Рекомендации по проведению всероссийской олимпиады школьников в 2018/2019 учебном году по математике - часть 2

 

9 

 

IV-V КЛАССЫ 

 

Натуральные числа и нуль.  

Делители и кратные числа.  

Деление с остатком.  

Четность.  

Текстовые задачи. 

Геометрические фигуры на плоскости, измерение геометрических величин. 

 

Специальные олимпиадные темы. 

Числовые ребусы. Взвешивания, переливания.  

Логические задачи. Истинные и ложные утверждения.  

Построение примеров и контрпримеров. 

Разрезания.  

 

VI-VII КЛАССЫ 

 

Числа и вычисления. 

Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления.  

Арифметические  действия  с  натуральными  числами.  Представление  числа  в 

десятичной системе.  

Делители  и  кратные  числа.  Простые  и  составные  числа.  НОК  и  НОД.  Понятие  о 

взаимно простых числах. Разложение числа на простые множители.  

Четность.  

Деление с остатком. Признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9.  

Обыкновенные 

дроби. 

Сравнение 

дробей. 

Арифметические 

действия 

с 

обыкновенными дробями.  

Десятичные дроби.  

Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции. 

 

Прямая и обратная пропорциональность величин. Проценты.  

Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Сравнение положительных и 

отрицательных  чисел.  Арифметические  действия  с  положительными  и  отрицательными 

числами, свойства арифметических действий.  

Целые числа. Рациональные числа.  

 

10 

 

Уравнения. 

Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.  

Функции. 

Функция. График функции. Функции: у = kx , у = kx + b.  

Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений. 

 

Представление  о  начальных  понятиях  геометрии,  геометрических  фигурах. 

Равенство фигур. 

Отрезок. Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. 

Угол. Виды углов. Смежные и вертикальные углы и свойства.  

Пересекающиеся и параллельные прямые. Перпендикулярные прямые.  

Треугольник  и  его  элементы.  Признаки  равенства  треугольников.  Сумма  углов 

треугольника.  

Представление о площади фигуры. 

 

Специальные олимпиадные темы. 

Числовые ребусы. Взвешивания.  

Логические задачи. Истинные и ложные утверждения.  

«Оценка + пример».  

Построение примеров и контрпримеров.  

Инвариант.  

Принцип Дирихле.  

Разрезания.  

Раскраски.  

Игры.  

 

VIII-IХ КЛАССЫ 

 

Числа и вычисления. 

Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления. Арифметические действия 

с натуральными числами. Представление числа в десятичной системе 

Делители и кратные числа. Простые и составные числа. Взаимно простые числа. 

Разложение  числа  на  простые  множители.  Четность.  Деление  с  остатком.  Признаки 

делимости на 2

k

, 3, 5

k

, 6, 9, 11.  

 

11 

Свойства факториала. Свойства простых делителей числа и его степеней. 

Обыкновенные 

дроби. 

Сравнение 

дробей. 

Арифметические 

действия 

с 

обыкновенными дробями.  

Десятичные дроби.  

Отношения.  Пропорции.  Основное  свойство  пропорции.  Прямая  и  обратная 

пропорциональность величин. Проценты. 

Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Сравнение положительных и 

отрицательных  чисел.  Арифметические  действия  с  положительными  и  отрицательными 

числами, свойства арифметических действий. 

Целые числа. Рациональные числа. Понятие об иррациональном числе. Изображение 

чисел точками на координатной прямой. 

Числовые неравенства и их свойства. Операции с числовыми неравенствами. 

Квадратный корень.  

 

Выражения и их преобразования. 

Степень  с  натуральным  показателем  и  ее  свойства.  Многочлены.  Формулы 

сокращенного умножения. Разложение многочленов на множители. Теорема Безу. 

Квадратный трехчлен: выделение квадрата двучлена, разложение на множители. 

Арифметическая и геометрическая прогрессии.  

 

Уравнения и неравенства. 

Уравнение  с  одной  переменной.  Корни  уравнения.  Линейное  уравнение.  Квадратное 

уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных 

уравнений. 

Уравнение  с  двумя  переменными.  Система  уравнений.  Решение  системы  двух 

линейных уравнений с двумя переменными. Решение простейших нелинейных систем.  

Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. 

Неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Неравенства 

второй степени с одной переменной. Неравенства о средних. 

Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, неравенств, систем уравнений. 

Функции. 

Прямоугольная система координат на плоскости.  

Функция.  Область  определения  и  область  значений  функции.  График  функции. 

Возрастание функции, сохранение знака на промежутке. 

Функции: у = kx , у = kx + b , y =k/x , у = х

2

, у = х

3

, у = ах

2

 + bх + с, у = |х|. 

 

12 

Преобразование графиков функций. Свойства квадратного трехчлена. Геометрические 

свойства графика квадратичной функции. 

 

Планиметрия. 

Треугольник  и  его  элементы.  Признаки  равенства  треугольников.  Сумма  углов 

треугольника.  

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.  

Неравенство треугольника.  

Средняя линия треугольника и ее свойства.  

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Свойства равнобедренного и 

равностороннего треугольников. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Решение 

прямоугольных треугольников.  

Четырехугольники. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, ромб, 

квадрат  и  их  свойства.  Трапеция.  Средняя  линия  трапеции  и  ее  свойства.  Площади 

четырехугольников. 

Понятие о симметрии.  

Окружность  и  круг.  Касательная  к  окружности  и  ее  свойства.  Центральные  и 

вписанные  углы.  Окружность,  описанная  около  треугольника.  Окружность,  вписанная  в 

треугольник.  

Угол между касательной и хордой. Пропорциональные отрезки в окружности.  

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки 

Вектор. Угол между векторами. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение 

вектора на число. Скалярное произведение векторов. 

 

Специальные олимпиадные темы. 

Логические задачи. Истинные и ложные утверждения.  

«Оценка + пример».  

Построение примеров и контрпримеров.  

Принцип Дирихле.  

Разрезания.  

Раскраски.  

Игры.  

Инвариант.  

Элементы комбинаторики.  

Диофантовы уравнения (уравнения в целых числах). 

 

13 

 

Х-ХI КЛАССЫ 

 

Числа и вычисления. 

Делимость.  Простые  и  составные  числа.  Разложение  числа  на  простые  множители. 

Четность.  Деление  с  остатком.  Признаки  делимости  на  2

k

,  3,  5

k

,  6,  9,  11.  Свойства 

факториала. Свойства простых делителей числа и его степеней. Взаимно простые числа  

Целые числа. Рациональные числа. Иррациональные числа. Число 



. 

 

Выражения и их преобразования. 

Многочлены.  Формулы  сокращенного  умножения.  Разложение  многочленов  на 

множители. Теорема Безу. 

Арифметическая и геометрическая прогрессии.  

Корень n-й степени и его свойства. Свойства степени с рациональным показателем. 

 

Тригонометрия. 

Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. 

Преобразования  тригонометрических  выражений.  Свойства  тригонометрических 

функций: ограниченность, периодичность. 

 

Уравнения и неравенства. 

Уравнения с одной переменной. Квадратные уравнения. Теорема Виета.  

Иррациональные  уравнения.  Показательные  и  логарифмические  уравнения,  их 

системы. Тригонометрические уравнения. 

Неравенства  с  одной  переменной.  Решение  неравенств  методом  интервалов. 

Показательные и логарифмические неравенства. 

Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Простейшие 

уравнения, неравенства и системы с параметрами. 

Неравенства второй степени с одной переменной. Неравенства о средних. 

Системы уравнений. 

Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, неравенств, систем уравнений. 

 

Функции. 

Числовые  функции  и  их  свойства:  периодичность,  четность  и  нечетность, 

экстремумы,  наибольшее  и  наименьшее  значения,  промежутки  знакопостоянства, 

 

14 

ограниченность.  Понятие  об  обратной  функции.  Свойство  графиков  взаимно  обратных 

функций. 

Тригонометрические  функции  числового  аргумента:  синус,  косинус,  тангенс, 

котангенс. Свойства и графики тригонометрических функций. 

Показательная функция, ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства 

и график. Степенная функция, ее свойства и график. 

Производная, ее геометрический и механический смысл.  

Применение  производной  к  исследованию  функций,  нахождению  их  наибольших  и 

наименьших  значений  и  построению  графиков.  Построение  и  преобразование  графиков 

функций. 

Касательная и ее свойства.  

 

Планиметрия и стереометрия. 

Планиметрия. 

Признаки  равенства  треугольников.  Признаки  подобия  треугольников.  Неравенство 

треугольника. Площадь треугольника. 

Многоугольники. Правильные многоугольники.  

Окружность.  Касательная  к  окружности  и  ее  свойства.  Центральные  и  вписанные 

углы. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник.  

Угол между касательной и хордой. Пропорциональные отрезки в окружности. 

Вектор. Свойства векторов. 

 

Стереометрия. 

Взаимное расположение прямых в пространстве.  

Свойства параллельности и перпендикулярности прямых. 

Взаимное  расположение  прямой  и  плоскости.  Перпендикуляр  и  наклонная  к 

плоскости. Свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Теорема о 

трех перпендикулярах. 

Взаимное 

расположение 

двух 

плоскостей. 

Свойства 

параллельности 

и 

перпендикулярности плоскостей. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. 

Двугранный и многогранный углы. Линейный угол двугранного угла. 

Параллелепипед. Пирамида. Призма.  

Декартовы координаты в пространстве. Расстояние между точками. 

Вектор в пространстве.  

 

 

15 

Специальные олимпиадные темы. 

«Оценка + пример».  

Построение примеров и контрпримеров.  

Принцип Дирихле.  

Раскраски.  

Игры.  

Метод математической индукции.  

Геометрические свойства графиков функций. 

Элементы комбинаторики.  

Диофантовы уравнения (уравнения в целых числах).  

 

Типовые задания школьного этапа олимпиады 

 

Ниже  приведены  примеры  типовых  задач  школьного  этапа  олимпиады  с  указанием 

примерной сложности для соответствующего класса. Задания разбиты по основным темам. 

 

Арифметика, числовые ребусы 

 

(4-5  класс,  средняя).  Восстановите  пример  на  сложение,  где  цифры  слагаемых 

заменены звездочками: ** + ** + **= 296. 

Ответ. 99+99+98=296. 

 

(4-6  класс,  легкая).  Найдите  решение  числового  ребуса  AAA–AA–A=B.  Одинаковым 

буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.  

Ответ. 111–11–1=99. 

 

(5-6  класс,  средняя).  Расставьте  скобки  в  выражении  1  :  2  :  3  :  4  :  5  =  30  так,  чтобы 

получилось верное равенство. 

Ответ. 1:(2:3:4:5)=30. 

 

(7-8 класс, легкая). Расставьте скобки в левой части выражения 2 : 3 : 4 : 5 : 6 = 5 так, 

чтобы получилось верное равенство. 

Ответ. (2:3):((4:5):6)=5. 

 

(7-8  класс,  сложная).  Сколько  решений  имеет  ребус 

CBAC

AC

C

ABBB

=





? 

 

16 

Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.  

Ответ. 8 решений.  

Решение. Заметим, что цифры 

A

 и 

C

 – ненулевые. Вычтем из обоих частей равенства 

AC .  Получим 

00

= CB

C

ABBB



.  Поскольку  первая  цифра  числа 

00

CB

  равна 

C

,  это 

возможно 

только 

в 

случае, 

когда 

1

=

A

. 

Получим 

00

000

=

00

=

000

=

1

B

C

CB

C

BBB

C

C

BBB









,  откуда 

00

= B

C

BBB



.  Это  возможно 

только  при 

0

=

B

.  Итак, 

1

=

A

  и 

0

=

B

.  Подставим  эти  значения  в  условие: 

C

C

C

C

01

=

1

1000





.  Это  равенство  выполняется  при  любых 

C

.  Однако  разным  буквам 

соответствуют  разные  цифры,  поэтому 

0



C

  и 

1



C

.  Осталось  8  возможностей  для 

C

. 

Значит, ребус имеет 8 решений. 

 

(8 класс, средняя). Число, состоящее из N цифр 8 (других цифр в числе нет), умножили 

на число 8. Полученное произведение имеет сумму цифр, равную 1200. Найдите N. 

Ответ. 1191. 

Решение. Перемножив числа в столбик, получим результат: 7111…11104. В этом числе 

N–2 единицы. А сумма его цифр равна 

7 (

2) 4 1200

N



  

, откуда N=1191. 

 

(8  класс,  средняя).  Найдите  какое-нибудь  натуральное  число,  произведение  цифр 

которого на 50 больше суммы его цифр.  

Ответ. Например, 9811111. 

 

Разрезания 

 

(4-6 класс, средняя). Разрежьте угол 

8 8



 на уголки из трех клеток (см. рис. 1). 

 

 

 

Рис. 1 

Решение. Одно из возможных решений показано на рис. 2.