Physics For Scientists And Engineers 6E - part 165

energetic than others. Some of the faster-moving molecules in the liquid penetrate the
surface  and  leave  the  liquid  even  at  temperatures  well  below  the  boiling  point.  The
molecules that escape the liquid by evaporation are those that have sufficient energy to
overcome the attractive forces of the molecules in the liquid phase. Consequently, the
molecules left behind in the liquid phase have a lower average kinetic energy; as a re-
sult, the temperature of the liquid decreases. Hence, evaporation is a cooling process.
For example, an alcohol-soaked cloth often is placed on a feverish head to cool and
comfort a patient.

SECTION 21.6 •  Distribution of Molecular Speeds

657

Quick Quiz 21.8

Consider the qualitative shapes of the two curves in Figure

21.12, without regard for the numerical values or labels in the graph. Suppose you have
two  containers  of  gas  at  the  same  temperature.  Container  A  has  10

5

nitrogen  molecules

and  container  B  has  10

5

hydrogen  molecules.  The  correct  qualitative  matching  be-

tween the containers and the two curves in Figure 21.12 is (a) container A corresponds
to the blue curve and container B to the brown curve (b) container B corresponds to
the blue curve and container A to the brown curve (c) both containers correspond to
the same curve.

Active Figure 21.12 The speed distribution function for 10

5

nitrogen molecules at

300 K and 900 K. The total area under either curve is equal to the total number of mol-

ecules, which in this case equals 10

5

. Note that 

.

v

rms

*

v * v

mp

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can set the desired tempera-

ture and see the effect on the

distribution curve.

200

160

120

80

40

200

400

600

800

1000 1200 1400 1600

T = 300 K

Curves calculated for

N = 10

5 

nitrogen molecules

T = 900 K

N

v

, number of molecules per unit

speed 

inter

val 

(molecules/m/s)

v

rms

v

v (m/s)

v

mp

Example 21.5 A System of Nine Particles

Nine  particles  have  speeds  of  5.00,  8.00,  12.0,  12.0,  12.0,
14.0, 14.0, 17.0, and 20.0 m/s.

(A)

Find the particles’ average speed.

Solution The  average  speed  of  the  particles  is  the  sum  of
the speeds divided by the total number of particles:

(B)

What is the rms speed of the particles?

Solution The average value of the square of the speed is

12.7 m/s

#

v #

(5.00 $ 8.00 $ 12.0 $ 12.0 $ 12.0

$

14.0 $ 14.0 $ 17.0 $ 20.0) m/s

9

Hence, the rms speed of the particles is

(C)

What is the most probable speed of the particles?

Solution Three  of  the  particles  have  a  speed  of  12.0 m/s,
two have a speed of 14.0 m/s, and the remaining have differ-
ent speeds. Hence, we see that the most probable speed v

mp

is

12.0 m/s.

13.3 m/s

v

rms

#

√

v

2

#

√

178 m

2

/s

2

#

178 m

2

/s

2

#

v

2

#

(5.00

2

$

8.00

2

$

12.0

2

$

12.0

2

$

12.0

2

$

14.0

2

$

14.0

2

$

17.0

2

$

20.0

2

) m

2

/s

2

9

21.7 Mean Free Path

Most of us are familiar with the fact that the strong odor associated with a gas such as
ammonia may take a fraction of a minute to diffuse throughout a room. However, be-
cause  average  molecular  speeds  are  typically  several  hundred  meters  per  second  at
room  temperature,  we  might  expect  a  diffusion  time  of  much  less  than  one  second.
The reason for this difference is that molecules collide with one other because they are
not geometrical points. Therefore, they do not travel from one side of a room to the
other  in  a  straight  line.  Between  collisions,  the  molecules  move  with  constant  speed
along  straight  lines.  The  average  distance  between  collisions  is  called  the 

mean  free

path.  The  path  of  an  individual  molecule  is  random  and  resembles  that  shown  in
Figure 21.13. As we would expect from this description, the mean free path is related
to the diameter of the molecules and the density of the gas.

We now describe how to estimate the mean free path for a gas molecule. For this cal-

culation,  we  assume  that  the  molecules  are  spheres  of  diameter  d.  We  see  from  Figure
21.14a  that  no  two  molecules  collide  unless  their  paths,  assumed  perpendicular  to  the
page  in  Figure  21.14a  are  less  than  a  distance  d apart  as  the  molecules  approach  each
other. An equivalent way to describe the collisions is to imagine that one of the molecules
has a diameter 2d and that the rest are geometrical points (Fig. 21.14b). Let us choose the
large molecule to be one moving with the average speed  . In a time interval "t, this mole-
cule travels a distance 

In this time interval, the molecule sweeps out a cylinder hav-

ing a cross-sectional area -

d

2

and a length 

(Fig. 21.15). Hence, the volume of the

cylinder is 

If n

V

is the number of molecules per unit volume, then the number

of point-size molecules in the cylinder is 

. The molecule of equivalent diame-

ter  2d collides  with  every  molecule  in  this  cylinder  in  the  time  interval  "t.  Hence,  the
number of collisions in the time interval "t is equal to the number of molecules in the
cylinder, 

.

The mean free path ! equals the average distance 

traveled in a time interval "t

divided by the number of collisions that occur in that time interval:

Because the number of collisions in a time interval "t is 

, the number

of collisions per unit time interval, or 

collision frequency f, is

The inverse of the collision frequency is the average time interval between collisions,
known as the 

mean free time.

Our analysis has assumed that molecules in the cylinder are stationary. When the

motion of these molecules is included in the calculation, the correct results are

(21.30)

(21.31)

f #

√2 -d

2

vn

V

#

v
!

! #

1

√2 -d

2

n

V

f # -d

2

vn

V

(-d

2

v "t)n

V

! #

v "t

(-d

2

v "t)n

V

#

1

-

d

2

n

V

v "t

(-d

2

v "t)n

V

(-d

2

v "t)n

V

-

d

2

v "t.

v "t

v "t.

v

658

CHAPTE R 21 •  The Kinetic Theory of Gases

Mean free path

Collision frequency

Figure 21.13 A molecule moving

through a gas collides with other

molecules in a random fashion.

This behavior is sometimes re-

ferred to as a random-walk process.

The mean free path increases as

the number of molecules per unit

volume decreases. Note that the

motion is not limited to the plane

of the paper.

Figure 21.14 (a) Two spherical molecules, each of diameter d and moving along paths

perpendicular to the page, collide if their paths are within a distance d of each other.

(b) The collision between the two molecules is equivalent to a point molecule colliding

with a molecule having an effective diameter of 2d.

Figure 21.15 In a time interval "t,

a molecule of effective diameter 2d

and moving to the right sweeps out

a cylinder of length 

where  is

its average speed. In this time inter-

val, it collides with every point mol-

ecule within this cylinder.

v

v"t

(b)

2d

Equivalent

collision

(a)

d

d

Actual

collision

2d

v"t

Summary

659

Example 21.6 Bouncing Around in the Air

Approximate the air around you as a collection of nitrogen
molecules, each having a diameter of 2.00 % 10

!

10

m.

(A)

How far does a typical molecule move before it collides

with another molecule?

Solution Assuming  that  the  gas  is  ideal,  we  can  use  the
equation PV # Nk

B

T to obtain the number of molecules per

unit volume under typical room conditions:

Hence, the mean free path is

2.25 % 10

!

7

 m

#

#

1

√2-(2.00 % 10

!

10

 m)

2

(2.50 % 10

25

 molecules/m

3

)

! #

1

√2-d

2

n

V

#

2.50 % 10

25

 molecules/m

3

n

V

#

N

V

#

P

k

B

T

#

1.01 % 10

5

 N/m

2

(1.38 % 10

!

23

 J/K)(293 K)

This  value  is  about  10

3

times  greater  than  the  molecular

diameter.

(B)

On average, how frequently does one molecule collide

with another?

Solution Because the rms speed of a nitrogen molecule at
20.0°C is 511 m/s (see Table 21.1), we know from Equations
21.27 and 21.28 that  # (1.60/1.73)(511 m/s) # 473 m/s.
Therefore, the collision frequency is

The  molecule  collides  with  other  molecules  at  the  average
rate of about two billion times each second!

The  mean  free  path  ! is  not the  same  as  the  average

separation between particles. In fact, the average separation
d between  particles  is  approximately  n

V

!

1/3

.  In  this  exam-

ple, the average molecular separation is

d #

1

n

V

1/3

#

1

(2.5 % 10

25

)

1/3

#

3.4 % 10

!

9

 m

2.10 % 10

9

/s

f #

v
!

#

473 m/s

2.25 % 10

!

7

 m

#

v

  

The pressure of N molecules of an ideal gas contained in a volume V is

(21.2)

The average translational kinetic energy per molecule of a gas, 

, is related to

the temperature T of the gas through the expression

(21.4)

where k

B

is Boltzmann’s constant. Each translational degree of freedom (x, y, or z) has

k

B

T of energy associated with it.

The 

theorem of equipartition of energy states that the energy of a system in ther-

mal equilibrium is equally divided among all degrees of freedom.

The internal energy of N molecules (or n mol) of an ideal monatomic gas is

(21.10)

The change in internal energy for n mol of any ideal gas that undergoes a change

in temperature "T is

(21.12)

where C

V

is the molar specific heat at constant volume.

The molar specific heat of an ideal monatomic gas at constant volume is C

V

#

R;

the  molar  specific  heat  at  constant  pressure  is  C

P

#

R.  The  ratio  of  specific  heats  is

given by ( #

C

P

/C

V

#

.

If an ideal gas undergoes an adiabatic expansion or compression, the first law of

thermodynamics, together with the equation of state, shows that

PV

(

#

constant

(21.18)

5

3

5

2

3

2

"

E

int

#

nC

V

 

 

"

T

E

int

#

3

2

Nk

B

T #

3

2

nRT

1

2

1

2

mv

2

#

3

2

k

B

T

1

2

mv

2

P #

2

3

 

N

V

(

1

2

mv

2

)

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

660

CHAPTE R 21 •  The Kinetic Theory of Gases

1. Dalton’s law of partial pressures states that the total pressure

of a mixture of gases is equal to the sum of the partial pres-
sures  of  gases  making  up  the  mixture.  Give  a  convincing
argument for this law based on the kinetic theory of gases.

2. One  container  is  filled  with  helium  gas  and  another  with

argon gas. If both containers are at the same temperature,
which molecules have the higher rms speed? Explain.

3. A gas consists of a mixture of He and N

2

molecules. Do the

lighter He molecules travel faster than the N

2

molecules?

Explain.

4. Although  the  average  speed  of  gas  molecules  in  thermal

equilibrium at some temperature is greater than zero, the
average  velocity  is  zero.  Explain  why  this  statement  must
be true.

When alcohol is rubbed on your body, it lowers your skin
temperature. Explain this effect.

6. A liquid partially fills a container. Explain why the temper-

ature of the liquid decreases if the container is then par-
tially  evacuated.  (Using  this  technique,  it  is  possible  to
freeze water at temperatures above 0°C.)

7. A vessel containing a fixed volume of gas is cooled. Does

the  mean  free  path  of  the  molecules  increase,  decrease,
or remain constant in the cooling process? What about the
collision frequency?

8. A  gas  is  compressed  at  a  constant  temperature.  What  hap-

pens to the mean free path of the molecules in this process?

If  a  helium-filled  balloon  initially  at  room  temperature  is
placed  in  a  freezer,  will  its  volume  increase,  decrease,  or
remain the same?

9.

5.

10. Which is denser, dry air or air saturated with water vapor?

Explain.

What happens to a helium-filled balloon released into the
air? Will it expand or contract? Will it stop rising at some
height?

12. Why  does  a  diatomic  gas  have  a  greater  energy  content

per  mole  than  a  monatomic  gas  at  the  same  tempera-
ture?

13. An ideal gas is contained in a vessel at 300 K. If the tem-

perature  is  increased  to  900 K,  by  what  factor  does  each
one of the following change? (a) The average kinetic en-
ergy  of  the  molecules.  (b)  The  rms  molecular  speed.
(c) The average momentum change of one molecule in a
collision with a wall. (d) The rate of collisions of molecules
with walls. (e) The pressure of the gas.

14. A vessel is filled with gas at some equilibrium pressure and

temperature. Can all gas molecules in the vessel have the
same speed?

15. In  our  model  of  the  kinetic  theory  of  gases,  molecules

were  viewed  as  hard  spheres  colliding  elastically  with  the
walls of the container. Is this model realistic?

16. In view of the fact that hot air rises, why does it generally

become  cooler  as  you  climb  a  mountain?  (Note  that  air
has low thermal conductivity.)

17. Inspecting  the  magnitudes  of  C

V

and  C

P

for  the  diatomic

and polyatomic gases in Table 21.2, we find that the values
increase with increasing molecular mass. Give a qualitative
explanation of this observation.

11.

Q U E S T I O N S

The 

Boltzmann  distribution  law describes  the  distribution  of  particles  among

available energy states. The relative number of particles having energy between E and
E $ dE is n

V

(E) dE, where

(21.25)

The 

Maxwell–Boltzmann speed distribution function describes the distribution

of speeds of molecules in a gas:

(21.26)

This  expression  enables  us  to  calculate  the 

root-mean-square  speed, the  average

speed, and the most probable speed:

(21.27)

(21.28)

(21.29)

v

mp

#

√

2k

B

T

m

#

1.41 

√

k

B

T

m

v #

√

8k

B

T

-

m

#

1.60 

√

k

B

T

m

v

rms

#

√

v

2

#

√

3k

B

T

m

#

1.73 

√

k

B

T

m

N

v

#

4-N

 

 

"

m

2-k

B

T

#

3/2

v

2

e

!

mv

2

/2k

B

T

n

V

 

(E

  

) # n

0

e

!

E/k

B

T