|
|
содержание .. 24 25 26 27 ..
Задание №5826 Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №5090
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 17 и 9 . Рассчитайте среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 26 / 2 = 13 Ответ: 13
Задание №4895 Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 108 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=45 Ответ: 45
Задание №5287
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 119, стророна AB= 27 . Рассчитайте длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=32,5 Ответ: 32,5
Задание №5144
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 43° и 146°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 43 градусов равен 180-43=137 градусов угол противоположный углу 146 градусов равен 180-146=34 градусов Больший из неизвестных углов 137 градусов Ответ: 137
Задание №3747
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 55, 71. Найдите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =21+55+71=147 Ответ: 147
Задание №5868 Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,25 Ответ: 35,25
Задание №1983 Площадь параллелограмма ABCD равна 156. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=117 Ответ: 117
Задание №3761
Дан треугольник ABC. Стороны AC=48, BC=140, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №3748
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66. Вычислите длину средней линии трапеции Решение Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5 Ответ: 16,5
Задание №2224
Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 40. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=21 HO=20 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 41
Задание №4012
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 17, BC=5, CD=41. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=17+41-5=53 Ответ: 53
Задание №2385
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 80, большая боковая сторона равна 36 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 2 Ответ: 2
Задание №2355
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 54+27√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=27 Ответ: 27
Задание №2618
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 354. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =354 / 6 = 59 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*59=118 Ответ: 118
Задание №2398
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 80, основание равно 96 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3072 Подствавим значения и найдём полупериметр P=128 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=3072/128=24 Ответ: 24
Задание №2503 Площадь параллелограмма ABCD равна 138. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=69 Ответ: 69
Задание №2509
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=112+30=142 Ответ: 142
Задание №3219
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 89, CD= 79 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 336 Ответ: 336
Задание №2643 Площадь треугольника АВС равна 116. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87 Ответ: 87
содержание .. 24 25 26 27 ..
|
|