Методические рекомендации учителям математики, работающих в 9-х классах ( по материалам круглого стола по теме методика итогового повторения курса алгебры 7-9 классов по сборнику с. А. Шестакова)

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ УЧИТЕЛЯМ МАТЕМАТИКИ, РАБОТАЮЩИХ В 9-Х КЛАССАХ ( ПО МАТЕРИАЛАМ КРУГЛОГО СТОЛА ПО ТЕМЕ «МЕТОДИКА ИТОГОВОГО ПОВТОРЕНИЯ курса алгебры 7-9 классов ПО СБОРНИКУ С.А.ШЕСТАКОВА)

29 марта 2006 года в школе № 1739 состоялся круглый стол для учителей математики, преподающих в 9-х классах, по теме « Методика итогового повторения по сборнику С.А. Шестакова». На этом заседании обсуждался новый сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы под редакцией С.А. Шестакова. Представители всех школ дали анализ по каждой главе сборника, уделив особое внимание тем заданиями, которые не встречаются в школьных учебниках. В результате этой встречи учителя получили более полное представление об этом сборнике, и надеюсь, что полученные рекомендации помогут более плодотворно использовать оставшееся время для подготовки учащихся к итоговой аттестации.

Все материалы этой конференции публикуются в помощь учителям.

Глава I . Числовые выражения .

Состоит из трех параграфов:

§1. Действия с целыми числами.

§2. Действия с дробями.

§3. Действия с корнями.

При итоговом повторении на эту тему выделить 1-2 часа. В дальнейшем в качестве домашней работы давать по 1 заданию.

Повторить следующий теоретический материал, который используется при решении упражнений главы I:

1) Действия с обыкновенными и десятичными дробями;

2) Свойства сложения и умножения;

3) Определение модуля числа;

4) Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые числа.

5) Степень с целым, рациональным показателем и ее свойства;

6) Формулы сокращенного умножения;

7) Свойства числовых неравенств;

8) Определение и свойства арифметического квадратного корня;

9) Представление смешанного числа в виде неправильной дроби;

10) Тождество ;

11) Запись числа в виде суммы разрядных единиц.

12) Стандартный вид числа.

13) Расстояние между точками А(а)и В(в).

14) Освобождение от иррациональности в знаменателе.

Основные типы задач и методы их решения:

I) Задачи на вычисление числовых выражений .

Приемы и методы их решения:

1) вынесение общего множителя за скобки.

1.1 А01; 1.1 С10; 1.1 В03

Пример. 1.1 В03 (увидеть, что выражения в скобках – это числа, записанные в виде суммы разрядных единиц).

Ответ: 1194.

1) Применение формул сокращенного умножения.

1.1 А02; 1.1 А03; 1.1 А04; 1.1 В01; 1.1 С01; 1.1 С02; 1.2 А04; 1.3 А02; 1.3 А04; 1.3 С02; 1.3 С03; 1.3 С01 (предварительно применить тождество ); 1.3 С07; 1.3 С04.

Пример. 1.1 В01.

Ответ: 1.

2) Способ группировки и применения формул сокращенного умножения.

1.1А05; 1.1 В02.

Пример.

4) Представление числа в стандартном виде.1.2В01

II) Задания на проверку числовых равенств.

Приемы и методы их решения:

1) Непосредственное вычисление.

1.2 А08; 1.2 А09; 1.2 В05.

2) Прикидка и оценка.

1.1 С05; 1.1 С06; 1.1 С07; 1.1 С08.

Пример. 1.1 С06.

Заметим, что один из множителей произведения делится на 3 (753 3), значит, произведение делится на 3.

Сумма цифр 426957014 не делится на 3, значит, число не делится на 3.

Значит, числа и 426957014 не равны.

III) Сравнение чисел и значений числовых выражений.

Приемы и методы их решения:

1) почленное сравнение.

1.1 А07; 1.1 В06; 1.1 В09; 1.2 В08; 1.2 В09; 1.2 С04; 1.2 С07; 1.3 А10; 1.3 В09; 1.3 С09.

Пример. 1.2 В08.

Числитель второй дроби больше числителя первой дроби, то есть 578 > 577.

Знаменатель второй дроби меньше знаменателя первой дроби, то есть 695 < 696.

Следовательно, вторая дробь больше первой, то есть

Ответ:

2) Прикидка и оценка результатов вычислений.

1.2 В07; 1.2 С02; 1.2 С05; 1.2 С10;1.2А06;1.3А01; 1.3С06.

Пример. 1.3 С06.

Сравнить

Решение. Предположим, что

Возведем обе части неравенства в квадрат.

Возведем обе части неравенства в квадрат.

3) Сравнение по последней цифре.

1.1 В07; 1.1 В08; 1.1 С03; 1.1 С04; 1.2 В10; 1.2 С03; 1.3 С10.

Пример. 1.2 В10.

Задание: не вычисляя произведение, проверьте равны ли:

Решение. Последняя цифра произведения равна 8, последняя цифра числа 0,7335199 есть 9. Значит, данное произведение и число не равны.

4) Сравнение чисел, записанных в стандартном виде.1.2А07,1.2В06

5)Сравнение степеней.

а) приводим к степеням с одинаковым показателем.

1.1 В04; 1.2 С06.

б) приводим к одинаковому основанию.

1.1 А08.

IV) Задачи на применение свойств делимости, признаков делимости .

Методы решения:

1) Вынесение общего множителя за скобки.

1.1 А09; 1.1 А10.

2) Непосредственное применение признаков делимости.

1.2 С01,1.1В10

Пример. 1.2 С01.

следовательно, знаменатель дроби

А так как число 3896260 не делится на 3, то знаменатель дроби не делится на 3.

Ответ: не равны.

V) Задания на применение свойств степени с целым, рациональным показателем.

1.1 А06; 1.1 В05; 1.2 А01; 1.2 А02; 1.2 А03; 1.2 А05; 1.2 В02; 1.2 В03;

1.2 В04; 1.3 А03.

VI) Задачи на применение свойств корня.

1.3 А05; 1.3 А06; 1.3 А07; 1.3 А08; 1.3 А09; 1.3 В01; 1.3 В02; 1.3 В03; 1.3 В04; 1.3 В06;

1.3 В07; 1.3 В08; 1.3 В05; 1.3 С05; 1.3 С08 (предварительно представить десятичные дроби в виде обыкновенных дробей).

VII) Задания на нахождение расстояния между точками А (а) и В (в).

1.2 А10; 1.2 С08.

VIII) Задания на применение определения модуля числа.

1.2 С09; 1.1 С09.

Пример. 1.1 С09.

Так как то , следовательно,

Так как то , следовательно,

Учитывая определение модуля, получим

Ответ: 1416.

IX) Задачи на освобождение от иррациональности.

1.2 В10.

ГЛАВА2.Буквенные выражения.

Эта глава содержит задания, перед выполнением которых необходимо повторить ряд теоретических сведений:

­-свойства степени;

-способы разложения многочленов на множители (вынесение общего множителя за скобки, ФСУ, способ группировки, разложение квадратного трёхчлена на множители);

-теорему Виета;

-свойства арифметического квадратного корня.

Уровень А из §1 «Действия с многочленами» состоит из заданий на разложение на множители, при выполнении которых требуется уметь применять свойства степени, выносить общий множитель за скобки (2.1.А01.-2.1.А03.), знать способ группировки (2.1.А04.-2.1.А08), знать ФСУ (2.1.А09-2.1.А10). В заданиях уровней В и С требуется уметь раскладывать на множители квадратный трёхчлен (2.1.В01-2.1.В03, 2.1.В05-2.1.В06, 2.1.С01), применять способ группировки (2.1.В04, 2.1.В09), применять теорему Виета (2.1.В07, 2.1.В08, 2.1.С07), умножать многочлены (2.1.В10, 2.1.С07). В заданиях уровня С помимо этого необходимо уметь выделять полный квадрат двучлена (2.1.С02-2.1.С05, 2.1.С09-2.1.С10).

Задания § 2 «Действия с алгебраическими дробями» в основном содержат упражнения на сокращение дробей, при выполнении которых требуется уметь применять свойства степени, выносить общий множитель за скобки (2.2.А01-2.2.А03, 2.2.А08, 2.2.В01-2.2.В02, 2.2.В06, 2.2.С01), уметь оперировать противоположными выражениями (2.2.А06, 2.2.А07, 2.2.В04, 2.2.В08, 2.2.С02), уметь применять ФСУ (2.2.А04, 2.2.А05, 2.2.В03-2.2.В05, 2.2.В07, 2.2.В10, 2.2.С03, 2.2.С04), уметь раскладывать на множители квадратный трёхчлен (2.2.С05-2.2.С06), решать однородные уравнения (2.2.С06, 2.2.С09-2.2.С10), уметь выражать одну переменную через другие (2.2.А09, 2.2.С07-2.2.С08).

При выполнении заданий § 3 «Действия с иррациональными выражениями» необходимо учитывать то, что ряд заданий требует хорошего владения навыками определения знаков буквенных множителей и учёта знаков при применении свойств арифметического квадратного корня и раскрытии модульных скобок (2.3.А01- 2.3.А04, 2.3.В03- 2.3.В07, 2.3.С03- 2.3.С04). В большинстве заданий требуется уметь сокращать дробь. Уровень А представлен заданиями, в которых требуется применение свойств корней (2.3.А01- 2.3.А04, 2.3.А07- 2.3.А08), в том числе в сочетании с ФСУ (2.3.А05- 2.3.А06, 2.3.А08- 2.3.А10). Задания уровней В и С по преобразованию выражений с корнями также идут в сочетании с действиями с алгебраическими дробями (2.3.В03, 2.3.В08- 2.3.В09, 2.3.С03), в сочетании с применением ФСУ (2.3.В01- 2.3.В02, 2.3.В04- 2.3.В06, 2.3.В10, 2.3.С01- 2.3.С02, 2.3.С05- 2.3.С06, 2.3.С08), представлены задания, требующие оценки предельных значений выражений с учётом ограниченности значений квадрата числа (2.3.С09- 2.3.С10).

Таким образом , с учётом направленности заданий этой главы, на уроке повторения можно предложить рассмотреть :

-задания 2.1.А03, 2.2.А01, 2.2.В02, 2.2.С01, 2.3.А03, 2.3.В03 на вынесение общего множителя, применение свойств степени и корня, на сокращение дробей;

-задания 2.1.А10, 2.2.А05, 2.3.А06,2.3.В01, 2.1.С04, 2.3.С05 на применение ФСУ;

-задания 2.1.А06, 2.1.В04, 2.1.С02, 2.1.С09 на применение способа группировки;

-задания 2.1.В02, 2.1.С01, 2.2.С05 на разложение квадратного трёхчлена на множители;

-задания 2.1.В08, 2.1.С07 на применение теорем Виета.

Глава3. Уравнения.

В дальнейшем необходимо обратить внимание и включить в рассмотрение на уроках «нетипичных» для основных учебников задания: 2.1.В06, 2.1.С10, 2.2.С06, 2.2.С09, 2.2.С10, 2.3.А02, 2.3.А04, 2.3.В05, 2.3.В06, 2.3.С03, 2.3.С04,2.3.С08- 2.3.С10.

1.Цель: повторить с учащимися методы решения уравнений.

2.Актуализация знаний (повторение)

- определение уравнения, корня уравнения, что значит решить уравнение

- виды уравнений: линейные,

квадратные,

биквадратные

дробно-рациональные

- равносильность уравнений, тождественные преобразования

- способы решения уравнений

§ 1 Целые алгебраические уравнения.

1) Линейные уравнения.

2) Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с одной переменной.

Коэффициентами в уравнениях являются десятичные дроби, смешанные числа, иррациональные числа, действия с которыми уже повторили при решении заданий 1 ГЛАВЫ. Необходимо напомнить учащимся тождественные преобразования: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число, основное свойство пропорции, вынесение множителя из под знака корня, приведение подобных слагаемых( повторяли в ГЛАВЕ 2), условие равенства суммы квадратов нулю, квадрат суммы и раскрытие скобок ( ГЛАВА2)

Квадратные уравнения

· неполные квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к решению

· неполных квадратных уравнений.

· Приведенное квадратное уравнение.

· Полное квадратное уравнение и уравнения приводимые к квадратным.

· Биквадратное уравнение.

· Уравнения, содержащие модуль.

Вынесение за скобки общего множителя, равенство произведения нулю. Условие равенства кубов. Решение квадратного уравнения, выделением квадрата двучлена. Решение полного квадратного уравнения с использованием формулы дискриминанта, четверти дискриминанта. Теорема обратная теореме Виета. Решение биквадратных уравнений, методом введения новой переменной. Определение модуля, свойства модуля.

§ 2 Дробно-рациональные уравнения.

Способы решения.

1 способ :

1. Привести уравнение к целому уравнению, умножив левую и правую части на

2. общий знаменатель.

3. Решить получившееся целое уравнение.

4. Исключить из множества корней целого уравнения те корни, при которых левая или правая часть уравнения не имеют смысла, то есть обращают в нуль общий знаменатель дробей.

2 способ.

1. Перенести все члены уравнения в одну часть.

2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)/q(x)

3. Решить уравнение p(x) = 0

4. Для каждого корня уравнения p(x) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x) ≠0 или нет. Если да, то это – корень заданного уравнения, если нет, то это – посторонний корень и в ответ его включать не надо.

Замечания к упражнениям

3.2.С08 Метод введения новой переменной, для сведения данного ур-ния к квадратному.

3.2.С09 Увидеть обратные дроби и свести исходное ур-ние подходящей заменой к более простому дробно-рациональному ур-нию

3.2.С10 Вспомнить понятие функции и её значения. Составить уравнение дробно-рациональное по данному.

**************************************************************************

Примеры части схемы урока.

УРОК №1 ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ.

1. Устная работа: а) х/7 + 5/7 = 0 ;

б) (х-7)(х+8)(х-2)=0;

в) 3х² – х = 0

2. Назовите степень уравнения, найдите корни этих уравнений. Какие равносильные

преобразования использовались?

3. Решите уравнение : а) х² = 16, б) х² – 1 =0

4. Повторить формулы : ( a + b)² ; ( a – b)² . Раскрыть скобки: (3х+2у)² ; ( 7х – 3)² .

5. Повторить формулы нахождения D и корней квадратного уравнения

6. Вторая формула дискриминанта, когда коэффициент b кратен двум.

7. Повторить метод решения биквадратного уравнения ax⁴ + bx² + c = 0

8. Повторить определение модуля действительного числа: a, если a ≥ 0 |a| = -a, если a< 0

9. Решение заданий

Из уровня А 3.1.А 02, 3.1.А 07, 3.1.А09, 3.1.А06, 3.1.А05, 3.1.А10

Из уровня В 3.1.В 02, 3.1.В 04, 3.1.В 06, 3.1.В 09, 3.1.В 10,

10. Кто вперед , предложить для самостоятельного решения 3.1.С 03, 3.1.С 07, 3.1.С08

11. Домашнее задание 3.1.А03, 3.1.А08, 3.1.А04 , 3.1.В 01, 3.1.В07, 3.1.В03,

На «5» 3.1.С01, 3.1.С05, 3.1.С09, 3.1.С10

Урок №2 Решение дробно-рациональных уравнений.

* Устно

1. Какие уравнения называются дробно-рациональными?

2. Условие равенства дроби нулю?

3. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

4. Определите общий знаменатель: 3.2.А01, 3.2.А06, 3.2.А08, 3.2.В01, 3.2.В02

* Закрепление 3.2.А05, 3.2.А06, 3.2.А07, 3.2.В06, 3.2.В10

* Умение решать дробно-рациональные уравнения мы применяем и при решении задач.8.1.В02 (а)

* Д/з

Глава 4. Неравенства

Махно А.И., шк. № 852

При решении дробно – рациональных неравенств с одним неизвестным учащимся следует напомнить теорему:

неравенства на множестве допустимых значений x равносильны неравенствам: которые можно решить методом интервалов.

Есть и другой способ решения дробно – рациональных неравенств: решение совокупности систем неравенств. Например, решение неравенства сводится к решению двух систем

Решение неравенства также можно заменить решением двух систем неравенств:

Для успешного решения дробно – рациональных неравенств вида: учащиеся должны знать, что если неизвестен знак общего знаменателя дробно – рационального неравенства, то мы не имеем права на него умножать обе части данного неравенства.

Рассмотрим решение некоторых неравенств, взятых из сборника задач для подготовки к письменному экзамену по алгебре в 9 классе под редакцией С.А. Шестакова.

4.2. B 05

а) Решите неравенство:

Решение:

Область допустимых значений x: то есть x

Перенесём все члены неравенства в левую часть

Получим:

Числитель 7x² + 9 > 0 при всех значениях x положителен. Следовательно,

49x² – 36 > 0 или (7x – 6) (7x + 6) > 0

Решая последнее полученное неравенство методом интервалов, находим:

Ответ:

Особое внимание учащихся следует обратить на решение таких дробно-рациональных неравенств, когда знак числителя или знаменателя неравенства можно определить, ещё не решая самого неравенства, используя некоторые свойства алгебраических выражений, а далее остаётся определить знак знаменателя или числителя и решать уже упрощённое неравенство.

Пример:

4.2. B07 (б)

Решите неравенство:

Решение:

Область допустимых значений x – все действительные числа.

при всех значениях x. Следовательно,

Корни квадратного трёхчлена находим по теореме Виета

Получим неравенство

Решая это неравенство методом интервалов, получим

Ответ:

Также следует обратить внимание на решение, казалось бы «легких» дробно-рациональных неравенств, когда неравенство не строгое, то есть со знаком , при рассуждении и решении теряет знак = и ответ получается со знаком только > или <

Например, 4.2. B03 (б)

Решите неравенство:

Решение:

Перенесём все члены неравенства в левую часть.

Получим:

Следовательно,

Ответ:

При решении дробно-рациональных неравенств вида:

Следует в числителе вынести общий множитель x , то есть привести к виду:

затем необходимо исследовать, при каких значениях x можно сократить числитель и знаменатель дроби неравенства на , а потом уже решать полученное неравенство. (Это рекомендации для мотивированных учащихся)

Пример: 4.2. C08( а)

Решите неравенство:

Решение:

Вынесем в числителе левой части неравенства общий множитель, получим:

Левая часть полученного неравенства неопределена, если

.

Находим корни этого уравнения:

Следовательно, неравенство можно сократить, если

Тогда . Исключим из луча ,

получаем:

Ответ:

Рассмотрим решение дробно-рациональных неравенств из уровня «Д»

4.2.Д06(б)

Решите неравенство:

Решение:

Область допустимых значений x: , то есть

Левую часть данного неравенства приведём к общему знаменателю.

при всех

Следовательно,

Разделив обе части последнего неравенства на 3, получим неравенство, равносильное данному:

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Находим , корни квадратного трёхчлена

;

D=

;

Учтём область допустимых значений x:

Получим:

Ответ:

Далее рассмотрим решение неравенства

4.2.Д07(а)

Решите неравенство:

Решение:

Для упрощения данного неравенства введём новую переменную , тогда ; .

Квадратный трёхчлен не имеет корней, т.к. D=

Следовательно, график , который является параболой, и ветви которого направлены вверх, не имеет точек пересечения с осью Ox (см. рисунок)

А это значит, что при всех действительных значениях x .

Учитывая выше изложенные выводы, получаем неравенство:

.

.

Так как , то приходим к выводу, что

Последнее неравенство можно решить методом интервалов:

D=

Получаем решение Но т.к. при всех значениях, то решения неравенства такие:

Далее приходим к обратной замене . Получим систему неравенств:

1) при любых действительных значениях x

2)

верно только при x= - 4

Следовательно, x= - 4 является общим решением первого и второго неравенства системы.

Ответ: - 4.

Глава5. Системы уравнений.

Материал главы 5 п.1 связан с темой “Решение систем целых алгебраических уравнений”. Основными методами решения систем уровня A,B,C являются метод алгебраического сложения и метод подстановки.

УРОВЕНЬ А.

Для решения заданий №1-№6 уровня А метод алгебраического сложения опирается на знание действий с отрицательными числами и решения линейных уравнений(п.6, п.8 6 кл. Виленкин). Задание 7-10 легко решаются способом подстановки, учащимся необходимо повторить умножение многочлена на многочлен.

УРОВЕНЬ В.

Задание уровня В №1,№3 удобнее решать способом подстановки. С учащимися необходимо повторить “действия с обыкновенными дробями”(п.2, п.3 6 кл. Виленкина). Для решения заданий №2, №4 и №5 удобно раскрыть скобки по формулам сокращённого умножения и решить упрощённые системы способом алгебраического сложения. Задание №6 решается способом подстановки в первое уравнение значения переменной y, выраженной через x из второго уравнения в системе №6 а, и числовая подстановка в системе №6 б, затем последовательное применение формул сокращённого умножения приводит первое уравнение к линейному виду. Для решения заданий №7 и №8 с учащимися необходимо вспомнить условия равенства произведения нулю и перейти от системы двух уравнений к совокупности двух систем, каждая из которых решается способом алгебраического сложения. Задание В.09 опирается на знание тождества а-в=-(в-а), с помощью которого преобразуется второе уравнение системы, затем применяется способ алгебраического сложения относительно групп (x+3y) и (x-y).

Решения задания В10 опирается на знание способа алгебраического сложения и решения неполного квадратного уравнения(п.8 Макарычев 8 кл.).

УРОВЕНЬ С.

Задание С.01 решается способом подстановки и опирается на знание свойств арифметического квадратного корня(п.7-8 Макарычев 8 кл.). решение заданий 2, 3 и 5 опираются на знание формул сокращённого умножения, разложения многочлена на множители и способом вынесения многочленного множителя за скобки. Применение условия равенства произведения нулю приводит к совокупности двух систем, каждую из которых решаем способом подстановки. В системе №4 последовательное применение формулы сокращённого умножения и условия равенства произведения нулю приводит к совокупности трёх систем. В системе №6 применяется способ подстановки значения переменной y во второе уравнение, что приводит к решению неполного квадратного уравнения. В системе №7 удобнее выразить переменную x из второго уравнения и она решается аналогично. Решение системы №8 опирается на знание модуля числа(п.28 6 кл. Виленкин), на основании которого удобно перейти к совокупности двух систем и рассмотреть их решения на промежутках x>=0, x<0. Первое уравнение системы №9 преобразуем способом группировки, затем применяя условие равенства произведения нулю перейдем к совокупности двух систем, решаемых способом подстановки. Система №10 решается разложением на множители по формуле разности кубов и подстановкой значения переменной x в первое уравнение, которое приводит к квадратному уравнению.

Эту тему удобно повторять на одном уроке: в классе решить номера А04, В05а, В06а, В08а, В09а, С02а, С08а, С10, а на дом взять С03-С07.

§ 2. Системы рациональных уравнений .

1. Для лучшего восприятия систем рациональных уравнений надо повторить методы решения дробно-рациональных уравнений типа 3.2 АО6 и 3.2 ВО8.
2. Обратить внимание учащихся на то, что при решении систем рациональных уравнений надо обязательно учитывать область допустимых значений переменных (знаменатели дробей должны быть не равными нулю).
3. В системах уравнений уровня А одно из уравнений дробно-рациональное, а в системах уровня В – оба уравнения дробно-рациональные.
4. Обратить внимание учащихся на решение систем 5.2 А09, А10, В06 и В09, так как эти системы решаются методом замены.
5. Решить в классе системы: 5.2 А02, А05, А09, В01, В02, В09 и В10 первого варианта.
6. Домашнее задание 5.2 А02, А04, А09, В03, В09 и В10 второго варианта.

Уровень С.

Для решения систем уравнений необходимо повторить: основное свойство

пропорций, условие равенства дроби нулю, равенство произведения нулю,

формулы сокращенного умножения ( а ± b )² .

Решение систем уравнений подстановкой : С02, С03, С04, С06, С07, С09, С10.

Решение систем уравнений способом алгебраического сложения: С05, С08.

В классе рассмотреть: С01, С02, С05, С09.

На дом: С03, С04, С07, С08, С10.

Глава6. $2.Системы дробно-рациональных неравенств.

Темы, встречающиеся в гл.6 ,параграф 2.

1.Решение линейных неравенств: А01--А10 ; В01--В10 , С01--С02.

2. Метод интервалов: С03--С10 , в С03 , С04 в ответе точка.

3. а > 0, а>0 => в > 0

а < 0 в < 0

_1__ > 0 ; а > 0

а

А01--А10 , В01--В10, С02, С06, С10.

4. Свойство неравенства :

_1_ > _1_ , а>0 , в>0

а в

a < в , С01

5. Преобразование дробно- рациональных выражений: А10 , В03--В06 , В08 , В09 , В10 ,

С02 , С05--C09.

План урока №1

Урок по теме "Решение систем дробных рациональных неравенств"

На уроке решить: А08(а) , Б03(а) , С04(а) ,А02(а) .

Дома: А09(б) ,А10(б) ,Б09(б) ,С05(б) .

Глава 7.1 Чтение графиков

1. Повторить теорию по темам

· Координатная плоскость. Нахождение координат точки на плоскости

· Функции и их свойства

2. Устно: № А01, А 03, А 06.

3. Разобрать у доски № В 02.

Сам-но с проверкой № В 04, В 08

4. № С 02, С 03, С 04(а), С 08

На дом № В 07, В 10, С 04(б), С 06.

ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.

§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

ЦЕЛЬ: ПОВТОРИТЬ И СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ИМЕЮЩИЕСЯ ЗНАНИЯ О ФУНКЦИЯХ И ГРАФИКАХ.

НА ПОВТОРЕНИЕ ЭТОЙ ТЕМЫ ОТВЕСТИ 3 Ч.

ОБУЧАЮЩИМСЯ ПО УЧЕБНИКУ ПОД РЕДАКЦИЕЙ С.А. ТЕЛЯКОВСКОГО

РЕКОМЕНДУЕМ РАЗБИРАТЬ ЗАДАНИЯ ИЗ ЭТОЙ ГЛАВЫ ОДНОВРЕМЕННО

С ИЗУЧЕНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ, ТАК КАК МНОГИЕ ЗАДАНИЯ НЕ СВОЙСТВЕННЫ СОДЕРЖАНИЮ ДАННОГО УЧЕБНИКА И К НИМ НЕОБХОДИМЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ.

ЕСЛИ В ЭТОМ УЧЕБНОМ ГОДУ ВЫ ЕЩЁ НЕ НАЧАЛИ РАБОТАТЬ ПО ДАННОМУ ПОСОБИЮ, ТО ПРИ ПОВТОРЕНИИ СЛЕДУЕТ ОБРАТИТЬ ВНИМАНИЕ НА

РЕШЕНИЕ № 7.3 А01-А08, В05-В10, С02-С04, С07, С09.

1 УРОК. ПОВТОРИТЬ СВОЙСТВА И ГРАФИК КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ.

СДЕЛАТЬ АКЦЕНТ НА ВЫЧИСЛНИЕ КООРДИНАТ ВЕРШИНЫ

ПАРАБОЛЫ.

НА УРОКЕ РЕШИТЬ: № 7.3 А01, А02, А07, АО8, В05а, В06а, СО3а.

ПРИ НАЛИЧИИ ВРЕМЕНИ РЕШИТЬ № С07а, С08а

НА ДОМ: № 7.3 А03, А05, В05б, ВО6б, С03б.

2 УРОК. ПОВТОРИТЬ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ, ОПР. ВОЗРАСТАЮЩЕЙ (УБЫВАЮЩЕЙ)

ФУНКЦИИ.

НА УРОКЕ РЕШИТЬ: № 7.3 А09, А10, В01, В03, С01а, С02а.

НА ДОМ: № 7.3 В02, В04, С02б.

3 УРОК. ПОВТОРИТЬ СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ У= √Х

НА УРОКЕ РЕШИТЬ: № 7.3 В07, В08, В10, С04, С05, С09, В10б.

НА ДОМ: № 7.3 С06, СО8б, В09, В10б.

Глава 8.Текстовые задачи.

*Параграф 1."Задачи на движение и работу"

*Параграф 2."Задачи на проценты, части, доли"

*Параграф 3."Задачи на свойства целых чисел"

Урок 1.Задачи на движение.

Цели урока:

1)Повторить правило нахождения скорости сближения, скорости удаления и средней скорости движения.

2)Задачи, связанные со скоростью по течению и скоростью против течения.

3)Решение различных задач.на движение.

На уроке решить задачи (соответственно):

1)№8.1.А01, 8.1.А02, 8.1.А03, 8.1.В01, 8.1.С01,

2)№8.1.В02, 8.1.В03, 8.1.С02,

3) 8.1.А06, 8.1.В01, 8.1.В04, 8.1.В06(все "а"),

дома – "б"(по выбору учителя).

Урок 2.Задачи на совместную работу.

На уроке решить задачи №8.1.А07, 8.1.А08, 8.1.В07, 8.1.С09("а").

Дома отработать "б".

Урок №3. Задачи на прценты

Цели урока:

1.Повторить понятие процента и переход от процентов к десятичной дроби.

2.Повторить понятие отношения двух чисел и решение пропорций.

3.Повторить алгоритм решения задач на нахождение нескольких процентов от числа и числа по его части, заданной в процентах.

4.Сформировать у учащихся представления о понижении (повышении) некоторой суммы на данное число процентов (банковского вклада, прибыли на производстве, зарплаты).

На уроке рекомендуется решить задачи (пункты б ):

№8.2.А01, 8.2.А02, 8.2.В02, 8.2.В04, 8.2.С01, 8.2.А07, 8.2.С08, 8.2.С09, 8.2.В07.

На дом : № 8.2.А04, 8.2.А08, 8.2.В.01, 8.2.В06, 8.2.В07(пункты а ).

Урок 4.Задачи на проценты и доли.

Цели урока:

1.Восстановить навык решения задач на вычисление массы вещества или процентного содержания вещества в растворе или смеси.

2.Закрепление навыка работы с пропорцией.

3.Повышение вычислительной культуры учащихся.

На уроке рекомендуется решить задачи (пункты а ):

№ 8.2.А09, 8.2.А10, 8.2.В05, 8.2.С02, 8.2.С03, 8.2.С04, 8.2.С05.

На дом : №8.2.А09, 8.2.А10, 8.2 В05, 8.2.С03, 8.2.С04, 8.2.С05(пункты б ).

Урок 5.Задачи на части и доли.

Цели урока:

1.Продолжить закрепление знаний и развитие умений и навыков учащихся по теме "Отношения и пропорции", "Проценты".

2. Проверка качества усвоения повторенного материала при самостоятельном решении задач.

На уроке рекомендуется решить задачи (пункты а ):

№8.2.А05, 8.2.В03, 8.2.В09, 8.2.В10, 8.2.С06.

Самостоятельная работа:

Вариант 1: №8.2.А06(а), 8.2 В08(а), 8.2.С10(а).Доп.№8.2.С07(а).

Вариант 2: №8.2.А06(б), 8.2.В08(б),8.2.С10(б).Доп.№8.2.С07(б).

На дом: №8.2.А05, 8.2.В03, 8.2.В09, 8.2.В10, 8.2.С06(пункты б ).

Урок 6.Делимость натуральных чисел.

Цель урока: повторить основные понятия по теме "Делители и кратные. НОД и НОК натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости на 2, 3, 4, 9".

На уроке рекомендуется решить задачи (пункты а ): №8.3.А01, 8.3.А03, 8.3.А05, 8.3.А06, 8.3.А07, 8.3.А08, 8.3.В04, 8.3.В.06, 8.6.В01,8.3.С04.

На дом: №8.3.А02, 8.3.А04, 8.3.А07, 8.3.А08, 8.3.А10, 8.3.В02,8.3.В06, 8.3.С04(пункты б ).

Урок 7. Применение свойств целых чисел при решении задач.

Цели урока:

1.Повторить формулы двузначного и трёхзначного чисел.

2.Повторить решение двойных неравенств первой степени.

3.Продолжить формирование навыка решения задач геометрического содержания с помощью алгебраических преобразований.

4.Повторить геометрический материал: неравенство треугольника, нахождение числа диагоналей многоугольника.

На уроке рекомендуется решить: №8.3.В07(а), 8.3.С01(а), 8.3.С06(а), 8.3.С08(а), 8.1.С03(а), 8.3.В10(а), 8.3.С02(а).

На дом: №8.3.С01(б), 8.3.С06(б), 8.3С08(б), 8.3.С03(б) , 8.3.В10(б), 8.3.С02(б).

Урок 8.Решение задач повышенной сложности.

Цели урока:

1.Применение повторенного материала к решению более сложных задач параграфов 2 и 3 главы 8.

2. Проверка подготовки качества учащихся по данной теме.

На уроке: №8.3.С05(а), 8.3.С07(а), 8.3.С09(а) 8.3.В09(а).

Самостоятельная работа:

Вариант 1 : №8.3.А09(а), 8.3.В03(а), 8.3.В08(а), 8.3.С10(а).

Вариант 2 : №8.3.А09(б), 8.2.В03(б), 8.3.В08(б),8.3.С10(б).

На дом : №8.3.В09(б), 8.3.С05(б), 8.3.С07(б), 8.3.С09(б).

Глава 8. §3. «Задачи на свойства целых чисел».

Замечание. В предшествующем д/з повторить НОД и НОК натуральных чисел; формулу деления с остатком; формулу многозначного числа; признаки делимости на 2,3,5,9,4,6.

Повторение (1 час)

Цель урока : повторить основные понятия по теме «Делители и кратные»; НОД и НОК натуральных чисел; деление с остатком; признаки делимости на 2,3,5,9,4,6; формулу многозначного числа. Повторить геометрический материал: неравенство треугольника; нахождение числа диагоналей многоугольника.

На уроке рекомендуется решить задачи:

1) НОД и НОК: 8.3.А07(а) – устно,

8.3.А08(а) – устно.

2) Признаки делимости: 8.3.А09(а) – устно,

8.3.А10(а) – устно,

8.3.В02(а),

8.3.В06(а).

3) Деление с остатком: 8.3.А01(а),

8.3.А04(а),

8.3.А05(а).

4) Формула многозначного числа: 8.3.С06(а),

8.3.С08(а).

5)Задачи с геометрическим содержанием: 8.3.С02(а),

8.3.В10(а),

8.3.В03(а).

На дом : 8.3В04(а), 8.3В08(а),8.3.С01(а), 8.3.С04(а), 8.3.С09(а).

Замечание. На последующих уроках повторения рекомендуем рассмотреть задания 8.3.В07и 8.3.С10 (решение двойных неравенств).

Глава 9. Прогрессии

Девятую главу сборника составляют задачи на прогрессии.

Предполагается, что в результате изучения курса математики девятиклассники должны знать формулы n-ого числа арифметической и геометрической прогрессий и уметь находить сумму n первых членов обеих прогрессий.

Задачи данной главы, как и всех предыдущих глав, классифицированы по уровням сложности. Каждый уровень включает в себя пять заданий на арифметическую прогрессию и пять заданий на геометрическую.

Учитель может по своему усмотрению организовать повторение, включая задания разных уровней по одной прогрессии, а затем по другой, или рассматривать обе прогрессии одновременно, переходя от одного уровня сложности к другому.

В любом случае начать следует с повторения основных формул:

В заданиях уровня А проверяется умение пользоваться формулами.

Рассмотрим некоторые примеры.

9.1.А01.

а) Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен – 21, а двенадцатый равен 1.

Решение. Воспользуемся формулой n-го члена прогрессии.

a_n= a₁ +d(n-1),получим : a₁₂ =a₁ +11d, d=(a₁₂ -a₁ )/11, d=(1+21)/11=2.

Ответ: 2.

9.1.А03.

а) Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, первый член которой равен -12, а второй равен -9.

Решение .

d=a₂ -a₁ , d=-9+12=3, S₈ =(2a₁ +7d) × n/2, S₈ =(-24+21) × 8/2=-12.

Ответ: -12.

Несколько отличается задание 9.1.А05.

а) Сумма седьмого и двенадцатого членов арифметической прогрессии меньше суммы ее шестого и одиннадцатого членов на 8. Найдите разность прогрессии.

Решение.

Из условия получим ( a₆ + a₁₁ )+( a₁₂ + a₇ )=8. Используя формулу a_n - го , выразим a₆ , a₇ , a₁₁ и a₁₂ через a₁ и d, тогда полученное выражение будет иметь вид:

(a₁ + 5d+ a₁ +10d) -- (a₁ +11d+a₁ +6d)=8,

(2a₁ +15d) – (2a₁ +17d)=8, 15d—17d=8, --2d=8, d= --4.

Ответ: --4.

9.1.А06.

а) Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12 , а одиннадцатый член равен 4.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена , получим a₁₁ = a₁₀ q, q= a₁₁ / a₁₀ , q=4/12=1/3. Тогда a₉ =12: 1/3=36.

Ответ: 36.

9.1.А09.

а) Пятый член геометрической прогрессии в 5 раз больше ее первого члена. Во сколько раз тринадцатый член этой прогрессии больше ее пятого члена?

Решение.

Из условия имеем b₅ =5 b₁ . Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии b_n = b₁ q^{n -1} .

B₅ = b₁ q⁴ , тогда получим b₅ / b₁ = q⁴ =5. b₁₃ = q⁸ , b₁₃ / b₅ = q⁸ , q⁸ =25.

Ответ: в 25 раз.

Задания уровня В несколько сложнее. Например в заданиях 9.1.В02, 9.1.В03, 9.1.В05 требуется не только знание формул , но и умение составить и решить систему уравнений по заданному условию. Приведем примеры решений некоторых заданий этого уровня сложности.

9.1.В01.

а) Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 7. Какие из чисел 28, 55, 9150 являются членами этой прогрессии?

Решение.

a_n = a₁ +7( n-1)= a₁ +7 n-7=6+7 n, n=( a_n -6) / 7.

n₁ =(28-6): 7=3, n₂ =(55-6) / 7=7, n₃ =(9150-6) / 7=136,28... .

Таким образом число 28 – 3-й член прогрессии, 55—седьмой член, а 9150 не является членом данной прогрессии.

9.1.В04.

а) В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.

Решение .

Пусть a₂ =9, d=20, тогда S₁₀ = (a₁ +a₁₀ ) × 10 / 2= (a₁ +a₁₀ ) × 5.

a₁₀ =a₁ +9d=a₂ +8d, a₁₀ =9+8 × 20=169, a₁ =9 - 20= - 11, S₁₀ =( - 11+169) × 5+790.

Ответ : 169; 790.

9.1.В07.

а) Существует ли геометрическая прогрессия, в которой восьмой член равен 12, а двенадцатый член равен –8?

Решение.

Из условия имеем b₈ =12, b₁₂ = --8. По определению геометрической прогрессии b₁₂ : b₈ = q⁴ , b₁₂ : b₈ =12:(--8) < 0, q⁴ >0, следовательно такой прогрессии не существует.

Ответ: не существует.

9.1.В08 и 9.1.В09 однотипные.

9.1.В08

а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее восемнадцатый член в 27 раз больше ее двадцать первого члена.

Решение.

Из условия имеем b₁₈ =27 b₂₁ , b₂₁ : b₁₈ = q³ =1/27 Þ q=1/3.

Ответ: 1/3.

Перед решением уровня С необходимо повторить свойства арифметической и геометрической прогрессий.

Рассмотрим несколько примеров решения уровня сложности С.

9.1.С04.

а) Дана арифметическая прогрессия { а_n }. Найдите a₁ + a₁₁ + a₁₄ + a₂₄ , если

a₅ + a₂₀ =26.

Решение.

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии получим a₁ + a₂₄ = a₁₁ + a₁₄ = a₅ + a₂₀ = 26. Следовательно искомая сумма равна 52.

Ответ: 52.

9.1.С05.

а) Найдите сумму всех членов арифметической прогрессии 2; 6; … с седьмого по тринадцатый включительно.

Решение.

Сумма членов с седьмого по тринадцатый включает в себя 7 членов прогрессии,вычисление суммы начнем с седьмого члена, поэтому формула

n первых членов прогрессии примет вид S₇ =(2 a₇ + 6 d) ×7:2.

Найдем разность прогрессии и c₇ . d= a₂ – a₁ = 6 -2=4, c₇ = c₁ +6 d=2+6 ×4=26.

S₇ =(2 × 26+4 × 6) × 7 : 2=266/

Ответ: 266.

9.1.С08.

а) Найдите х, если известно, что числа х-3, Ö5х, х+16 являются последовательными членами геометрической прогрессии ( в указанном порядке).

Решение.

q=b₂ : b₁ =b₃ : b₂ ; q= Ö 5x : (x-3)= (x+16): Ö 5x , 5x=(x-3)(x+16),

5 x= x² +16 x-3 x-48,

x² +8 x-48=0, x₁ = -12, x₂ =4. Так как подкоренное выражение не отрицательно, то х= -12 посторонний корень.

Ответ: 4.

9.1.С10.

а) Если одиннадцатый член геометрической прогрессии увеличить в 8 раз и сложить с тринадцатым членом, то получится число в 6 раз больше ее двенадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии.

Решение.

Из условия имеем 8 b₁₁ + b₁₃ =6 b₁₂ . Выразим b₁₂ и b₁₃ через b₁₁ , получим

8 b₁₁ + b₁₁ × q² =6 b₁₁ × q, b₁₁ ( q² -6 q+8)=0, q² -6 q+8=0, q=2, q=4.

Ответ: 2 или 4.

Следует отметить, что решение этих примеров не требует пространных комментариев. Вместе с тем представляется целесообразным записывать решение с такой степенью подробности, которая делает ясной и понятной логику преобразований и обеспечивает простоту и удобство проверки ( и самопроверки учеником) решения.

содержание   ..  370  371  372   ..