Гидравлика (лекции) - часть 5

Разность давлений  

2

1

p

p 

  найдем,  применив уравнение количества движения к отсеку жидкости

между сечениями  1-1  и  2-2.  За  время  t  через сечения  1-1  и  2-2  протечет масса  жидкости  

t

Q



,

количество движения которой в  сечении  1-1, где скорость  

1

v

  равно  

1

v

t

Q



, а в  сечении  2-2  –

2

v

t

Q



, т. к. 

2

1

v

v 

, то изменение количества движения протекшей массы составит





2

1

v

v

t

Q





.

(а)

Это изменение количества движения равно импульсу сил давления. Эти силы следующие: в сечении 1-1,
где давление  

1

p

,  сила давления направлена в сторону течения и равна  

1

1



p

  (считается, что

давление  

1

p

  действует  и  на  поперечной стенке). Сила давления в сечении  2-2  направлена против

течения и равна 

2

2



p

. Суммарный импульс этих сил за время t составляет





t

p

p

1

1

2

2







.

(б)

В  соответствии  с  теоремой  о  количестве  движения  приравниваем выражения (а) и (б)



 



t

p

p

v

v

t

Q

1

1

2

2

2

1













Отсюда после деления на 

g



 

 и на 

2



t

 и перемены знаков получаем





2

1

2

2

1

2

2

1

v

g

v

v

g

v

v

Q

p

p

















,

(104)

так как 

2

2

v

Q





.

Подставляя правую часть равенства (б) в выражение (а), имеем

g

v

v

v

v

v

g

v

v

g

v

g

v

h

р

вн

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

.















,

(105)

или окончательно





g

v

v

h

р

вн

2

2

2

1

.





,

(106)

т. е. потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от  потерянной скорости.
Уравнение (106) называется формулой Борда.

Для  выявления  значения  коэффициента местного  сопротивления  из уравнения (106) вынесем

за скобки 





g

v

2

2

1

g

v

g

v

v

v

h

р

вн

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

.





















,

или

2

1

2

1

















v

v



.

(107)

Заменяя скорости  через  площади живых сечений  из уравнения неразрывности  

2

2

1

1





v

v



,

получим

2

2

1

1























.

(108)

Полученные уравнения (107) и (108) для значения 



 хорошо согласуются с опытами.

Уравнение (108) представлено в виде графика на рис. 33.

Рис. 33.

33

Постепенное   расширение   трубопровода.   Плавно   расширяющийся   трубопровод   –   диффузор

(рис.   34)   широко   применяется   в   технике.   При   течении   жидкости   по   диффузору   значительно
меньше, чем при внезапном расширении. У стенок диффузора также образуются завихрения. Чем
больше угол конусности трубопровода, тем больше вихреобразование и соответственно больше
потери напора. Потерями по длине в данном случае пренебрегать нельзя.

Таким

 

образом,

 

потери

 

напора

 

в

 

диффузоре

равны

 

сумме

 

потерь

 

на

 

расширение

 

и

 

на

 

трение

 

по

длине

дл

расш

дф

h

h

h





.               (109)

Потеря напора на расширение может быть найдена по формуле (106) с введением поправочного

коэффициента  К

см

,  называемого  коэффициентом   смягчения,

который зависит от угла конусности 







g

v

v

K

h

см

расш

2

2

2

1





.

(110)

Коэффициент   местного   сопротивления   в   этом   случае

определится по формуле

2

2

1

.

1



























см

р

вн

см

расш

K

K

;

(111)

К

см

  при  



<20° можно принять  равным  



sin



см

K

,  a  при  

0

60





  значение  коэффициента  К

см

следующие:

Угол конусности,

0



4

8

15

30

60

см

K

……..

0,08

0,16

0,35

0,80

0,90

Потери напора на трение по длине определяют по формуле

g

v

n

h

дл

2

1

1

2

sin

8

2

1

2





















,

(112)

Таким образом, суммарный коэффициент местного сопротивления для диффузора равен

































2

2

1

1

2

sin

8

1

1

n

n

K

см

дфф







.

(113)

Наименьшие потери напора в диффузоре получаются при угле расширения его в пределах от 5 до

10°.

Постепенное   сужение   трубопровода.   Постепенно   сужающиеся   участки   трубопроводов

(конфузоры) также нашли широкое применение в практике (рис. 35).

При   постепенном   сужении   сечения   скорость   вдоль

трубопровода возрастает, а давление падает. Отрыв потока
от  стенок   в этом  случае  возможен   только  на   выходе  из
конфузора   в   цилиндрическую   часть   трубопровода.
Поэтому при одинаковых гидравлических характеристиках
и размерах местные сопротивления в конфузоре меньше,
чем в диффузоре.

Потери   в   конфузоре   также   равны   сумме   потерь   на

постепенное сужение и на трение по длине

дл

с

п

конф

h

h

h





.

.

(114)

Потери напора по длине 

дл

h

 можно определять по формуле (112).

Рис. 34.

Рис. 35.

34

Потери напора на сужение существенными будут при 

0

50





, и их можно определить по формуле

g

v

h

с

п

с

п

2

2

1

.

.







,

(115)

где

с

вн

суж

с

п

K

.

.







.

(116)

Здесь  

с

вн.



– коэффициент  местного  сопротивления  при внезапном  сужении;  К

суж

  –  коэффициент

смягчения, учитывающий плавное сужение, который зависит от угла конусности 



.

График распределения скоростей при структурном режиме изображен на рис. 37.
Для определения скоростей по сечению потока теоретическим путем получена следующая формула









y

r

y

r

l

p

v

















0

2

2

4

,

(117)

где 

p



– разность давлений в начале и конце трубопровода; 



– абсолютная вязкость жидкости; 

l

–  длина

трубопровода;  

r

–  радиус трубопровода;  y –  расстояние   от   оси   трубопровода   до   слоя   жидкости,   у

которого определяется скорость; 

0



– первоначальное напряжение сдвига.

Для определения скорости в ядре сечения необходимо принять 

0

r

y 

, тогда









0

0

2

0

2

4

r

r

r

r

l

p

v

















.

(118)

Расход жидкости  определяется  по  формуле Букингама,  полученной теоретически





















0

4

3

4

8

p

p

l

r

Q





.

(119)

где  

p



–  приложенная  разность   давлений;  

0

p



–  разность   давлении,   соответствующая  началу

движения, определяемая по уравнению 

d

l

p

p

0

2

1

4





.

Потери напора при движении аномальных (неньютоновских) жидкостей можно определять по

уравнению   Дарси-Вейсбаха   (84),   что   подтверждено   исследованиями   Б.   С.   Филатова.   Обычно
режим движения турбулентный, и значение 



 принимают в пределах от 0,017 до 0,025, при этом



 принимают тем больше, чем меньше концентрация раствора.

При   производстве   земляных   работ   получил   широкое   применение   метод   гидромеханизации.

Грунт размывается струей воды, засасывается землесосом и транспортируется по трубам в отвал
или   к   месту   намыва   грунта.   Смесь   воды   с   размельченным   грунтом   называется  пульпой,  или
гидросмесью, а трубы по которым перекачивается пульпа, - пульповодами.

При  некоторой  достаточно   малой  скорости   частицы  грунта  начинают  осаждаться  и  заилять

трубопровод. Эта скорость называется критической. Обычные формулы гидравлики, приведенные
выше для трубопроводов с водой к пульпопроводам не применимы.

Гидравлический   расчет   пульповодов   заключается   в   определении   критических   скоростей   и

потерь напора. Проф. А. П. Юфин предложил следующие эмпирические формулы.

Для критической скорости:
а) в трубопроводах диаметром до 200 мм

54

,

0

65

,

0

1

2

,

0

d

e

d

v

a

кр









;

(120)

б) в трубопроводах диаметром больше 200 мм



















4

,

0

8

,

9

4

3

в

кр

w

d

v





,

(121)

Рис. 36.

Рис. 37.

35

где d – диаметр трубопровода, м; 

1

d

– средний диаметр твердых частиц, мм; 

71

,

2



e

– основание

натуральных логарифмов; 



– удельный вес пульпы; 

в



– удельный вес воды; 

13

,

0

1

86

,

3

d

a 

; 

w

–

так называемая «гидравлическая крупность», т. е. скорость падения частиц в спокойной воде.

Для потерь напора:
а) при критической скорости





d

g

w

l

h

кр

1









;

(122)

б) при скорости выше критической





4

2





в

кр

в

h

h

h

h







,

(123)

где  

l

–   длина   трубопровода;   g –  ускорение   свободного   падения;  

в

h

–   потери   напора   в

трубопроводе при движении чистой воды при том же расходе; 

кр

h

– потери напора при движении

пульпы с критической скоростью; 

v

v

кр





.

Остальные обозначения те же.

36

3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ,

НАСАДКИ

3.1. Классификация отверстий и их практическое применение

Вопрос истечения жидкости через отверстия является одним из узловых  моментов гидравлики.

Ученые и инженеры изучали этот вопрос начиная с XVII в. Уравнение Д. Бернулли впервые было
выведено   при   решении   одной  из   задач   на   истечение   жидкости   из   отверстия.   При   расчетах
диафрагм,  дырчатых   смесителей,   наполнении   и   опорожнении   резервуаров,   бассейнов,
водохранилищ,  шлюзовых камер и  других емкостей  решаются  задачи  на  истечение  жидкостей
через отверстия. При решении этих задач определяют скорости и расходы жидкостей.

Экспериментально установлено, что при истечении жидкости из  отверстий происходит сжатие

струи, т. е. уменьшение ее поперечного сечения. Форма сжатой струи зависит от формы и размеров
отверстия,  толщины   стенок,   а   также   от   расположения   отверстия   относительно  свободной
поверхности,   стенок   и   дна   сосуда,   из   которого   вытекает   жидкость.   Сжатие   струи   происходит
вследствие того, что частицы жидкости подходят к отверстию с разных сторон и по инерции движутся
в отверстии по сходящимся траекториям.

Параллельное течение струй в отверстии возможно только в том случае,  когда толщина стенок

сосуда близка к размерам отверстия, а стенки отверстия имеют плавные очертания, с расширением
внутрь сосуда. При этом отверстие превращается в коноидальный осадок (см. ниже).

Отверстия классифицируют следующим образом:
1 . П о  р а з м е р у .  

а) малые отверстия, когда  

 

z

H

d





10

1

  или  

 

z

H

a

10

1



  (рис. 38), где  

d

–  диаметр круглого

отверстия;  H – напор; 

z

– разность напоров при затопленном отверстии;

б) большие отверстия, когда 

 

z

H

d





10

1

 или 

 

z

H

a

10

1



.

2. П о   т о л щ и н е   с т е н к и , в которой сделано отверстие:
а) отверстия в тонкой стенке, когда 

d

t

3



 или 

a

t

3



, где t – толщина стенки;

б) отверстия в толстой стенке, когда 

d

t

3



 или 

a

t

3



.

3 . П о ф о р м е различают   круглые,   квадратные,   прямоугольные,   треугольные   и   другие

отверстия.

3.1.    Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне

Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через

малое   отверстие.   Пусть   жидкость   вытекает   из   большого   резервуара
через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 39).

Опытами   установлено,   что   сжатое   сечение   струи   находится   от

внутренней   поверхности   резервуара   на   расстоянии   около   половины
диаметра отверстия. Эта величина обычно бывает мала сравнительно с
напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр
сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте, тем более при
отверстии в боковой стенке.

Рис. 38.

Рис. 39.

37

Высоту  уровня жидкости  в резервуаре  Н  над  центром  отверстия  называют  геометрическим

напором. В общем случае давление 

1

p

 в резервуаре отличается от давления 

2

p

 в пространстве, куда

истекает жидкость.

Проведем плоскость сравнения 2-2 через центр сжатого сечения струи.
Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как  струйки в последнем

сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.

Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1-1 и 2-2

g

v

g

v

p

g

v

p

H

отв

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1





















,

(124)

где  

1

v

– скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре;  

2

v

– средняя  скорость течения в

сжатом сечении; 

отв



– коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.

Перенесем наружное давление 

2

p

 в левую часть и обозначим величину

0

2

1

1

2

1

2

H

g

v

p

p

H













.

(125)

Эта величина называется напором истечения.
В правой части уравнения (124) вынесем за скобки 

2

v

. Тогда уравнение Д. Бернулли сведется к





отв

g

v

H









2

2

2

0

2

,

откуда

отв

gH

v



 



2

0

2

.

Обозначим величину











отв

2

1

.

(126)

Величину 



 называют коэффициентом скорости.

С учетом введенного обозначения

0

2

2gH

v





.

(127)

Так  как  коэффициент  Кориолиса  

1

2





, а коэффициент  местных  потерь  напора  в отверстии

0



отв



, то 

1





. По опытным данным 

98

,

0

97

,

0







, а 

1

2





. Отсюда

06

,

0

1

97

,

0

1

1

1

2

2















отв

.

Для идеальной жидкости 

0



отв



 и 

1





. Тогда

0

2

2gH

v 

.

(128)

Это   уравнение   называется  формулой   Торичелли.  Оно   показывает,   что   скорость   в   начале

вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты 

0

H

.

Когда   поперечное   сечение   резервуара   много   больше   площади   живого   сечения   отверстия,   а

скорость жидкости  в резервуаре  незначительна  (к примеру, меньше  0,1 м/сек),  то скоростным

напором 

g

v

2

2

1

1



 можно пренебречь. В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы

2

1

p

p 

, то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. 

H

H 

0

. Это бывает

обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.

Расход   жидкости   определится   как   произведение   скорости   истечения   на   площадь   сжатого

сечения струи

0

2

2gH

v

Q

сж









,

(129)

где 







сж



– коэффициент сжатия струи, равный отношению площади сжатого сечения 

сж



 к

площади отверстия 



.

Величину 



 обозначают через 



 и называют коэффициентом расхода.

Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле

0

2gH

Q





.

(130)

38

При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено,  что при совершенном

сжатии струи  

64

,

0

62

,

0







. В этом случае  

62

,

0

60

,

0







. В общем же случае коэффициент

расхода 



 

 зависит от условий сжатия.

При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято

называть истечением «под уровень»), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве
геометрического   напора  Н  принимают   разность   уровней   жидкости   в   резервуарах.   Числовые
значения коэффициентов 



, 



 и 



 остаются при этом практически теми же.

В случае круглого отверстия, расположенного на значительном расстоянии от стенок, струя

сжимается со всех сторон одинаково, и в сжатом  сечении имеет также форму круга; при этом
сжатое сечение находится от кромок отверстия на расстоянии около половины диаметра отверстия –

d

5

,

0

.  Величина   коэффициента   сжатия   зависит   от   относительных   размеров  отверстия и от

положения его относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.

В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 40):
1) полное сжатие со всех сторон (отверстия 1 и 2);
2)   неполное,   когда   сжатия   нет   с   одной   или нескольких сторон (отверстия 3, 4 и 5).

Полное сжатие подразделяют на:
а)

совершенное, когда 

a

n

3



 и 

b

m

3



 (отверстие 1);

б)

несовершенное, когда 

a

n 3



 и 

b

m 3



 (отверстие 2).

Форма     сечения     струи     жидкости     при истечении претерпевает
изменения.
Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие
того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра

различны и вследствие сил поверхностного натяжения. На рис. 41 показано изменение формы струи
при истечении через квадратное отверстие по мере удаления от резервуара.

При    несовершенном    сжатии    коэффициент расхода 

1



 вычисляют по формулам:

для круглых отверстий















1

1

(131)

для прямоугольных отверстий





1

1

1











(132)

где  



– значение  коэффициента  расхода при совершенном сжатии;  



  и  

1



–  поправочные

коэффициенты, зависящие от отношения площади сечения  отверстий 



 к площади сечения

сосуда 

1



. Значения этих коэффициентов принимают по таблице:

Значение величин 



 и 

1



 при несовершенном сжатии

1





0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00



0,014

0,034

0,059

0,092

0,134

0,189

0,26

0,351

0,471

0,631

1



0,019

0,042

0,071

0,107

0,152

0,208

0,278

0,365

0,473

0,608

При неполном сжатии коэффициент расхода вычисляют по уравнениям:
для круглых отверстий





P

P

1

1

152

,

0

1











;

(133)

для прямоугольных отверстий





P

P

1

1

128

,

0

1











,

(134)

где   – коэффициент расхода при полном сжатии; 

1

P

– часть периметра, на котором нет сжатия; Р

– полный периметр отверстия.

При   расчете   больших   отверстий   значения   коэффициентов  расхода, рекомендованных Н. Н.

Рис. 40.

Рис. 41.

39

Павловским, приведены в таблице:

Значения коэффициентов расхода для больших отверстий

Виды отверстий и характер сжатия струи

коэффици

ент

расхода



Большие отверстия с несовершенным, но 
всесторонним сжатием ...........................................................................

0,70 

Большие отверстия с умеренным боковым сжатием, 
без сжатия по дну ...................................................................................

0,80 

Средние отверстия (шириной до 2 м) с весьма 
слабым боковым сжатием, без сжатия по дну 
……….

0,90 

Большие отверстия (шириной 5-6 м) с весьма 
слабым боковым сжатием, без сжатия по дну 
………… 

0,95 

3.3 Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при переменном уровне

Истечение жидкости при переменном уровне встречается пр;:  опорожнении и наполнении

резервуаров,   цистерн,   шлюзовых   камер,  бассейнов   и   других   емкостей.   Обычно   в   этом   случае
необходимо определить время опорожнения или наполнения емкости.

Рассмотрим  случай   опорожнения   резервуара  через   донное  отверстие  в атмосферу   (рис.  42).

Пусть резервуар призматического сечения и имеет площадь    . Очевидно, движение жидкости
будет   неустановившимся,   так   как   уровень   е   течением   времени   опускается,   что   вызывает
постоянное уменьшение расхода.

Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости

в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt
уровень жидкости уменьшится на величину dy (за этот промежуток
времени движение можно считать установившимся). За что время
вытечет объем жидкости, равный

Qdt

dW 

,

(135)

или

dt

y

g

dW

2





.

(136)

Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, имеем

dy

dW







.

(137)

Знак   минус   поставлен   потому,   что  dy  величина   отрицательная   (снижение   уровня),   а   объем

должен быть величиной положительной.

Приравнивая правые части уравнений (136) и (137), получим

dt

y

g

dy

2









,

откуда

Рис. 42.

40