  1,  c=0,  1,  2,  3,  4,  5,  m=0,  1,  2,  3,  4,  5.  Всего  получается 

2 6 6

72

  

 

подходящих наборов цифр, а каждый набор горит 1 секунду. 

 

 

 

 

 

31 

Рекомендуемая литература для подготовки заданий школьного этапа 

Всероссийской математической олимпиады 

 

Журналы 

«Квант», «Квантик», «Математика в школе», «Математика для школьников» 

 

Книги и методические пособия: 

 

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Районные олимпиады. 6-11 класс. – М.: 

Просвещение, 2010.  

Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика. 

Всероссийские олимпиады. Выпуск 1. – М.: Просвещение, 2008. 

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 2. – М.: 

Просвещение, 2009.  

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. 

Выпуск 3. – М.: Просвещение, 2011.  

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. 

Выпуск 4. – М.: Просвещение, 2013. 

Адельшин А.В., Кукина Е.Г., Латыпов И.А. и др. Математическая олимпиада им. Г. П. 

Кукина. Омск, 2007-2009. – М.: МЦНМО, 2011.  

Андреева А.Н., Барабанов А.И., Чернявский И.Я. Саратовские математические 

олимпиады.1950/51–1994/95. (2-e. исправленное и дополненное). – М.: МЦНМО, 2013. 

Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975. 

Блинков А.Д., Горская Е.С., Гуровиц В.М. (сост.). Московские математические регаты. Часть 

1. 1998– 2006 – М.: МЦНМО, 2014.  

Блинков А.Д. (сост.). Московские математические регаты. Часть 2. 2006– 2013 – М.: 

МЦНМО, 2014.  

Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: 

Аса, 1994.  

Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике (3-е изд., стереотип.). – М.: 

МЦНМО, 2013.  

Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник (6-е издание, стереотипное). – М., 

МЦНМО, 2011.  

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы (5-е издание, стереотипное). – М., 

МЦНМО, 2012.  

 

32 

Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи (8-е, стереотипное). – 

М., МЦНМО, 2014.  

Кноп К.А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам (3-е, стереотипное). – М., 

МЦНМО, 2014.  

Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка) (7-е издание, 

стереотипное).— М., МЦНМО, 2013.  

Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М., ГИФМЛ, 1958 – 576 с. 

Раскина И. В, Шноль Д. Э. Логические задачи. – М.: МЦНМО, 2014.  

 

Интернет-ресурс: http://www.problems.ru/