Лемниската Бернулли
Лемниска́та Берну́лли
— плоская кривая
, геометрическое место точек
, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов
) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает восьмёрку
или символ бесконечности
. Её название происходит от греч.
λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции
«лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх
. Эту лемнискату называют в честь швейцарского
математика Якоба Бернулли
, положившего начало её изучению.
История
Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae
Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus
и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]
. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata
и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]
. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c
, расположены они на оси OX
, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
- в прямоугольных координатах:
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую
: от
до
. При этом, когда параметр стремится к
, точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти
, а когда параметр стремится к
, то — из четвёртой
Вывод уравнения :
Уравнение лемнискаты в полярной системе
подставим в формулы перехода к полярной системе координат
возведённые в квадрат:
Рассмотрим первое уравнение:
Используем тригонометрические формулы
и
:
Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение
:
После преобразований:
Извлекаем корень из обеих частей равенства:
Если произвести замену
, то получаем искомое выражение для x
:
Второе уравнение выводится аналогично с применением формулы
.
Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Свойства
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a
= c
, синусоидальной спирали с индексом n
= 2 и лемнискаты Бута при c
= 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Свойства от овала Кассини
- Лемниската — кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
- Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
- Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
- Лемнискату описывает окружность радиуса
, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
Свойства от синусоидальной спирали
- Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой
или двойной
точкой.
- Касательные в двойной точке составляют с отрезком F
1
F
2
углы
.
- Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен
.
- Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
- Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
- Радиус кривизны лемнискаты есть
Собственные свойства
Гравитационное свойство лемнискаты
- Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.
- Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
- Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол
с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
- Площадь полярного сектора
, при
:
- В частности, площадь каждой петли
, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной
.
- Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
- Длина дуги лемнискаты между точками
и
выражается эллиптическим интегралом I рода:
где
- В частности, длина всей лемнискаты
содержание ..
149
150
151 ..