Рекомендации по проведению всероссийской олимпиады школьников в 2018/2019 учебном году по математике - часть 6

 

41 

Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Сравнение положительных и 

отрицательных  чисел.  Арифметические  действия  с  положительными  и  отрицательными 

числами, свойства арифметических действий.  

Целые числа. Рациональные числа.  

 

Уравнения. 

Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.  

Функции. 

Функция. График функции. Функции: у = kx , у = kx + b.  

Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений. 

 

Представление  о  начальных  понятиях  геометрии,  геометрических  фигурах. 

Равенство фигур. 

Отрезок. Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. 

Угол. Виды углов. Смежные и вертикальные углы и свойства.  

Пересекающиеся и параллельные прямые. Перпендикулярные прямые.  

Треугольник  и  его  элементы.  Признаки  равенства  треугольников.  Сумма  углов 

треугольника.  

Представление о площади фигуры. 

 

Специальные олимпиадные темы. 

Числовые ребусы. Взвешивания.  

Логические задачи. Истинные и ложные утверждения.  

«Оценка + пример».  

Построение примеров и контрпримеров.  

Инвариант.  

Принцип Дирихле.  

Разрезания.  

Раскраски.  

Игры.  

 

VIII-IХ КЛАССЫ 

 

Числа и вычисления. 

 

42 

Натуральные числа и нуль. Десятичная система счисления. Арифметические действия 

с натуральными числами. Представление числа в десятичной системе 

Делители и кратные числа. Простые и составные числа. Взаимно простые числа. 

Разложение  числа  на  простые  множители.  Четность.  Деление  с  остатком.  Признаки 

делимости на 2

k

, 3, 5

k

, 6, 9, 11.  

Свойства факториала. Свойства простых делителей числа и его степеней. 

Обыкновенные 

дроби. 

Сравнение 

дробей. 

Арифметические 

действия 

с 

обыкновенными дробями.  

Десятичные дроби.  

Отношения.  Пропорции.  Основное  свойство  пропорции.  Прямая  и  обратная 

пропорциональность величин. Проценты. 

Положительные и отрицательные числа. Модуль числа. Сравнение положительных и 

отрицательных  чисел.  Арифметические  действия  с  положительными  и  отрицательными 

числами, свойства арифметических действий. 

Целые числа. Рациональные числа. Понятие об иррациональном числе. Изображение 

чисел точками на координатной прямой. 

Числовые неравенства и их свойства. Операции с числовыми неравенствами. 

Квадратный корень.  

 

Выражения и их преобразования. 

Степень  с  натуральным  показателем  и  ее  свойства.  Многочлены.  Формулы 

сокращенного умножения. Разложение многочленов на множители. Теорема Безу. 

Квадратный трехчлен: выделение квадрата двучлена, разложение на множители. 

Арифметическая и геометрическая прогрессии.  

 

Уравнения и неравенства. 

Уравнение  с  одной  переменной.  Корни  уравнения.  Линейное  уравнение.  Квадратное 

уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных 

уравнений. 

Уравнение  с  двумя  переменными.  Система  уравнений.  Решение  системы  двух 

линейных уравнений с двумя переменными. Решение простейших нелинейных систем.  

Графическая интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными. 

Неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Неравенства 

второй степени с одной переменной. Неравенства о средних. 

Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, неравенств, систем уравнений. 

 

43 

Функции. 

Прямоугольная система координат на плоскости.  

Функция.  Область  определения  и  область  значений  функции.  График  функции. 

Возрастание функции, сохранение знака на промежутке. 

Функции: у = kx , у = kx + b , y =k/x , у = х

2

, у = х

3

, у = ах

2

 + bх + с, у = |х|. 

Преобразование графиков функций. Свойства квадратного трехчлена. Геометрические 

свойства графика квадратичной функции. 

 

Планиметрия. 

Треугольник  и  его  элементы.  Признаки  равенства  треугольников.  Сумма  углов 

треугольника.  

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.  

Неравенство треугольника.  

Средняя линия треугольника и ее свойства.  

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Свойства равнобедренного и 

равностороннего треугольников. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Решение 

прямоугольных треугольников.  

Четырехугольники. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, ромб, 

квадрат  и  их  свойства.  Трапеция.  Средняя  линия  трапеции  и  ее  свойства.  Площади 

четырехугольников. 

Понятие о симметрии.  

Окружность  и  круг.  Касательная  к  окружности  и  ее  свойства.  Центральные  и 

вписанные  углы.  Окружность,  описанная  около  треугольника.  Окружность,  вписанная  в 

треугольник.  

Угол между касательной и хордой. Пропорциональные отрезки в окружности.  

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки 

Вектор. Угол между векторами. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение 

вектора на число. Скалярное произведение векторов. 

 

Специальные олимпиадные темы. 

Логические задачи. Истинные и ложные утверждения.  

«Оценка + пример».  

Построение примеров и контрпримеров.  

Принцип Дирихле.  

Разрезания.  

 

44 

Раскраски.  

Игры.  

Инвариант.  

Элементы комбинаторики.  

Диофантовы уравнения (уравнения в целых числах). 

 

Х-ХI КЛАССЫ 

 

Числа и вычисления. 

Делимость.  Простые  и  составные  числа.  Разложение  числа  на  простые  множители. 

Четность.  Деление  с  остатком.  Признаки  делимости  на  2

k

,  3,  5

k

,  6,  9,  11.  Свойства 

факториала. Свойства простых делителей числа и его степеней. Взаимно простые числа  

Целые числа. Рациональные числа. Иррациональные числа. Число 



. 

 

Выражения и их преобразования. 

Многочлены.  Формулы  сокращенного  умножения.  Разложение  многочленов  на 

множители. Теорема Безу. 

Арифметическая и геометрическая прогрессии.  

Корень n-й степени и его свойства. Свойства степени с рациональным показателем. 

 

Тригонометрия. 

Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. 

Преобразования  тригонометрических  выражений.  Свойства  тригонометрических 

функций: ограниченность, периодичность. 

 

Уравнения и неравенства. 

Уравнения с одной переменной. Квадратные уравнения. Теорема Виета.  

Иррациональные  уравнения.  Показательные  и  логарифмические  уравнения,  их 

системы. Тригонометрические уравнения. 

Неравенства  с  одной  переменной.  Решение  неравенств  методом  интервалов. 

Показательные и логарифмические неравенства. 

Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Простейшие 

уравнения, неравенства и системы с параметрами. 

Неравенства второй степени с одной переменной. Неравенства о средних. 

Системы уравнений. 

 

45 

Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, неравенств, систем уравнений. 

 

Функции. 

Числовые  функции  и  их  свойства:  периодичность,  четность  и  нечетность, 

экстремумы,  наибольшее  и  наименьшее  значения,  промежутки  знакопостоянства, 

ограниченность.  Понятие  об  обратной  функции.  Свойство  графиков  взаимно  обратных 

функций. 

Тригонометрические  функции  числового  аргумента:  синус,  косинус,  тангенс, 

котангенс. Свойства и графики тригонометрических функций. 

Показательная функция, ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства 

и график. Степенная функция, ее свойства и график. 

Производная, ее геометрический и механический смысл.  

Применение  производной  к  исследованию  функций,  нахождению  их  наибольших  и 

наименьших  значений  и  построению  графиков.  Построение  и  преобразование  графиков 

функций. 

Касательная и ее свойства.  

 

Планиметрия и стереометрия. 

Планиметрия. 

Признаки  равенства  треугольников.  Признаки  подобия  треугольников.  Неравенство 

треугольника. Площадь треугольника. 

Многоугольники. Правильные многоугольники.  

Окружность.  Касательная  к  окружности  и  ее  свойства.  Центральные  и  вписанные 

углы. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник.  

Угол между касательной и хордой. Пропорциональные отрезки в окружности. 

Вектор. Свойства векторов. 

 

Стереометрия. 

Взаимное расположение прямых в пространстве.  

Свойства параллельности и перпендикулярности прямых. 

Взаимное  расположение  прямой  и  плоскости.  Перпендикуляр  и  наклонная  к 

плоскости. Свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Теорема о 

трех перпендикулярах. 

 

46 

Взаимное 

расположение 

двух 

плоскостей. 

Свойства 

параллельности 

и 

перпендикулярности плоскостей. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. 

Двугранный и многогранный углы. Линейный угол двугранного угла. 

Параллелепипед. Пирамида. Призма.  

Декартовы координаты в пространстве. Расстояние между точками. 

Вектор в пространстве.  

 

Специальные олимпиадные темы. 

«Оценка + пример».  

Построение примеров и контрпримеров.  

Принцип Дирихле.  

Раскраски.  

Игры.  

Метод математической индукции.  

Геометрические свойства графиков функций. 

Элементы комбинаторики.  

Диофантовы уравнения (уравнения в целых числах).  

 

Типовые задания муниципального этапа олимпиады 

 

Приведенные  типовые  задания  муниципального  этапа  олимпиады  не  могут  в 

одинаковой  степени  устанавливать  планку  сложности  для  всех  регионов,  в  силу  заметной 

разницы  в  уровне  развития  в  различных  регионах  олимпиадного  движения,  наличия  или 

отсутствия  развитой  системы  городских  математических  кружков,  наличия  в  городах 

сильных  математических  школ  и  т.п..  Региональным  методическим  комиссиям  при 

разработке заданий Олимпиады следует  учитывать  уровень математического образования в 

территории.  Предлагаемые  задания  демонстрируют  типовую  структуру  заданий 

муниципального  этапа  олимпиады,  примерный  (усредненный)  уровень  их  сложности, 

тематику.  

Запрещается  использовать  для  проведения  олимпиады  приведенный  ниже 

комплект заданий, так как данные методические рекомендации являются открытыми, 

и участники олимпиады могли ознакомиться с ними. 

 

 

 

 

47 

Условия задач 

6 класс 

6.1.  Вычеркните  из  числа  987654321  как  можно  больше цифр  так,  чтобы  оставшееся 

число делилось на 15. 

6.2. Сложите из пятиклеточных фигурок, среди которых нет двух одинаковых, какой-

нибудь клетчатый квадрат.  

6.3.  В  комнате  10  человек  –  лжецы  и  рыцари.  Лжецы  всегда  лгут,  а  рыцари  всегда 

говорят  правду.  Три  человека  сказали:  «В  комнате  нечетное  число  лжецов»;  а  остальные 

семь сказали: «В комнате четное число рыцарей». Сколько рыцарей могло быть в комнате?  

6.4.  Можно  ли  в  равенстве 

1

=

0,**

*

0,*

*

0,*

*

0,*







  заменить звездочки  различными 

цифрами от 0 до 7 так, чтобы получилось верное равенство?  

6.5.  В  ящике  лежат  шары  трех  цветов:  красного,  синего  и  зеленого,  причем  шаров 

каждого цвета хотя бы по одному. Известно, что среди любых 10 шаров найдется красный 

шар, а среди любых 20 шаров – синий. Какое наибольшее количество шаров могло лежать в 

ящике?  

 

7 класс 

7.1.  Вырежьте  из  клетчатого  квадрата 

5

5



  одну  нецентральную  клетку  так,  чтобы 

оставшуюся  часть  можно  было  разрезать  на  6  равных  клетчатых  фигурок,  не  являющихся 

прямоугольниками. Приведите пример такого разрезания.  

7.2. Можно ли в равенстве 

2

=

0,**

*

0,*

*

0,*

*

0,*







 заменить звездочки различными 

цифрами от 1 до 9 так, чтобы получилось верное равенство?  

7.3.  В  классе  26  школьников.  Для  школьной  игры  первому  ученику  дали  2  фишки. 

Второму  –  на  3  фишки  больше.  А  каждому  следующему  давали  либо  на  3  фишки  больше, 

либо  на  3  меньше,  чем  предыдущему.  Затем  ученики  как-то  разбились  на  три  команды. 

Могло ли оказаться, что суммарное число фишек в каждой команде оказалось одинаковым?  

7.4.  Турнир  лучников  проводился  по  следующим  правилам.  С  каждого  участника 

собрали одинаковый взнос. Организаторы турнира забрали 

1/3

 от всех поступивших денег, а 

оставшиеся  деньги  пошли  в  призовой  фонд  турнира.  Робин  Гуд,  победивший  в  турнире, 

получил  больше  каждого  из  остальных  участников  – 

1/6

  от  призового  фонда,  однако 

оказался в убытке. Какое количество лучников могло участвовать в турнире? Приведите все 

возможные варианты и докажите, что других нет.  

7.5.  В  ящике  лежат  шары  трех  цветов:  красного,  синего  и  зеленого,  причем  шаров 

каждого цвета хотя бы по 2. Известно, что среди любых 10 шаров найдется красный шар, а 

среди любых 20 шаров – синий. Какое наибольшее количество шаров могло лежать в ящике?  

 

48 

 

8 класс 

8.1. В школе «Эксперимент»  учащимся выставляют оценки от 1 до 5. Борис получил 

по контрольной двойку. Учитель заметил, что, если ему изменить эту двойку на пятерку, то 

средний балл по контрольной среди Борисов в классе увеличится ровно в два раза. Сколько 

Борисов писало контрольную?  

8.2.  Можно  ли  заменить  в  пяти  равенствах  вида 

*

*

=

*

*

*







,  все  звездочки  на 

натуральные  числа  от  1  до  25  так,  чтобы  все  равенства  получились  верными,  а  каждое  из 

чисел использовалось ровно 1 раз?  

8.3.  Докажите,  что  существует  лишь  конечное  количество  пар  натуральных  чисел 

)

,

( b

a

, для которых справедливо равенство 

b

b

a

a

)

3

(2

=

)

(

2017

2017





.  

8.4.  На катете 

BC

  прямоугольного треугольника 

ABC

 (



90

=

BCA



) выбраны точки 

M

 и 

N

 так, что 

NAB

MAN

CAM







=

=

. Прямая, проходящая через точку 

M

, пересекает 

отрезки 

AN

  и 

AB

  в  точках 

E

  и 

F

  соответственно.  Найдите 

AB

,  если 

a

AE =

, 



130

=

ANB



 и 



110

=

BFM



.  

8.5.  В  клетках  доски 

8

8



  стоят  лжецы  и  рыцари  (в  каждой  клетке  –  по  одному 

человеку). Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый сказал: «В одной из 

соседних со мной клеток стоит лжец». Клетки считаются соседними, если у них есть хотя бы 

одна общая вершина. Какое наименьшее число лжецов могло стоять на доске?  

 

9 класс 

9.1.  Можно  ли  в  равенстве 

20

13

12

11

=

10

9

8

3

2

1

























  вычеркнуть  из  левой 

части один сомножитель, а из правой – несколько так, чтобы получилось верное равенство?  

9.2. На доске написано натуральное число 

b

. Про него сказали три утверждения: 

1) это число четное; 

2) это число меньше 102; 

3) уравнение 

0

=

20

2

b

x

x





 имеет хотя бы один корень. 

Какое  наибольшее  число  может  быть  написано  на  доске,  если  из  этих  трех 

утверждений ровно два – верные?  

9.3. Из точки 

A

 провели касательные 

AB

 и 

AC

 к окружности с центром 

O

 (здесь 

B

 

и 

C

  –  точки  касания).  Точка 

M

  –  середина  отрезка 

AO

.  Докажите,  что  окружность, 

описанная около треугольника 

ABM

, касается прямой 

AC

.  

9.4.  Даны  различные  положительные  числа 

a , 

b

, 

c , 

d

  такие,  что 

d

c

b

a





>

. 

Докажите, что 

4

>

c

b

d

a

d

b

c

a







.