Рекомендации по проведению всероссийской олимпиады школьников в 2018/2019 учебном году по математике - часть 8

 

57 

Каждое  число 

!

n

  при 

2



n

  является  четным.  Поэтому  среди  чисел  x , 

y

, 

z

  ровно 

одно  равно  1  (все  три  не  могут  равняться  1,  иначе  сумма  их  факториалов  будет  равна  3). 

Пусть,  например, 

1

=

z

.  Тогда 

00

100

=

!

!



y

x



.  Если  оба  числа  x   и 

y

  не  меньше  трех,  то 

каждое слагаемое в сумме 

!

! y

x



  делится  на  3,  то есть  и  их  сумма  делится  на  3,  что  не  так. 

Значит,  хотя  бы  одно  из  этих  двух  чисел  меньше  3.  Пусть,  например, 

2

=

y

,  тогда 

2

=

!

y

, 

поэтому 

998

99

=

!



x

. Последнее невозможно, так как это число не делится на 3. 

 

10.4. Ответ. 

ab

PK



.  

Заметим, что 

NPK

NKB





=

 (один из них вписанный, а другой – между касательной 

и хордой; и оба опираются на дугу 

KN

  ).  Из  условия  параллельности  отрезков 

AP

  и 

KN

 

следует,  что 

PAK

NKB





=

  (см.  рис.  7).  Следовательно, 

NPK

PAK



 

  Кроме  того, 

PKA

KNP





=

.  Значит,  треугольники 

KNP

  и 

PKA

  подобны.  Тогда 

AP

KP

KP

KN

:

=

:

, 

откуда 

ab

AP

KN

KP

=

=

2



. 

 

Рис. 7  

 

10.5. Ответ. 8 выстрелов.  

Заметим,  что  если  бублик  размещен  на  поле 

4

4



,  то  одного  выстрела  не  хватит, 

чтобы  гарантированно  его  ранить.  Действительно,  если  выстрел  произведен  в  клетку, 

соседнюю со стороной квадрата, то бублик может быть размещен рядом с противоположной 

стороной. Если же выстрел произведен в одну из четырех центральных клеток квадрата, то 

бублик  может  быть  размещен  так,  что  его  центр  совпадает  с  клеткой,  в  которую  сделан 

выстрел.  Значит,  потребуется  сделать  не  менее  двух  выстрелов,  чтобы  гарантированно  его 

ранить. 

Разбив  поле 

8

8



  на  четыре  квадрата 

4

4



,  получим,  что  для  того,  чтобы 

гарантированно ранить бублик, потребуется не менее 8 выстрелов. 

 

58 

 

Рис. 8 

Если же сделать 8 выстрелов так, как показано на рис. 8, то мы гарантированно раним 

бублик.  

 

11 класс 

11.1. Ответ. 

2

3

=



a

.  

По  теореме  Виета, 

1

=

cos

2

sin







,  откуда 

1

=

2

sin



  и 

n









4

=

  ( n   –  целое). 

Отсюда 

2

3

=

)

cos

2

sin

(

=











a

.  Оба  этих  значения  реализуются  (для  трехчлена 

1

2

3

2





x

x

  можно  положить 

4

5

=





,  а  для  трехчлена 

1

2

3

2





x

x

  –  соответственно 

4

=





). Кроме того, 

sin

2cos







при этих значениях 



, то есть корни различны. 

 

11.2. Ответ. 10 команд.  

Пусть  количество  команд  равно 

3



n

.  Тогда  первые  три  команды  в  играх  с 

остальными  набрали 

n

3

  очков,  а  в  играх  между  собой  они  набрали  3  очка.  Остальные 

n  

команд  в  играх  между  собой  набрали 

2

1)

(



n

n

  очков.  По  условию, 

3

2

1)

(

=

3

3







n

n

n

,  то 

есть 

0

=

7

2

n

n



. Отсюда получаем, что 

7

=

n

. 

 

11.3.  Перенесем  все  выражения  в  левую  часть  и  разложим  на  множители: 

0

>

1)

)(

(







x

y

x

y

.  Отсюда,  с  учетом  неравенства 

1

<

x

y



,  получаем 

0

<

x

y



.  Тогда 

доказываемое неравенство принимает вид 

0

>

1)

)(

(

2

2









x

xy

y

x

y

. Это неравенство верно, 

так как каждое из трёх первых слагаемых во второй скобке меньше 

1/4

, то есть обе скобки 

принимают отрицательные значения. 

 

59 

 

11.4. Ответ. 6 вершин.  

Покажем, что все 7 вершин параллелепипеда, отличных от отмеченной вершины, не 

могут находиться от нее на одинаковом расстоянии. Пусть это не так, и расстояния от всех 

остальных  вершин  параллелепипеда 

1

1

1

1

D

C

B

ABCDA

  до  точки 

1

A   одинаковы.  Опустим  из 

точки 

1

A   перпендикуляр 

H

A

1

  на  плоскость 

ABC

  (см.  рис.  9).  Тогда  треугольники 

HA

A

1

, 

HB

A

1

, 

HC

A

1

, 

HD

A

1

 будут равны по гипотенузе и катету. Значит, точка 

H

 равноудалена от 

всех вершин грани 

ABCD

, то есть параллелограмм 

ABCD

  вписан  в  окружность  с  центром 

H

,  и  он  –  прямоугольник.  Тогда  прямоугольником  является  и  грань 

1

1

1

1

D

C

B

A

.  Но  в 

прямоугольнике  отрезки 

1

1

B

A

  и 

1

1

D

A

  короче  отрезка 

1

1

C

A

,  так  как  гипотенуза  в 

прямоугольном треугольнике больше катета. Значит, все 7 расстояний быть одинаковыми не 

могут. 

 

Рис. 9 

 

Рис. 10 

Осталось привести пример параллелепипеда, в котором вершина 

1

A  равноудалена от 

6  вершин.  Возьмем  параллелепипед,  у  которого  грани 

ABCD

  и 

1

1

1

1

D

C

B

A

  –  квадраты  со 

стороной  a ,  и  описанная  выше  точка  H   является  центром  квадрата 

ABCD

.  Пусть  длина 

отрезка 

H

A

1

  равна 

2

a

  (см.  рис.  10).  Тогда  расстояния  от  точки 

1

A   до  вершин 

D

C

B

A

,

,

,

 

равны 

a

a

a

=

2

2

2

2



, то есть равны расстояниям от нее до вершин 

B

 и 

D

. 

Замечание.  Тот  же  пример  можно  описать  и  по-другому  (рис.  10).  Пусть  грань 

1

1

C

CDD

  –  ромб  со  стороной 

a ,  в  котором 



120

=

C



.  Разместим  грань 

1

1

A

ABB

  так,  чтобы 

основание 

H



 перпендикуляра, опущенного из 

1

A  на плоскость 

1

1

C

CDD

, являлось центром 

правильного треугольника 

1

CDD , а высоту 

H

A



1

 подберем так, чтобы 

1

A  была равноудалена 

от точек 

A

, 

B

, 

1

B , 

C

, 

D

 и 

1

D . 

 

60 

11.5. Ответ. 8 выстрелов.  

Заметим,  что  если  бублик  размещен  на  поле 

4

4



,  то  одного  выстрела  не  хватит, 

чтобы  гарантированно  его  ранить.  Действительно,  если  выстрел  произведен  в  клетку, 

соседнюю со стороной квадрата, то бублик может быть размещен рядом с противоположной 

стороной. Если же выстрел произведен в одну из четырех центральных клеток квадрата, то 

бублик  может  быть  размещен  так,  что  его  центр  совпадает  с  клеткой,  в  которую  сделан 

выстрел.  Значит,  потребуется  сделать  не  менее  двух  выстрелов,  чтобы  гарантированно  его 

ранить. 

Выделив  на  поле 

8

10



  четыре  непересекающихся  квадрата 

4

4



,  получим,  что  для 

того, чтобы гарантированно ранить бублик, потребуется не менее 8 выстрелов. 

 

Рис. 11 

Если  же  сделать  8  выстрелов  так,  как  показано  на  рис.  11,  то  мы  гарантированно 

раним бублик.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61 

Рекомендуемая литература для подготовки заданий муниципального этапа 

Всероссийской математической олимпиады 

 

Журналы: 

«Квант», «Квантик», «Математика в школе», «Математика для школьников» 

 

Книги и методические пособия: 

 

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Районные олимпиады. 6-11 класс. – М.: 

Просвещение, 2010.  

Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика. 

Всероссийские олимпиады. Выпуск 1. – М.: Просвещение, 2008. 

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 2. – М.: 

Просвещение, 2009.  

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. 

Выпуск 3. – М.: Просвещение, 2011.  

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. 

Выпуск 4. – М.: Просвещение, 2013. 

Адельшин А.В.,Кукина Е.Г.,Латыпов И.А. и др. Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина. 

Омск, 2007-2009. – М.: МЦНМО, 2011.  

Андреева А.Н. ,Барабанов А.И., Чернявский И.Я. Саратовские математические 

олимпиады.1950/51–1994/95. (2-e. исправленное и дополненное). – М.: МЦНМО, 2013. 

Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975. 

Блинков А.Д., Горская Е.С., Гуровиц В.М. (сост.). Московские математические регаты. Часть 

1. 1998– 2006 – М.: МЦНМО, 2014.  

Блинков А.Д. (сост.). Московские математические регаты. Часть 2. 2006– 2013 – М.: 

МЦНМО, 2014.  

Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: 

Аса, 1994.  

Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике (3-е изд., стереотип.). – М.: 

МЦНМО, 2013.  

Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник (6-е издание, стереотипное). – М., 

МЦНМО, 2011.  

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы (5-е издание, стереотипное). – М., 

МЦНМО, 2012.  

 

62 

Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи (8-е, стереотипное). – 

М., МЦНМО, 2014.  

Кноп К.А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам (3-е, стереотипное). – М., 

МЦНМО, 2014.  

Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка) (7-е издание, 

стереотипное) – М., МЦНМО, 2013.  

Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М., ГИФМЛ, 1958 – 576 с. 

Раскина И. В, Шноль Д. Э. Логические задачи. – М.: МЦНМО, 2014.  

 

Интернет-ресурс: http://www.problems.ru/