DIN-Normen - Teil 237

Tabelle 964.1,

Fortsetzung

8.8

"#

g

"# h

g und h sind
gegensinnig parallel

g und h haben entgegengesetzt gleiche
Tra¨gervektoren

8.9

Strahl, Halbgerade

Punktmenge der Art
fP þ l PQ j l  0g fu¨r P 6¼ Q

8.10

Tra¨gervektor eines Strahls
g

Vektor PQ fu¨r den Anfangspunkt P des Strahls
und einen davon verschiedenen Punkt Q des
Strahls

8.11

|

| ðg; hÞ

(nicht orientierter)
Winkel zwischen g und h

Arccos

x   y

jxj jyj

,

wobei x, y Tra¨gervektoren der Strahlen g, h sind

8.12

|

| ðg; hÞ

orientierter Winkel von g
nach h

| ðg, hÞ, wenn g ¼ h oder wenn Tra¨gervektoren,
g, h die gegebene Orientierung der Ebene
(im Sinne von DIN 1312, Abschn. 2.2, s. Norm)
bestimmen, andernfalls 2

p

| ðg, hÞ

8.16

PQ

Strecke von P nach Q

fP þ l PQ j 0  l  1g

8.17

d

d

ðP , QÞ

Abstand (Distanz) von P
und Q

jPQj

8.18

D

DðP Q RÞ

Dreieck P Q R

PQ

[ QR [ RP

8.19



ðP , rÞ

Kreis um P mit Radius r

fQ j dðP , QÞ ¼ rg

8.20

ffi

M

ffi N

M ist kongruent zu N

es gibt eine Kongruenzabbildung, die M in N u¨ber-
fu¨hrt

9.1

lim

a

¼ lim

n

!z

a

n

a ist Limes (Grenzwert)
der Folge (a

n

),

die Folge (a

n

) konvergiert

gegen a

zu jedem

" > 0 gibt es ein n

0

, sodass fu¨r alle n

> n

0

gilt:
ja  a

n

j < "

9.2

P

m

n

¼0

P

m

n

¼0

a

n

Summe der Reihe

P

n

¼0

a

n

lim

m

!k

P

m

n

¼0

a

n





9.3

lim

a

¼ lim

x

!x0

f

ðxÞ

a ist Limes von
f (x) fu¨r x gegen x

0

zu jedem

" > 0 gibt es ein d > 0, sodass fu¨r alle

x

2 DðFÞ mit jx  x

0

j < d gilt:

0

< jf ðxÞ  aj < "

9.8



f

 g

f ist asymptopisch gleich g

lim

x

!k

f

ðxÞ

g

ðxÞ

¼ 1

10.1

f ist in x

0

differenzierbar

es gibt eine in x

0

stetige Funktion

w, sodass

fu¨r alle x

2 Dðf Þ gilt:

f

ðxÞ ¼ f ðx

0

Þ þ ðx  x

0

ÞwðxÞ

10.2

f

0

ðx

0

Þ

df

ðxÞ

dx

x

0

f Strich von x

0

,

df (x) nach dx an der
Stelle x

0

,

Ableitung von f an der
Stelle x

0

w

ðx

0

Þ fu¨r die eindeutig bestimmte Funktion w

aus Nr. 10.1

10.3

f

0

df

ðxÞ

dx

f Strich,
df (x) nach dx,
Ableitung von f

hx ! f

0

ðxÞi

10.8

f,

k

f-partiell nach dem
kten Argument

hx ! f ,

k

ðxÞi

@f ðxÞ

@x

k

d partiell f (x) nach dx

k

10.10

D

Dx oder Df

Delta x oder Delta f

Differenz zweier Werte, die dem Kontext zu
entnehmen sind

11.2

S

S

S

S

ðf ; =Þ

Obersumme von f
bezu¨glich

=

P

n

i

¼0

sup

ff ðxÞ j a

i

 x  a

i

þ1

g   ða

i

þ1

 a

i

Þ

Fortsetzung s. na¨chste Seiten

20

Mathematik, Physik

966

20

Tabelle 964.1,

Fortsetzung

11.3

S

S

ðf ; =Þ

Untersumme von f
bezu¨glich

=

P

n

i

¼0

inf

ff ðxÞ j a

i

 x  a

i

þ1

g   ða

i

þ1

 a

i

Þ

11.4

f ist u¨ber I im
Riemannschen Sinne
integrierbar

das Supremum aller Untersummen S

ðf ; =Þ

ist gleich dem Infimum aller Obersummen

S

S

ðf , =Þ

11.5

Ð

Ð

b

a

f

ðxÞ dx

Integral u¨ber f

ðxÞdx von

a bis b

der gemeinsame Wert, der zugleich Supremum
der Untersummen und Infimum der
Obersummen ist

Ð

b

a

f

Integral u¨ber f von a bis b

11.6

RR



Randintegral, Hu¨llenintegral

besonderes Integralzeichen, das bei Kurven-
und Fla¨chenintegralen auch anstelle von

R

benutzt

wird, wenn der Integrationsbereich eine
geschlossene Kurve oder Fla¨che ist

11.7

F ist eine Stammfunktion
von f

F

0

¼ f

11.8

F

ðxÞ

x

¼b

x

¼a

F(x) zwischen den Grenzen
fu¨r x von a bis b

F

ðbÞ  FðaÞ

F

b

a

F zwischen den Grenzen a und
b

12.1

exp

exp z oder e

z

Exponentialfunktion
von

z

,

e hoch

z

P

z

k

0

z

k

k

!

12.2

ln

ln x

natu¨rlicher Logarithmus
von x

ln ist die Umkehrfunktion der Einschra¨nkung
von exp auf

R

12.3

x

z

x hoch z

exp

ðz ln xÞ

12.4

log

log

y

x

Logarithmus von x zur
Basis y

ln x
ln y

12.5

lg

lg x

dekadischer Logarithmus
von x

log

10

x

12.6

lb

lb x

bina¨rer Logarithmus
von x

log

2

x

13.1

sin

sin z

Sinus von z

P

z

k

¼0

ð1Þ

k

z

2k

þ1

ð2k þ 1Þ!

13.2

cos

cos z

Cosinus von z

P

z

k

¼0

ð1Þ

k

z

2k

ð2kÞ!

13.3

tan

tan z

Tangens von z

sin z

cos z

13.4

cot

cot z

Cotangens von z

cos z

sin z

13.9

Arcsin

Arcsin x

Arcussinus von x

Arcsin ist die Umkehrfunktion der Einschra¨nkung

von sin auf



p
2

,

p
2

h

i

13.10

Arccos

Arccos x

Arcuscosinus von x

Arccos ist die Umkehrfunktion der Einschra¨nkung
von cos auf

½0, p

13.11

Arctan

Arctan x

Arcustangens von x

Arctan ist die Umkehrfunktion der Einschra¨nkung

von tan auf



p

2

,

p
2

13.12

Arccot

Arccot x

Arcuscotangens von x

Arccot ist die Umkehrfunktion der Einschra¨nkung
von cot auf

ð0; pÞ

Fortsetzung s. na¨chste Seiten

20.3

Mathematische Zeichen

967

In Fachschriften werden physikalische Gro¨ßen vorwiegend durch kursive (schra¨ge) Buchstaben, Funk-
tionszeichen wie sin, log sowie die Zeichen d,

d, Basis e und Einheit i (oder j) durch senkrechte Buch-

staben dargestellt. In mathematischen Abhandlungen benutzt man durchweg schra¨ge Buchstaben,
außer bei Funktionszeichen mit einer Buchstabenfolge

 2, z. B. sin, arcsin (DIN 1338, s. Norm).

20.4

Zahlenangaben, Dezimalschreibweisen, Runden

DIN 1333

Zahlenangaben (Feb 1992)

In dieser Norm wird festgelegt, wie Zahlen im ta¨glichen Leben, in Wirtschaft, Technik und Wissen-
schaft geschrieben werden sollen. Dabei werden auch u¨ber na¨herungsweise Angabe von Zahlen Fest-
legungen getroffen, wie sie beim Runden und Messen erforderlich sind. Ferner wird die Art der An-
gabe von Toleranzen festgelegt.

Die verschiedenen Arten von Zahlenschreibweisen im Zehnersystem (Dezimalschreibweise) s. Norm.

Tabelle 964.1,

Fortsetzung

Gruppe 7 ist als Letzte wiedergegeben, und zwar mit besonderem Tabellenkopf. Zu den Grundaufgaben der Kombina-
torik geho¨rt die Bestimmung der Anzahlen von gewissen Zusammenstellungen, Auswahlen oder anderweitig spezifi-
zierten Kombinationen von Elementen endlicher Mengen.

Nr

interpretations-
unabha¨ngige
Benennung

Anzahl

mengentheoreti-
sches Modell

Wortmodell

Verteilungsmodell
Urnenmodell

7.1

s-Kombination mit
Wiederholungen
oder s-Repetition

n

þ s

1

s

s-Auswahl mit
Vielfachheit

geordnetes Wort
der La¨nge s

Verteilung

von

s

nicht

unter-

scheidbaren Kugeln auf n Fa¨cher
Ziehung von s Kugeln mit Ru¨ckle-
gen ohne Notieren der Reihenfol-
ge

7.2

s-Kombination
ohne
Wiederholungen
oder
s-Kombination

n

s

 

Dabei ist
1

 s  n

s-Auswahl
s-elementige
Teilmenge

geordnetes Wort
der La¨nge s
ohne
Wiederholungen

Verteilung

von

s

nicht

unter-

scheidbaren Kugeln auf n Pla¨tze
Ziehung von s Kugeln ohne Ru¨ck-
legen und ohne Notieren der Rei-
henfolge

7.3

s-Variation mit
Wiederholungen
oder s-Variationen

n

s

s-Tupel

Wort der La¨nge s

Verteilung von s unterscheidbaren
Kugeln auf n Fa¨cher
Ziehung von s Kugeln mit Ru¨ckle-
gen und Notieren der Reihenfolge

7.4

s-Variation ohne
Wiederholungen
oder s-Permutation

(n)

s

Dabei ist
1

 s  n

s-Tupel
verschiedener
Elemente

Wort der La¨nge
s ohne
Wiederholungen

Verteilung von s unterscheidbaren
Kugeln auf n Pla¨tze
Ziehung von s Kugeln ohne Ru¨ck-
legen mit Notieren der Reihenfol-
ge

7.5

s-Permutation mit
Vielfachheiten
k

1

,

. . . , k

n

s

!

k

1

! . . . k

n

!

Dabei ist
s

¼ k

1

þ . . . þ k

n

s-Tupel, in dem
das i-te Element
von G k

i

-mal

vorkommt
(fu¨r 1

 i  n)

Wort der La¨nge s,
in dem das i-te
Zeichen k

i

-mal

vorkommt
(fu¨r 1

 i  n)

Verteilung von s unterscheidbaren
Kugeln auf n nummerierte Fa¨cher,
so dass das i-te Fach k

i

; Kugeln

enha¨lt (fu¨r 1

 i  n)

Ziehung von s Kugeln mit Ru¨ckle-
gen und mit Notieren der Reihen-
folge, wobei die i-te Kugel k

i

-mal

gezogen wurde (fu¨r 1

 i  n)

7.6

Permutation

n!

n-Tupel
verschiedener
Elemente

Wort der La¨nge n
ohne
Wiederholungen

Verteilung von n unterscheidba-
ren Kugeln auf n Pla¨tze
Ziehung

aller

n

Kugeln

ohne

Ru¨cklegen mit Notieren der Rei-
henfolge

Schreibweise physikalischer Gro¨ßen und Gleichungen s. DIN 1313.

20

Mathematik, Physik

968

Runden

Die in der Norm festgelegten Rundeverfahren bestehen aus drei Schritten:

– Festlegen der Rundestelle,
– Kommastellung und
– Anwenden einer Runderegel.

Festlegen der Rundestelle

Die Rundestelle (das ist die Dezimalstelle, an der nach dem Runden die letzte Ziffer steht) kann fest
vereinbart werden (z. B. die dritte Stelle von links, Cent- oder Euro-Betrag), sich aus technischen
Gru¨nden ergeben (letzte Stelle der Ergebnisablage im Speicher einer Datenverarbeitungsanlage) oder
es kann ein Verfahren zur Bestimmung der Rundestelle angewendet werden.

Um eine Zahl zu runden, addiert man zu ihr den halben Stellenwert der Rundestelle und la¨sst in der
Summe die hinter der Rundestelle stehenden Ziffern weg.

Beispiele

zu rundende Zahl

8,579413

8,579613

Rundestelle

j

j

halber Rundstellenwert

0,0005

0,0005

Summe

8,579913

8,580113

gerundete Zahl

8,579

8,580

Durch das Runden entsteht ein Rundefehler, das ist die Differenz:gerundete Zahl minus zu rundende
Zahl. Er kann positiv oder null oder negativ sein. Sein Betrag ist kleiner als 5/9 des Stellenwertes der
Rundestelle.

Kommastellung

Fu¨r Mitteilungen von Mess- und Rechenergebnissen in Wissenschaft und Technik, aber nicht fu¨r Ver-
suchsprotokolle, Auswertungen und Berechnungen gilt folgende Regel:

Die nach Anwendung einer der Grundregeln wegzulassenden Ziffern sollen nicht durch Nullen (oder
andere Ziffern) ersetzt werden. Deshalb darf das Komma nicht weiter rechts als unmittelbar rechts
neben der Rundestelle stehen. Dazu ist no¨tigenfalls vor dem Runden das Komma um hinreichend
viele Stellen nach links zu verschieben unter gleichzeitigem Multiplizieren mit der Zehnerpotenz, de-
ren Exponent gleich der Anzahl der Verschiebestellen ist.

Beispiel

zu rundende Zahl

857941,3

Rundestelle

j

Kommaverschiebung

8579,413

 10

2

oder

8,579413

 10

5

gerundete Zahl

8579

 10

2

oder

8,579

 10

5

ber Zahlenangaben mit Einheiten s. DIN 1301-1.

Ab- und Aufrunden

Wo ein p o s i t i v e r Rundefehler unzula¨ssig ist, wird, abweichend vom Verfahren, a b gerundet, das
heißt: ohne vorherige Addition werden die Ziffern hinter der Rundestelle weggelassen.

Wo ein n e g a t i v e r Rundefehler unzula¨ssig ist, wird, abweichend vom Verfahren, a u f gerundet, das
heißt: der ganze Stellenwert der Rundestelle wird addiert, und in der Summe werden die Ziffern hin-
ter der Rundestelle weggelassen.

Der Betrag des durch Ab- und Aufrunden entstehenden Fehlers kann gro¨ßer sein als der Rundefehler,
aber nicht gro¨ßer als der Stellenwert der Rundestelle.

Angabe von Vorgabewerten, z. B. Sollwerte, Grenzwerte, Toleranzen

Vorgabewerte sind im Allgemeinen als genaue Werte, also als Werte ohne Unsicherheit, aufzufassen.

Werden Vorgabewerte, insbesondere Grenzwerte und Toleranzen, willku¨rlich vera¨ndert, z. B. durch
Runden nach Umrechnung, so du¨rfen diese nderungen jeweils nur in solcher Richtung und mit sol-
chen Betra¨gen vorgenommen werden, dass der durch die Vorgabe beabsichtigte Zweck nicht beein-
tra¨chtigt wird. So gea¨nderte Vorgabewerte sind bei der weiteren Anwendung wieder als genaue Wer-
te aufzufassen. Bei Sollwerten darf aus der geschriebenen Stellenzahl alleine nicht auf die
Grenzabweichungen geschlossen werden. Die Angabe von Sollwerten ist nur vollsta¨ndig mit Angabe
u¨ber Grenzabweichungen oder anderen Angaben u¨ber einzuhaltende Grenzwerte.

20

20.4

Zahlenangaben, Dezimalschreibweisen, Runden

969