Главная      Лекции     Лекции (разные) - часть 9

 

поиск по сайту           правообладателям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  148  149  150   ..

 

 

Элективный курс «Решение задач с параметрами»

Элективный курс «Решение задач с параметрами»

Элективный курс

«Решение задач с параметрами»

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

  1. Первоначальные сведения. 2ч
  2. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
  3. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
  4. Модуль и параметр. 2ч.
  5. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
  6. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
  7. Рациональные уравнения. 2ч
  8. Рациональные неравенства. 2 ч
  9. Иррациональные уравнения. 2ч
  10. Иррациональные неравенства. 2ч
  11. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры. 4 ч
  12. Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры . 4ч
  13. Производная и ее применения. 4ч
  14. Тригонометрия и параметры. 4ч
  15. Графические приемы решения. 4ч
  16. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч
    • количество решений уравнений;
    • уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями.
  17. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение систем уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении
.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

IV. Модуль и параметр.

Определение модуля.

Алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем.

Раскрытие разных модулей.

Графический способ решения.

Цель: Выработать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр.

V. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета.

Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Графический способ. Аналитический способ решения.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования
.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

VI. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами, решаемых с помощью свойств квадратичной функции.

VII . Рациональные уравнения.

Общая схема решения целых и дробно-рациональных уравнений.

Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Различные способы решения.

Цель: Сформировать умение решать рациональные уравнения с параметром.

Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр.

VIII . Рациональные неравенства.

Общая схема решения, «метод областей».

Различные способы решений.

Цель: Формировать умение и навыки решения рациональных неравенств с параметром.

IX. Иррациональные уравнения .

Схемы решения иррациональных уравнений.

Область определения уравнения.

Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Цель: Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром.

Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Х. Иррациональные неравенства.

Схемы решения иррациональных неравенств.

Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.

Цель: Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром.

XI . Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами.

Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения с параметрами.

XII . Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры.

Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами.

Цель: Формировать умение и навыки решения показательных и логарифмических неравенств с параметром.

XIII . Производная и ее применения.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

XIV . Тригонометрия и параметры.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.

XV . Графические приемы решения.

Использование свойств различных функций при решении заданий с параметром.

Специфика решений графическим способом.

Преимущества и недостатки графического способа.

Цель: Научить графическим приемам решения задач с параметром.

XVI . Нестандартные задачи с параметрами.

Использование различных свойств при решении задач с параметрами.

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.

Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.

XII . Текстовые задачи с использованием параметра.

Использование различных свойств при решении задач с параметрами.

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.

Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.

Планирование (64 часа)

№ урока

Тема

Дата проведения

1

Основные понятия уравнений с параметрами

2

Основные понятия неравенств с параметрами

3 – 4

Решение линейных уравнений с параметрами

5 – 6

Решение линейных неравенств с параметрами

7 – 8

Модуль и параметр

9 – 12

Квадратные уравнения, содержащие параметр

13 – 15

Квадратные неравенства, содержащие параметр

16 – 19

Свойства квадратичной функции

20 – 21

Рациональные уравнения с параметром

22 – 23

Рациональные неравенства с параметрами

24 – 25

Иррациональные уравнения с параметром

26 – 27

Иррациональные неравенства с параметрами

28 – 29

Показательные уравнения с параметром

30 – 31

Логарифмические уравнения с параметром

32 – 33

Показательные неравенства с параметром

34 – 35

Логарифмические неравенства с параметром

36 – 39

Производная и ее применения

40 – 43

Параметры в тригонометрии

44 – 47

Графические приемы решения

48 – 49

Количество решений уравнений

50 – 53

Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями

54 – 57

Текстовые задачи с использованием параметра

58 – 60

Итоговая по курсу

62 – 64

Защита индивидуальных проектов

Методические рекомендации

при изучении некоторых тем

Линейные и квадратные уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример . Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а =0 и а =2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х . В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A1 ={0}, А2 ={2} и А3 = {а ≠0, а ≠2}

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а= 0 ; 2) а= 2 ; 3) а ≠0, а ≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение (1) принимает вид 0 х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = ,

откуда х = .

0твет: 1) Если а= 0, то корней нет;

2)если а= 2, то х – любое действительное число;

3) если а ≠0, а ≠2 , то х = .

Пример. Решить уравнение

(а — 1) х 2 +2 (2а +1) х +(4а +3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а ≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (2) примет вид 6х +7=0. Из этого

уравнения находим х = - .

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао , то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>ао D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения = 0 находим а = - второе контрольное значение параметра а. При

этом если а <- , то D <0; если a- , то D≥0, a ≠ 1.

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а <- и в случае, когда { a- , a ≠ 1 }.

Если а <- , то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же

{ a- , a ≠ 1 }, то находим

Ответ: 1) если а <- , то корней нет;

2) если а = 1, то х = - ;

3) если a- , a ≠ 1, то .

Свойства квадратичной функции

в задачах с параметрами

При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для нахождения решений задачи. Однако, на мой взгляд, для рационального подхода к поиску решения достаточно рассмотреть только расположение графиков при положительном старшем коэффициенте, но обратить внимание, что тогда неравенства составляются в виде а f( A)< 0 или а f( A)> 0 (а - старший коэффициент).


Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

2 -2)х2 +2 +а -1 -а3 +а =0

больше числа а, а другой меньше числа а ?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а нули квадратичной функции

g(х)= 2 -2)х2 +2 +а -1 -а3 +а

лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а ?

Исходя из таблицы, имеем условие: а f( A)< 0.

В нашем случае это условие принимает вид

2 -2) g(а)< 0.

Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства

2 -2) ((а2 -2)а2 +2 +а -1 -а3 +а )<0, где а2 -2 0 (а = , а =- требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство,

находим, что а (- ; -1) (1; ).

Ответ : При а (- ; -1) (1; ).

Пример. При каких значениях параметра корни уравнения

(1)

больше 1?

Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена

больше 1?

Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена

(2)

были больше числа , необходимо и достаточно выполнение условий

(3)

(см. рис. 1.1.)

Условия (3) равносильны условиям

где - дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий

Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при =0 уравнение (1) имеет корень , который требованиям задачи не удовлетворяет.

Рассмотрим случай . При таких условия (3) запишутся в виде

Решая эту систему, находим, что .

Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство , где - меньший корень уравнения (1)

Ответ: .

Рациональные неравенства с параметрами

Пример . Найти все значения параметра , при которых неравенство

выполняется при всех .

Решение. Исходное неравенство является однородным неравенством второй степени относительно функции и . Если разделить его на , то получится равносильное неравенство

которое после замены становится квадратным неравенством относительно переменной с параметром :

(*)

Найдем множество значений функции при . Имеем: , то есть Отсюда при ; другие значения (отличные от нуля) найдем из условия неотрицательности дискриминанта этого квадратного уравнения: , то есть .

Итак, исходное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда неравенство (*) выполняется для всех .

Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом . Тогда имеем следующие необходимые и достаточные условия для нахождения искомых значений параметра :

(1)

(2)

(3)

Последовательно преобразуя, получаем:

Объединяя решения систем (1)-(3), получаем ответ.

Ответ :

Иррациональные уравнения с параметрами

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

Пример. В зависимости от значений параметра решить уравнение

(1)

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

Способ 1. Уравнение (1) равносильно системе

или системе

(2)

Решая уравнение из системы (2), находим

(3)

откуда следует, что при уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система

,

т.е. при

Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему

приходим к выводу, что .

Замечая теперь, что при дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ: если , то решений нет;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Способ 2 . Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.

Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень в исходное уравнение, придем к соотношению

,

откуда .

Если же подставить корень в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .

Учитывая теперь, что при корней нет, а при имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.

Способ 3. Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и в том случае, когда корни квадратного трехчлена не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы

Решая эту систему, находим, что .

При уравнение (1) имеет решение .

Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При решений нет.

Способ 4. Рассмотрим графики функций

и

заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).

Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.

При графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .

При уравнение (1) будет иметь корни и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).

При графики функций и пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение (см. рис. 6.3)

Способ 5. Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде

Построив тогда в плоскости график функции при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.

Ответ: если , то решений нет;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Показательные и логарифмические неравенства с параметрами

Пример . Найти все значения параметра , при которых неравенство

выполняется для всех действительных значений .

Решение. Исходное неравенство

равносильно следующей совокупности двух систем:

(1)

(2)

(1)

(2)

В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству

которое не может выполняться при всех действительных значениях при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.

В системе

(2)

из первого неравенства ( ) так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству

,

которое, очевидно, выполняется для всех действительных тогда и только тогда, когда

С учетом того, что , получаем

Ответ:

Производная и ее применения

Пример. Найти все значения параметра , при которых функция

имеет хотя бы один экстремум строго между числами и .

Решение. Для вычисления экстремумов функции найдем её производную:

откуда следует, что в точках экстремума, то есть при , значение параметра , так как . Поэтому интервал , на котором, согласно условию задачи, надо искать экстремум, целиком расположен справа от точки 0.

Дальнейшее решение задачи изложим двумя способами.

I- ый способ. Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом , положительность которого следует из того, что

Если абсцисса вершины параболы, являющейся графиком функции , расположена левее интервала , то есть величина , то значения и должны быть разных знаков, причем - отрицательно:

откуда следует, что

Если лежит строго между и , то либо , либо должно быть положительно:

Если лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно:

Объединяя найденные значения параметра в рассмотренных трех случаях , получает ответ: .

II – й способ.

Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых и с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем:

Так как производная при и при , то исходная функция является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной).

Левая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ).

Правая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ).

Объединяя найденные выше интервалы и значений параметра , получаем ответ.

Ответ: .

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики.

Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом автор данного а глубоко убеждена: ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка. В нем систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Б иблиографический список.

1. Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике. – 2-е изд. - Мн. ООО «Асар», 2002. – 464 с.; ил.

2. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – 4-е изд. – Просвещение, 1997. – 271 с.; ил.

3. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. – 3-е изд. – М.; Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, - 336 с.

4. Дорофеев Г. В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2002. – 672 с.; ил.

5. Сканави М. И. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – 7-е изд. – М. 1996. – 528 с.; ил.

6. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. – 315 с; ил.

7. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. и кл. с углубл. изуч. матаматики. – М.: Просвещение,1997. – 224 с.; ил.

8. Саакян С. М. и др. задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 кл. общеобразоват.учреждений. – М.: Просвещение, 1997. – 256 с.; ил.

9. Черкасов О. Ю.Якушев А. Г. Математика для поступающих в серьезные вузы. – М.: Московский лицей, 1998. – 400 с.

10. Говоров В. М. и др. Математика: сборник задач с решениями для поступающих в вузы. – М.: АСТ: Астрель,2005. – 829 с.; ил.

11. Шарыгин И. Ф. Сборник задач по математике с решениями: Учеб. пособие для 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: АСТ: Астрель, 2001. – 448 с.; ил.

12. Ромашко В. Д. Параметры. – Интернет.

13. Карп. А. П. Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа. – Санкт-Петербург: Оракул, 1998. – 284 с.

14. Бортаковский А. С., Закалюкин В. М. Задачи повышенной сложности по математике для абитуриентов, - М.: Изд-во МАИ, 2003. – 424 с.

15. Бортаковский А. С., Закалюкин В., Шапошников В. П. Экзаменационные задачи и варианты по математике: Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Изд-во МАИ, 2004. – 384 с.

16. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 кл. – М.: Экзамен, 1998. – 192 с.

17. Горнштейн П. И., Мерзляк А. Г., Полонский В. Б. Якир М. С. Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса, Харьков:Гимназия, 1998. – 236 с.

18. Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в вузы. – М.:КДУ, 2005. – 3-е изд. – 360 с.; ил.

19. Приходько Л. А., Грознова С. Ю. Математика: Пособие для поступающих в 10-ый лицейский класс. – М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2002. – 69 с.

20. Лебедев В. В. Решения задач репетиционного экзамена по математике 2002-2004 г. М.: «Экспресс-Полиграф-Сервис»., - 2002.

21. Потапов М. К.., Олехник С. Н.,Нестеренко Ю. В. Уравнения и неравенства с параметрами. – Изд-во Московского университета, 1992. – 16 с.

22. Осколков В. А. и др. Сборник конкурсных задач по математике с решениями и ответами. – М.: МИФИ, 2003. – 92 с.

23. Сборники «Математика. ЕГЭ». – М.: Экзамен,2004, 2005, 2006.

24. Сборники «Математика. ЕГЭ». – М.: АСТ: Астрель,2006, 2007.

25. Сборники «Математика. ЕГЭ». – М.: Просвещение, 2005-2007.

26. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Сборник задач и контрольных работ (7-9 кл.). – Москва-Харьков: Илекса, Гимназия, 1999.

27.

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  148  149  150   ..