DIN-Normen - Teil 235

DIN 1311-2

Schwingungen und schwingungsfa¨hige Systeme – Teil 2: Lineare, zeitinvariante schwin-
gungsfa¨hige Systeme mit einem Freiheitsgrad (Aug 2002)

Diese Norm beschreibt grundlegend schwingungsfa¨hige Systeme mit einem Freiheitsgrad und erla¨u-
tert detailliert zeitinvariante Systeme, deren Kennwerte und Kennfunktionen der Strukturelemente
zeitlich konstant sind.

Folgende Strukturelemente werden beschrieben:

– Masse und Massentra¨gheitsmoment als Speicher kinetischer Energie,
– Feder und Potenzialfeder als Speicher potenzieller Energie,
– dissipatives Strukturelement,
– lineare Strukturelemente,
– komplexe Steifigkeit eines Feder-Da¨mpfer-Elementes,
– dynamische Steifigkeit eines Strukturelementes.

Ferner werden verschiedene Arten der Schwingungserregung und Schwingungsantworten sowie de-
ren mathematischen Ableitungen und grafischen Darstellungsformen erla¨utert.

DIN 1311-3

Schwingungen und schwingungsfa¨hige Systeme – Teil 3: Lineare, zeitinvariante schwin-
gungsfa¨hige Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden (Feb 2000)

Reale zeitinvariante schwingungsfa¨hige Systeme lassen sich oftmals durch lineare Ersatzsysteme mit
endlich vielen Freiheitsgraden abbilden. Diese Ersatzsysteme bestehen idealisiert aus endlich vielen
starren Ko¨rpern und Massenpunkten, die durch masselose Federn, Da¨mpfungselemente und Gelenke
untereinander oder mit der Umgebung verbunden sind.

Die vollsta¨ndige Beschreibung des Schwingungsverhaltens eines solchen Systems erfolgt durch die
Angabe des Zeitverlaufes mehrerer unabha¨ngiger Zustandsgro¨ßen. Zustandsgro¨ßen sind unabha¨n-
gig, wenn ihnen voneinander unabha¨ngige Anfangswerte zugeordnet werden ko¨nnen.

Die Anzahl der unabha¨ngigen Zustandsgro¨ßen ha¨ngt von der Anzahl der Freiheitsgrade ab.

Die momentane Lage der starren Ko¨rper und Massenpunkte eines Systems wird durch endlich viele
Koordinaten x

j

, j

¼ 1; . . . ; m; beschrieben. Die Koordinaten heißen unabha¨ngig, wenn die Zusammen-

ha¨nge zwischen ihnen nicht durch algebraische Gleichungen der Form

F

h

ðx

j

Þ ¼ 0 ¼ 1, . . . , k < m  2

beschrieben werden ko¨nnen. Sie werden dann als verallgemeinerte oder generalisierte Koordinaten q

r

r

¼ 1, . . . , n

n

 m

bezeichnet.

Als Zustandsgro¨ßen werden im Allgemeinen die Werte der Koordinaten und der Geschwindigkeiten
der starren Ko¨rper bzw. Massenpunkte zu dem jeweils betrachteten Zeitpunkt verwendet. Die Anzahl
der unabha¨ngigen Zustandsgro¨ßen ist aber ho¨chstens doppelt so groß wie die Anzahl der unabha¨ngi-
gen Koordinaten.

Freiheitsgrade sind voneinander unabha¨ngige Bewegungsmo¨glichkeiten.

Die Anzahl der unabha¨ngigen Koordinaten ist gleich der Anzahl n der Freiheitsgrade des Systems.
Diese Anzahl ist zugleich die notwendige Mindestanzahl von Koordinaten zur eindeutigen Beschrei-
bung des Bewegungsverhaltens eines Systems.

Der aus den Koordinaten x

j

gebildete Vektor

y

¼ ðx

1

,

. . . , x

m

Þ

T

heißt Koordinatenvektor, der Vektor

y

¼ ðx

1

,

. . . , x

m

,

_xx

1

,

. . . , _xx

m

Þ

T

¼

x

_xx

Þ :



heißt Zustandsvektor.

Die Differenzialgleichungen, die die m Koordinaten miteinander verbinden, heißen Bewegungsdiffe-
renzialgleichungen. Sie sind von ho¨chstens zweiter Ableitung nach der Zeit in den Koordinaten x

j

,

j

¼ 1, . . . , m:

20

Mathematik, Physik

958

Die Differenzialgleichungen, die die Zustandsgro¨ßen miteinander verbinden, heißen Zustandsglei-
chungen. Sie sind von ho¨chstens erster Ordnung nach der Zeit in den Zustandsgro¨ßen y

j

,

j

¼ 1, . . . , 2 m:

Sind die Elemente des schwingungsfa¨higen Systems ausschließlich Energiespeicher fu¨r kinetische
und potenzielle Energie, dann heißt es ungeda¨mpftes System und ist mindestens ein Element enthal-
ten, das die mechanische Energie verringert (z. B. durch Umwandlung in Wa¨rme), dann heißt es ge-
da¨mpftes System.

Weiterhin beschreibt die Norm verschiedene Formen der Eigenschwingungsanalyse sowie Darstellun-
gen, Frequenzgang und Resonanz von erzwungenen Schwingungen (s. Norm).

DIN 1311-4

Schwingungslehre – Schwingende Kontinua, Wellen (Feb 1974)

Ein System heißt Kontinuum (Mehrz.: Kontinua), wenn die Eigenschaften des schwingungsfa¨higen
Systems stetige Funktionen des Ortes sind.

In dieser Norm sind festgelegt: Einteilung der Kontinua nach der Ortsabha¨ngigkeit und nach der Rich-
tungsabha¨ngigkeit der Eigenschaften; Ausdehnung und Zustand des Kontinuums.

Daru¨ber hinaus: Gleichungen des schwingenden Kontinuums (im Innern sowie Rand- und Grenzbe-
dingungen), Schwingungen des Kontinuums (Eigenvorga¨nge, Eigenschwingungen; erzwungene Si-
nusschwingungen des linearen Kontinuums; selbsterregte Schwingungen des Kontinuums), Wellen
(kinematische und physikalische Einteilung).

Begriffe, Gro¨ßen und Formelzeichen fu¨r ideal elastische Ko¨rper und starre Ko¨rper sind in DIN 13316
und DIN 13317 (s. Normen) festgelegt.

20.2.3

Wa¨rmetechnik

DIN 1341

Wa¨rmeu¨bertragung – Begriffe, Kenngro¨ßen (Okt 1986)

Es werden die Grundbegriffe behandelt wie Wa¨rmeu¨bertragung (gemeinsamer Name fu¨r den Trans-
port von Wa¨rme durch Leitung, Konvektion und Strahlung; sie kann zeitunabha¨ngig (stationa¨r) und
zeitabha¨ngig (instationa¨r) sein.

Wa¨rme (Wa¨rmemenge) Q

Wa¨rmestrom

F oder _

Q

Q

¼ dQ=dt

Wa¨rmestromdichte q

¼ F/A

Leistungsdichte

j

¼ F/V

Strahlungsleistung

F

e

¼ dQ

e

/dt

In den Hauptabschnitten der Norm werden behandelt: Wa¨rmeleitung, Wa¨rmeu¨bertragung, Wa¨rme-
durchgang, thermischer Widerstand und Temperaturstrahlung (Wa¨rmestrahlung).

Abschließend wird auf die Mo¨glichkeit hingewiesen, die große Anzahl der Einflussgro¨ßen zu vermin-
dern, wenn diese zu Kenngro¨ßen von der Dimension 1 zusammengefasst werden. Die u¨blichen Kenn-
gro¨ßen („Kennzahlen“) sind in Tab. 959.1 angegeben.

Darin bedeuten:

a

Temperaturleitfa¨higkeit

c

p

isobare spezifische Wa¨rmekapazita¨t

g

o¨rtliche Fallbeschleunigung

l

charakteristische La¨nge

t

Zeit

v

Geschwindigkeit

a

Wa¨rmeu¨bergangskoeffizient

g

Volumenausdehnungskoeffizient

DJ Temperaturdifferenz
l

fe

bzw.

l

fl

Wa¨rmeleitfa¨higkeit fu¨r den Festko¨rper bzw.

fu¨r das Fluid

L

mittlere freie Wegla¨nge

v

kinematische Viskosita¨t

r

Dichte,

Dr Dichtedifferenz

20

Tabelle 959.1

Kenngro¨ßen (Kennzahlen) zur Wa¨rmeu¨ber-
tragung

Name

Formel-
zeichen

Definition

Archimedes-Zahl

Ar

g l

3

Dr=ðn

2

=rÞ

Biot-Zahl

Bi

a l

=l

fe

Fourier-Zahl

Fo

a t/l

2

Froude-Zahl

Cr

v

2

/g l

Grashof-Zahl

Gr

g

g

D#l

3

=v

2

Knudsen-Zahl

Kn

L

=l

Nusselt-Zahl

Nu

a l

=l

fl

Pe´clet-Zahl

Pe

v l

=a ¼ Re   Pr

Prandtl-Zahl

Pr

n

=a

Rayleigh-Zahl

Ra

g

g

D#l

3

=v aÞ ¼ Gr   Pr

Reynolds-Zahl

Re

v l

=n

Stanton-Zahl

St

a

=hvrc

p

i ¼ Nu=ðRe   PrÞ

20.2

Begriffe, Einheiten und Formelzeichen fu¨r einzelne Bereiche

959

20.2.4

Elektrotechnik

Wichtige Grundbegriffe der Elektrotechnik sind festgelegt in den Normen

DIN 1324-1

Elektromagnetisches Feld – Zustandsgro¨ßen

DIN 1324-2

– Materialgro¨ßen

DIN 1324-3

– Elektromagnetische Wellen (alle Mai 1988)

Als Feld wird ein Zustand des Raumes bezeichnet, dem man Impuls und Energie zuschreibt. Quellen
fu¨r elektrische und magnetische Felder sind ruhende und bewegte Ladungen. Letztere werden als
Stro¨me bezeichnet. Die e l e k t r i s c h e L a d u n g Q, auch Elektrizita¨tsmenge genannt, wird als Grund-
erscheinung der Elektrizita¨t betrachtet; sie ist eine skalare Gro¨ße.

Als Q u e l l e n g r o¨ ß e n des elektromagnetischen Feldes werden hier die Raumladungsdichte

r und

die Stromdichte J betrachtet.

Das durch die Quellen hervorgerufene Feld wird durch F e l d g r o¨ ß e n beschrieben. Zusammen mit
den Quellengro¨ßen und abgeleiteten Gro¨ßen bilden sie das System der Z u s t a n d s g r o¨ ß e n , die Ge-
genstand des Teil 1 der Norm sind. Es wird die Kontinuumstheorie zugrunde gelegt.

Die im Teil 1 behandelten Gro¨ßen und Begriffe sind in Tab. 960.1 angegeben.

Die Materialgro¨ßen, die die stoffspezifischen Beziehungen zwischen den Feldgro¨ßen beschreiben,
werden im Teil 2 (s. Tab. 961.1), Begriffe und Gro¨ßen, die im Zusammenhang mit der Ausbreitung
elektromagnetischer Wellen stehen, im Teil 3 (s. Tab. 962.1) behandelt.

Tabelle 960.1

bersicht u¨ber die in DIN 1324-1 behandelten Gro¨ßen und Begriffe

Gro¨ße oder Begriffe

Formel-
zeichen

SI-Einheit

Grundbegriffe

Feldgro¨ßen, Quellengro¨ßen

Feldgleichungen

Feldkonstanten

magnetische Feldkonstante

m

0

H/m

¼ V   s/(A   m)

elektrische Feldkonstante

Feldlinien

e

0

F/m

¼ A   s/(V   m)

Ladung und Strom

Elektrische Ladung

Q

C

¼ A   s

Raumladungsdichte

r

C/m

3

¼ A   s/m

3

Ladungsbedeckung

s

C/m

2

¼ A   s/m

2

Ladungsbelag

q

L

C/m

¼ A   s/m

Stromdichte

~

J

J

A/m

2

Strombelag

~

a

a

A/m

Stromsta¨rke

I

A

Verschiebungsdichte

@ ~

D

D

=@t

A/m

2

Gesamtstromdichte

~

J

J

tot

A/m

2

Feldsta¨rken und Flussdichten

Elektrische Feldsta¨rke

~

E

E

V/m

Elektrische Flussdichte

~

D

D

C/m

2

¼ A   s/m

2

Elektrischer Fluss

w

C

¼ A   s

Magnetische Flussdichte

~

B

B

T

¼ V   s/m

2

Magnetischer Fluss

F

Wb

¼ V   s

Magnetische Feldsta¨rke

~

H

H

A/m

Fortsetzung s. na¨chste Seite

20

Mathematik, Physik

960

20

Tabelle 960.1,

Fortsetzung

Gro¨ße oder Begriffe

Formel-
zeichen

SI-Einheit

Polarisation und Magnetisierung

Elektrische Polarisation

~

P

P

C/m

2

¼ A   s/m

2

Elektrisierung

~

P

P

=e

0

V/m

Elektrisches Dipolmoment

~

p

p

C

 m ¼ A   s   m

Magnetische Polarisation

m

0

~

M

M

T

¼ V   s/m

2

Magnetisierung

~

M

M

A/m

Magnetisches (Fla¨chen-) Moment

~

m

m

A

 m

2

Magnetisches Dipolmoment

~jj

Wb

 m ¼ V   s   m

Spannungen und Potenziale

(Elektrische) Spannung

U

V

Elektrisches Potenzial

j

e

1

)

V

Induzierte Spannung

U

i

V

Magnetisches Vektorpotenzial

~

A

A

m

1

)

Wb/m

¼ V   s/m

Magnetische Spannung

V

m

A

Durchflutung

Q

A

Energie- und Impulsgro¨ßen

Elektromagnetische Energiedichte

w

J/m

3

¼ V   A   s/m

3

Poyntingvektor

~

S

S

W/m

2

¼ V   A/m

2

Elektromagnetische Impulsdichte

~

p

p

v

N

 s/m

3

¼ V   A   s

2

/m

4

Kraftdichte

~

ff

N/m

3

¼ V   A   s/m

4

1

) Wegen 
berschneidung werden in dieser Norm die Ausweichzeichen

j

e

und ~

A

A

m

anstelle der Vorzugszeichen nach

DIN 1304-1 benutzt.

Tabelle 961.1

bersicht u¨ber die in DIN 1324-2 behandelten Gro¨ßen und Begriffe

Materialgro¨ßen oder Begriffe

Formel-
zeichen

SI-Einheit

Materialgro¨ßen zur Beschreibung der Stromleitung

Elektrische Leitfa¨higkeit, Konduktivita¨t

x

1

)

S/m

¼ A/(V   m)

Spezifischer elektrischer Widerstand, Resistivita¨t

r

W   m ¼ V   m/A

Materialgro¨ßen zur Beschreibung linearer dielektrischer bzw.
magnetischer Eigenschaften

Permittivita¨t

e

F/m

¼ A   s/(V   m)

Permeabilita¨t

m

H/m

¼ V   s/(A   m)

Permittivita¨tszahl (relative Permittivita¨t)

e

r

1

Permeabilita¨tszahl (relative Permeabilita¨t)

m

r

1

Elektrische Suszeptibilita¨t

c

e

1

Magnetische Suszeptibilita¨t

c

m

1

Materialgro¨ßen fu¨r dielektrisch bzw. magnetisch nichtlineare
Materialien

A u s d e r H y s t e r e s e s c h l e i f e b e i Vo l l a u s s t e u e r u n g
a b g e l e i t e t e M a t e r i a l g r o¨ ß e n :

Magnetische Sa¨ttigungspolarisation

J

s

T

¼ V   s/m

2

Sa¨ttigungsmagnetisierung

M

s

A/m

Elektrische Remanenzflussdichte

D

r

C/m

2

¼ A   s/m

2

Magnetische Remanenzflussdichte

B

r

T

 V   s/m

2

Elektrische Koerzitivfeldsta¨rke

E

c

V/m

Fortsetzung und Fußnote s. na¨chste Seite

20.2

Begriffe, Einheiten und Formelzeichen fu¨r einzelne Bereiche

961