Physics For Scientists And Engineers 6E - part 163

21.3 Adiabatic Processes for an Ideal Gas

As we noted in Section 20.6, an 

adiabatic process is one in which no energy is trans-

ferred  by  heat  between  a  system  and  its  surroundings.  For  example,  if  a  gas  is  com-
pressed (or expanded) very rapidly, very little energy is transferred out of (or into) the
system by heat, and so the process is nearly adiabatic. Such processes occur in the cycle
of a gasoline engine, which we discuss in detail in the next chapter. Another example
of an adiabatic process is the very slow expansion of a gas that is thermally insulated
from its surroundings.

Suppose  that  an  ideal  gas  undergoes  an  adiabatic  expansion.  At  any  time  during

the process, we assume that the gas is in an equilibrium state, so that the equation of
state PV # nRT is valid. As we show below, the pressure and volume of an ideal gas at
any time during an adiabatic process are related by the expression

(21.18)

where ( #

C

P

/C

V

is assumed to be constant during the process. Thus, we see that all

three variables in the ideal gas law—P, V, and T—change during an adiabatic process.

Proof That PV

$

%

Constant for an Adiabatic Process

When a gas is compressed adiabatically in a thermally insulated cylinder, no energy is
transferred by heat between the gas and its surroundings; thus, Q # 0. Let us imagine
an  infinitesimal  change  in  volume  dV and  an  accompanying  infinitesimal  change  in
temperature dT. The work done on the gas is ! P dV. Because the internal energy of
an  ideal  gas  depends  only  on  temperature,  the  change  in  the  internal  energy  in  an
adiabatic  process  is  the  same  as  that  for  an  isovolumetric  process  between  the  same
temperatures,  dE

int

#

nC

V

dT (Eq.  21.12).  Hence,  the  first  law  of  thermodynamics,

"

E

int

#

Q $ W, with Q # 0 becomes

Taking the total differential of the equation of state of an ideal gas, PV # nRT, we see that

P dV $ V dP # nR dT

Eliminating dT from these two equations, we find that

P

  

dV $ V

  

dP # !

R

C

V

 P

  

dV

dE

 

int

#

nC

V

 

 

dT # !P

  

dV

PV

(

#

constant

SECTION 21.3 •  Adiabatic Processes for an Ideal Gas

649

Relationship between P and V

for an adiabatic process involv-

ing an ideal gas

Example 21.2 Heating a Cylinder of Helium

A cylinder contains 3.00 mol of helium gas at a temperature
of 300 K.

(A)

If  the  gas  is  heated  at  constant  volume,  how  much

energy must be transferred by heat to the gas for its temper-
ature to increase to 500 K?

Solution For the constant-volume process, we have

Because C

V

#

12.5 J/mol & K for helium and "T # 200 K, we

obtain

7.50 % 10

3

 J

#

Q

1

#

(3.00 mol)(12.5 J/mol&K)(200 K)

Q

 

1

#

nC

V

 

 

"

T

(B)

How  much  energy  must  be  transferred  by  heat  to  the

gas at constant pressure to raise the temperature to 500 K?

Solution Making use of Table 21.2, we obtain

Note  that  this  is  larger  than  Q

1

,  due  to  the  transfer  of

energy  out  of  the  gas  by  work  in  the  constant  pressure
process.

12.5 % 10

3

 J

#

#

(3.00 mol)(20.8 J/mol&K)(200 K)

Q

 

2

#

nC

P

 

 "T

Because PV # nRT is valid throughout an ideal gas process
and because no gas escapes from the cylinder,

To finalize the problem, note that the temperature of the
gas  has  increased  by  a  factor  of  2.82.  The  high  compres-
sion in a diesel engine raises the temperature of the fuel
enough  to  cause  its  combustion  without  the  use  of  spark
plugs.

553)C

#

826 K #

T

f

#

P

f

 

V

f

P

i

V

i

 

T

i

#

(37.6 atm)(60.0 cm

3

)

(1.00 atm)(800.0 cm

3

)

 

 (293 K)

P

i

V

i

T

i

#

P

f

 

V

f

T

f

650

CHAPTE R 21 •  The Kinetic Theory of Gases

Example 21.3 A Diesel Engine Cylinder

Air  at  20.0°C  in  the  cylinder  of  a  diesel  engine  is  com-
pressed from an initial pressure of 1.00 atm and volume of
800.0 cm

3

to a volume of 60.0 cm

3

. Assume that air behaves

as  an  ideal  gas  with  ( # 1.40  and  that  the  compression  is
adiabatic. Find the final pressure and temperature of the air.

Solution Conceptualize  by  imagining  what  happens  if  we
compress a gas into a smaller volume. Our discussion above
and  Figure  21.5  tell  us  that  the  pressure  and  temperature
both increase. We categorize this as a problem involving an
adiabatic  compression.  To  analyze  the  problem,  we  use
Equation 21.19 to find the final pressure:

37.6 atm

#

P

f

#

P

i

 

"

V

i

V

f

#

(

#

(1.00 atm)

"

800.0 cm

3

60.0 cm

3

#

1.40

Figure 21.5 The PV diagram for

an adiabatic compression. Note

that T

f

*

T

i

in this process, so the

temperature of the gas increases.

Substituting R # C

P

!

C

V

and dividing by PV, we obtain

Integrating this expression, we have

which is equivalent to Equation 21.18:

PV

(

#

constant

The  PV diagram  for  an  adiabatic  compression  is  shown  in  Figure  21.5.  Because

( *

1, the PV curve is steeper than it would be for an isothermal compression. By the

definition of an adiabatic process, no energy is transferred by heat into or out of the
system. Hence, from the first law, we see that "E

int

is positive (work is done on the gas,

so its internal energy increases) and so "T also is positive. Thus, the temperature of
the gas increases (T

f

*

T

i

) during an adiabatic compression. Conversely, the tempera-

ture decreases if the gas expands adiabatically.

1

Applying Equation 21.18 to the initial

and final states, we see that

(21.19)

Using the ideal gas law, we can express Equation 21.19 as

(21.20)

T

i

V

i

 

(!

1

#

T

f

 

V

f

 

(!

1

P

i

V

i

 

(

#

P

f

 

V

f

 

(

ln

 

P $ (

 

lnV # constant

dP

P

$

(

 

 

dV

V

#

0

dV

V

$

dP

P

# !

 

 

"

C

P

!

C

V

C

V

#

 

dV

V

#

(1 ! () 

dV

V

T

f

T

i

Isotherms

P

V

P

f

P

i

V

f

V

i

Adiabatic process

f

i

21.4 The Equipartition of Energy

We have found that predictions based on our model for molar specific heat agree quite
well with the behavior of monatomic gases but not with the behavior of complex gases
(see Table 21.2). The value predicted by the model for the quantity C

P

!

C

V

#

R, how-

ever, is the same for all gases. This is not surprising because this difference is the result
of the work done on the gas, which is independent of its molecular structure.

Relationship between T and V

for an adiabatic process involv-

ing an ideal gas

1

In the adiabatic free expansion discussed in Section 20.6, the temperature remains constant. This is a

special process in which no work is done because the gas expands into a vacuum. In general, the tempera-
ture decreases in an adiabatic expansion in which work is done.

SECTION 21.4 •  The Equipartition of Energy

651

To clarify the variations in C

V

and C

P

in gases more complex than monatomic gases,

let us explore further the origin of molar specific heat. So far, we have assumed that
the sole contribution to the internal energy of a gas is the translational kinetic energy
of  the  molecules.  However,  the  internal  energy  of  a  gas  includes  contributions  from
the translational, vibrational, and rotational motion of the molecules. The rotational
and vibrational motions of molecules can be activated by collisions and therefore are
“coupled” to the translational motion of the molecules. The branch of physics known
as statistical mechanics has shown that, for a large number of particles obeying the laws
of  Newtonian  mechanics,  the  available  energy  is,  on  the  average,  shared  equally  by
each independent degree of freedom. Recall from Section 21.1 that the equipartition
theorem states that, at equilibrium, each degree of freedom contributes  k

B

T of energy

per molecule.

Let  us  consider  a  diatomic  gas  whose  molecules  have  the  shape  of  a  dumbbell

(Fig. 21.6). In this model, the center of mass of the molecule can translate in the x, y,
and z directions (Fig. 21.6a). In addition, the molecule can rotate about three mutually
perpendicular axes (Fig. 21.6b). We can neglect the rotation about the y axis because
the molecule’s moment of inertia I

y

and its rotational energy  I

y

+

2 

about this axis are

negligible compared with those associated with the x and z axes. (If the two atoms are
taken  to  be  point  masses,  then  I

y

is  identically  zero.)  Thus,  there  are  five  degrees  of

freedom  for  translation  and  rotation:  three  associated  with  the  translational  motion
and two associated with the rotational motion. Because each degree of freedom con-
tributes, on the average,  k

B

T of energy per molecule, the internal energy for a system

of N molecules, ignoring vibration for now, is

We can use this result and Equation 21.13 to find the molar specific heat at constant
volume:

(21.21)

From Equations 21.16 and 21.17, we find that

These  results  agree  quite  well  with  most  of  the  data  for  diatomic  molecules  given  in
Table 21.2. This is rather surprising because we have not yet accounted for the possible
vibrations of the molecule.

In the model for vibration, the two atoms are joined by an imaginary spring (see

Fig.  21.6c).  The  vibrational  motion  adds  two  more  degrees  of  freedom,  which
correspond to the kinetic energy and the potential energy associated with vibrations
along  the  length  of  the  molecule.  Hence,  classical  physics  and  the  equipartition
theorem in a model that includes all three types of motion predict a total internal
energy of

and a molar specific heat at constant volume of

(21.22)

This value is inconsistent with experimental data for molecules such as H

2

and N

2

(see

Table 21.2) and suggests a breakdown of our model based on classical physics.

It might seem that our model is a failure for predicting molar specific heats for

diatomic gases. We can claim some success for our model, however, if measurements
of molar specific heat are made over a wide temperature range, rather than at the

C

V

#

1
n

  

dE

 

int

dT

#

1
n

  

d

dT

 

 (

7

2

nRT

  

) #

7

2

 R

E

 

int

#

3N

 

(

1

2

k

B

T

  

) $ 2N

 

(

1

2

k

B

T

  

) $ 2N

 

(

1

2

k

B

T

  

) #

7

2

Nk

B

T #

7

2

nRT

( #

C

P

C

V

#

7

2

R

5

2

R

#

7
5

#

1.40

C

P

#

C

V

$

R #

7

2

R

C

V

#

1
n

  

dE

int

dT

#

1
n

  

d

dT

 

 (

5

2

nRT

  

) #

5

2

R

E

 

int

#

3N

 

(

1

2

 

k

 

B

T

  

) $ 2N

 

(

1

2

 

k

 

B

T

  

) #

5

2

 

Nk

 

B

T #

5

2

nRT

1

2

1

2

1

2

Figure 21.6 Possible motions of a

diatomic molecule: (a) translational

motion of the center of mass,

(b) rotational motion about the

various axes, and (c) vibrational

motion along the molecular axis.

(a)

x

z

y

y

x

z

(b)

y

x

z

(c)

single temperature that gives us the values in Table 21.2. Figure 21.7 shows the mo-
lar specific heat of hydrogen as a function of temperature. There are three plateaus
in the curve. The remarkable feature of these plateaus is that they are at the values
of the molar specific heat predicted by Equations 21.14, 21.21, and 21.22! For low
temperatures,  the  diatomic  hydrogen  gas  behaves  like  a  monatomic  gas.  As  the
temperature rises to room temperature, its molar specific heat rises to a value for a
diatomic  gas,  consistent  with  the  inclusion  of  rotation  but  not  vibration.  For  high
temperatures, the molar specific heat is consistent with a model including all types
of motion.

Before addressing the reason for this mysterious behavior, let us make a brief re-

mark about polyatomic gases. For molecules with more than two atoms, the vibrations
are more complex than for diatomic molecules and the number of degrees of freedom
is even larger. This results in an even higher predicted molar specific heat, which is in
qualitative agreement with experiment. For the polyatomic gases shown in Table 21.2
we see that the molar specific heats are higher than those for diatomic gases. The more
degrees of freedom available to a molecule, the more “ways” there are to store energy,
resulting in a higher molar specific heat.

A Hint of Energy Quantization

Our model for molar specific heats has been based so far on purely classical notions. It
predicts a value of the specific heat for a diatomic gas that, according to Figure 21.7,
only agrees with experimental measurements made at high temperatures. In order to
explain why this value is only true at high temperatures and why the plateaus exist in
Figure 21.7, we must go beyond classical physics and introduce some quantum physics
into  the  model.  In  Chapter  18,  we  discussed  quantization  of  frequency  for  vibrating
strings and air columns. This is a natural result whenever waves are subject to bound-
ary conditions.

Quantum physics (Chapters 40 to 43) shows that atoms and molecules can be de-

scribed by the physics of waves under boundary conditions. Consequently, these waves
have quantized frequencies. Furthermore, in quantum physics, the energy of a system
is proportional to the frequency of the wave representing the system. Hence, 

the ener-

gies of atoms and molecules are quantized.

For a molecule, quantum physics tells us that the rotational and vibrational ener-

gies are quantized. Figure 21.8 shows an 

energy-level diagram for the rotational and

vibrational quantum states of a diatomic molecule. The lowest allowed state is called
the 

ground  state.  Notice  that  vibrational  states  are  separated  by  larger  energy  gaps

than are rotational states.

652

CHAPTE R 21 •  The Kinetic Theory of Gases

Translation

Rotation

Vibration

Temperature (K)

C

V

(

J/mol

·K)

0

5

10

15

20

25

30

10

20

50

100 200

500 1000 2000

5000 10000

7

2

–R

5

2

–R

3

2

–R

Figure 21.7 The molar specific heat of hydrogen as a function of temperature. The

horizontal scale is logarithmic. Note that hydrogen liquefies at 20 K.