содержание .. 25 26 27 28 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 27
Задание №5748
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 37 и 48. Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 85 / 2 = 42,5 Ответ: 42,5
Задание №3352
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 60 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=40 Ответ: 40
Задание №5573
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 54, 72. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=19+54+72=145 Ответ: 145
Задание №2941
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 78. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 78 / 4 = 19,5 Ответ: 19,5
Задание №2530
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 40, основание равно 48 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=768 Подствавим значения и найдём полупериметр P=64 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=768/64=12
Ответ: 12
Задание №5482
Площадь параллелограмма ABCD равна 119. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=89,25 Ответ: 89,25
Задание №1263
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 16+8√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=8 Ответ: 8
Задание №3672
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 42. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=28 HO=21 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 49
Задание №4718
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 132. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99 Ответ: 99
Задание №4340
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 30° и 145°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 30 градусов равен 180-30=150 градусов угол противоположный углу 145 градусов равен 180-145=35 градусов Больший из неизвестных углов 150 градусов Ответ: 150
Задание №4541
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 14, BC=2, CD=21. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=14+21-2=33 Ответ: 33
Задание №4653
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 156°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №3047
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 216. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =216 / 6 = 36 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*36=72 Ответ: 72
Задание №4000
Площадь параллелограмма ABCD равна 125. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=31,25 Ответ: 31,25
Задание №2697
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 97, большая боковая сторона трапеции равна 44 . Рассчитайте радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,25 Ответ: 2,25
Задание №3530
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 36, AB= 55 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 182 Ответ: 182
Задание №5507
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 30 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=78+18=96 Ответ: 96
Задание №5436
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 157. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=78,5 Ответ: 78,5
Задание №3997
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 80, периметр P= 323 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=81,5 Ответ: 81,5
Задание №1968
Дан треугольник ABC. Стороны AC=7, BC=24, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=3 Ответ: 3
содержание .. 25 26 27 28 ..