Physics For Scientists And Engineers 6E - part 281

Problems

1121

Consider  a  common  mirage  formed  by  super-heated  air
just above a roadway. A truck driver whose eyes are 2.00 m
above  the  road,  where  n ! 1.000 3,  looks  forward.  She
perceives  the  illusion  of  a  patch  of  water  ahead  on  the
road,  where  her  line  of  sight  makes  an  angle  of  1.20°
below  the  horizontal.  Find  the  index  of  refraction  of  the
air just above the road surface. (Suggestion: Treat this as a
problem in total internal reflection.)

40.

An optical fiber has index of refraction n and diameter d.
It is surrounded by air. Light is sent into the fiber along its
axis,  as  shown  in  Figure  P35.40.  (a)  Find  the  smallest
outside  radius  R permitted  for  a  bend  in  the  fiber  if  no
light  is  to  escape.  (b)  What  If?  Does  the  result  for  part
(a) predict reasonable behavior as d approaches zero? As
n increases?  As  n  approaches  1?  (c)  Evaluate  R assuming
the  fiber  diameter  is  100 2m  and  its  index  of  refraction
is 1.40.

39.

41.

A  large  Lucite  cube  (n ! 1.59)  has  a  small  air  bubble
(a defect in the casting process) below one surface. When
a  penny  (diameter  1.90 cm)  is  placed  directly  over  the
bubble on the outside of the cube, the bubble cannot be
seen by looking down into the cube at any angle. However,
when a dime (diameter 1.75 cm) is placed directly over it,
the  bubble  can  be  seen  by  looking  down  into  the  cube.
What is the range of the possible depths of the air bubble
beneath the surface?

42.

A  room  contains  air  in  which  the  speed  of  sound  is
343 m/s. The walls of the room are made of concrete, in
which  the  speed  of  sound  is  1 850 m/s.  (a)  Find  the
critical  angle  for  total  internal  reflection  of  sound  at
the concrete–air boundary. (b) In which medium must the
sound  be  traveling  in  order  to  undergo  total  internal

Figure P35.35

Figure P35.38

Figure P35.40

Visible light

Measure of

dispersion

Deviation of

yellow light

Screen

R

O

Y

G

B

V

θ

µ

2.00    m

R

d

Figure 35.25.  (b)  Find  the  angle  of  deviation  3

min

for

&

1

!

48.6°. (c) What If? Find the angle of deviation if the

angle  of  incidence  on  the  first  surface  is  45.6°.  (d)  Find
the angle of deviation if &

1

!

51.6°.

A triangular glass prism with apex angle 4 ! 60.0° has an
index  of  refraction  n ! 1.50  (Fig.  P35.33).  What  is  the
smallest  angle  of  incidence  &

1

for  which  a  light  ray  can

emerge from the other side?

33.

Figure P35.33 Problems 33 and 34.

Φ

1

θ

A  triangular  glass  prism  with  apex  angle  4 has  index  of
refraction n. (See Fig. P35.33.) What is the smallest angle
of incidence &

1

for which a light ray can emerge from the

other side?

The  index  of  refraction  for  violet  light  in  silica  flint

glass  is  1.66,  and  that  for  red  light  is  1.62.  What  is  the
angular dispersion of visible light passing through a prism
of apex angle 60.0° if the angle of incidence is 50.0°? (See
Fig. P35.35.)

35.

34.

Section 35.8 Total Internal Reflection

36. For 589-nm light, calculate the critical angle for the follow-

ing  materials  surrounded  by  air:  (a)  diamond,  (b)  flint
glass, and (c) ice.

37. Repeat Problem 36 when the materials are surrounded by

water.

38.

Determine the maximum angle & for which the light rays
incident  on  the  end  of  the  pipe  in  Figure  P35.38  are
subject  to  total  internal  reflection  along  the  walls  of  the
pipe.  Assume  that  the  pipe  has  an  index  of  refraction  of
1.36 and the outside medium is air.

1122

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

reflection?  (c)  “A  bare  concrete  wall  is  a  highly  efficient
mirror  for  sound.”  Give  evidence  for  or  against  this
statement.

43.

In about 1965, engineers at the Toro Company invented a
gasoline  gauge  for  small  engines,  diagrammed  in  Figure
P35.43. The gauge has no moving parts. It consists of a flat
slab of transparent plastic fitting vertically into a slot in the
cap  on  the  gas  tank.  None  of  the  plastic  has  a  reflective
coating. The plastic projects from the horizontal top down
nearly to the bottom of the opaque tank. Its lower edge is
cut with facets making angles of 45° with the horizontal. A
lawnmower  operator  looks  down  from  above  and  sees  a
boundary  between  bright  and  dark  on  the  gauge.  The
location  of  the  boundary,  across  the  width  of  the  plastic,
indicates the quantity of gasoline in the tank. Explain how
the gauge works. Explain the design requirements, if any,
for the index of refraction of the plastic.

46.

A  light  ray  enters  the  atmosphere  of  a  planet  where  it
descends vertically to the surface a distance h below. The
index of refraction where the light enters the atmosphere
is  1.000,  and  it  increases  linearly  to  the  surface  where  it
has  the  value  n.  (a)  How  long  does  it  take  the  ray  to
traverse  this  path?  (b)  Compare  this  to  the  time  interval
required in the absence of an atmosphere.

47.

A narrow beam of light is incident from air onto the surface
of glass with index of refraction 1.56. Find the angle of inci-
dence  for  which  the  corresponding  angle  of  refraction  is
half the angle of incidence. (Suggestion: You might want to
use the trigonometric identity sin 2& ! 2 sin & cos &.)

48.

(a) Consider a horizontal interface between air above

and  glass  of  index  1.55  below.  Draw  a  light  ray  incident
from  the  air  at  angle  of  incidence  30.0°.  Determine  the
angles of the reflected and refracted rays and show them
on  the  diagram.  (b)  What  If?  Suppose  instead  that  the
light  ray  is  incident  from  the  glass  at  angle  of  incidence
30.0°. Determine the angles of the reflected and refracted
rays and show all three rays on a new diagram. (c) For rays
incident from the air onto the air–glass surface, determine
and tabulate the angles of reflection and refraction for all
the angles of incidence at 10.0° intervals from 0° to 90.0°.
(d) Do the same for light rays coming up to the interface
through the glass.

A  small  underwater  pool  light  is  1.00 m  below  the

surface. The light emerging from the water forms a circle
on the water surface. What is the diameter of this circle?

50.

One  technique  for  measuring  the  angle  of  a  prism  is
shown  in  Figure  P35.50.  A  parallel  beam  of  light  is
directed  on  the  angle  so  that  parts  of  the  beam  reflect
from  opposite  sides.  Show  that  the  angular  separation  of
the two reflected beams is given by B ! 2A.

49.

51.

The  walls  of  a  prison  cell  are  perpendicular  to  the  four
cardinal  compass  directions.  On  the  first  day  of  spring,
light  from  the  rising  Sun  enters  a  rectangular  window  in

Figure P35.45

Courtesy Edwin Lo

Figure P35.43

Figure P35.50

Section 35.9 Fermat’s Principle

44.

The shoreline of a lake runs east and west. A swimmer

gets into trouble 20.0 m out from shore and 26.0 m to the
east  of  a  lifeguard,  whose  station  is  16.0 m  in  from  the
shoreline.  The  lifeguard  takes  negligible  time  to  acceler-
ate.  He  can  run  at  7.00 m/s  and  swim  at  1.40 m/s.  To
reach the swimmer as quickly as possible, in what direction
should the lifeguard start running? You will need to solve a
transcendental equation numerically.

Additional Problems

45. Figure P35.45 shows a desk ornament globe containing a

photograph. The flat photograph is in air, inside a vertical
slot located behind a water-filled compartment having the
shape of one half of a cylinder. Suppose you are looking at
the  center  of  the  photograph  and  then  rotate  the  globe
about a vertical axis. You find that the center of the photo-
graph  disappears  when  you  rotate  the  globe  beyond  a
certain  maximum  angle  (Fig.  P35.45b).  Account  for  this
phenomenon  and  calculate  the  maximum  angle.  Briefly
describe  what  you  would  see  when  you  turn  the  globe 
beyond this angle.

A

B

θ

θ

1

1

+

(a)

(b)

Problems

1123

the eastern wall. The light traverses 2.37 m horizontally to
shine perpendicularly on the wall opposite the window. A
young prisoner observes the patch of light moving across
this  western  wall  and  for  the  first  time  forms  his  own
understanding of the rotation of the Earth. (a) With what
speed  does  the  illuminated  rectangle  move?  (b)  The
prisoner holds a small square mirror flat against the wall at
one  corner  of  the  rectangle  of  light.  The  mirror  reflects
light  back  to  a  spot  on  the  eastern  wall  close  beside  the
window.  How  fast  does  the  smaller  square  of  light  move
across  that  wall?  (c)  Seen  from  a  latitude  of  40.0° north,
the rising Sun moves through the sky along a line making
a 50.0° angle with the southeastern horizon. In what direc-
tion  does  the  rectangular  patch  of  light  on  the  western
wall of the prisoner’s cell move? (d) In what direction does
the smaller square of light on the eastern wall move?

52.

Figure P35.52 shows a top view of a square enclosure. The
inner  surfaces  are  plane  mirrors.  A  ray  of  light  enters  a
small hole in the center of one mirror. (a) At what angle &
must the ray enter in order to exit through the hole after
being  reflected  once  by  each  of  the  other  three  mirrors?
(b) What If? Are there other values of & for which the ray
can exit after multiple reflections? If so, make a sketch of
one of the ray’s paths.

56.

When light is incident normally on the interface between
two  transparent  optical  media,  the  intensity  of  the
reflected light is given by the expression

In  this  equation  S

1

represents  the  average  magnitude  of

the  Poynting  vector  in  the  incident  light  (the  incident
intensity), S+

1

is the reflected intensity, and n

1

and n

2

are

the refractive indices of the two media. (a) What fraction
of  the  incident  intensity  is  reflected  for  589-nm  light
normally incident on an interface between air and crown
glass? (b) What If? Does it matter in part (a) whether the
light is in the air or in the glass as it strikes the interface?

57.

Refer  to  Problem  56  for  its  description  of  the  reflected
intensity of light normally incident on an interface between
two transparent media. (a) When light is normally incident
on an interface between vacuum and a transparent medium
of  index  n,  show  that  the  intensity  S

2

of  the  transmitted

light  is  given  by  S

2

/S

1

!

4n/(n - 1)

2

.  (b)  Light  travels

perpendicularly through a diamond slab, surrounded by air,
with  parallel  surfaces  of  entry  and  exit.  Apply  the  trans-
mission fraction in part (a) to find the approximate overall
transmission through the slab of diamond, as a percentage.
Ignore light reflected back and forth within the slab.

58.

What  If?  This  problem  builds  upon  the  results  of
Problems 56 and 57. Light travels perpendicularly through
a  diamond  slab,  surrounded  by  air,  with  parallel  surfaces
of entry and exit. The intensity of the transmitted light is
what fraction of the incident intensity? Include the effects
of light reflected back and forth inside the slab.
The  light  beam  in  Figure  P35.59  strikes  surface  2  at  the
critical angle. Determine the angle of incidence &

1

.

59.

S+

1

!

$

n

2

#

n

1

n

2

-

n

1

%

2

  

S

 

1

Figure P35.52

Figure P35.55

Figure P35.59

θ

42.0 cm

50.0

°

3.10 mm

n  = 1.48

A  hiker  stands  on  an  isolated  mountain  peak  near  sunset
and observes a rainbow caused by water droplets in the air
8.00 km  away.  The  valley  is  2.00 km  below  the  mountain
peak and entirely flat. What fraction of the complete circular
arc of the rainbow is visible to the hiker? (See Fig. 35.24.)

54.

A 4.00-m-long pole stands vertically in a lake having a depth
of 2.00 m. The Sun is 40.0° above the horizontal. Determine
the length of the pole’s shadow on the bottom of the lake.
Take the index of refraction for water to be 1.33.

A laser beam strikes one end of a slab of material, as

shown in Figure P35.55. The index of refraction of the slab
is  1.48.  Determine  the  number  of  internal  reflections  of
the beam before it emerges from the opposite end of the
slab.

55.

53.

Surface 1

Sur

face 

2

42.0

°

60.0

°

1

θ

42.0

°

60.

Builders  use  a  leveling  instrument  with  the  beam  from  a
fixed  helium–neon  laser  reflecting  in  a  horizontal  plane
from a small flat mirror mounted on an accurately vertical
rotating shaft. The light is sufficiently bright and the rota-
tion rate is sufficiently high that the reflected light appears
as a horizontal line wherever it falls on a wall. (a) Assume
the  mirror  is  at  the  center  of  a  circular  grain  elevator  of
radius R. The mirror spins with constant angular velocity
'

m

.  Find  the  speed  of  the  spot  of  laser  light  on  the  wall.

(b)  What  If?  Assume  the  spinning  mirror  is  at  a  perpen-
dicular  distance  d from  point  O on  a  flat  vertical  wall.
When  the  spot  of  laser  light  on  the  wall  is  at  distance  x
from point O, what is its speed?

A  light  ray  of  wavelength  589 nm  is  incident  at  an

angle  & on  the  top  surface  of  a  block  of  polystyrene,  as
shown in Figure P35.61. (a) Find the maximum value of &
for which the refracted ray undergoes total internal reflec-
tion at the left vertical face of the block. What If? Repeat
the calculation for the case in which the polystyrene block
is immersed in (b) water and (c) carbon disulfide.

61.

1124

C H A P T E R   3 5 •  The Nature of Light and the Laws of Geometric Optics

Figure P35.67

Figure P35.69

Mirrored

surface

Incident ray

Exiting ray

R

d

C

n

A

′

B 

′

C 

′

t

C B A

P

d

Clear

surface

Painted

surface

66.

A material having an index of refraction n is surrounded
by  a  vacuum  and  is  in  the  shape  of  a  quarter  circle  of
radius  R (Fig.  P35.66).  A  light  ray  parallel  to  the  base  of
the material is incident from the left at a distance L above
the  base  and  emerges  from  the  material  at  the  angle  &.
Determine an expression for &.

67.

A  transparent  cylinder  of  radius  R ! 2.00 m  has  a  mir-
rored surface on its right half, as shown in Figure P35.67.
A light ray traveling in air is incident on the left side of the
cylinder.  The  incident  light  ray  and  exiting  light  ray  are
parallel  and  d ! 2.00 m.  Determine  the  index  of  refrac-
tion of the material.

Figure P35.61

θ

Figure P35.63

4.00 cm

h

Figure P35.66

Outgoing ray

θ

n

R

Incoming ray

L

62.

Refer to Quick Quiz 35.4. By how much does the duration
of  an  optical  day  exceed  that  of  a  geometric  day?  Model
the  Earth’s  atmosphere  as  uniform,  with  index  of  refrac-
tion 1.000 293, a sharply defined upper surface, and depth
8 614 m.  Assume  that  the  observer  is  at  the  Earth’s  equa-
tor, so that the apparent path of the rising and setting Sun
is perpendicular to the horizon.

A shallow glass dish is 4.00 cm wide at the bottom, as shown
in Figure P35.63. When an observer’s eye is placed as shown,
the observer sees the edge of the bottom of the empty dish.
When  this  dish  is  filled  with  water,  the  observer  sees  the
center of the bottom of the dish. Find the height of the dish.

63.

64.

A ray of light passes from air into water. For its deviation angle
3 !

#&

1

#

&

2

# to be 10.0°, what must be its angle of incidence?

Derive  the  law  of  reflection  (Eq.  35.2)  from  Fermat’s
principle.  (See  the  procedure  outlined  in  Section  35.9 
for  the  derivation  of  the  law  of  refraction  from  Fermat’s
principle.)

65.

68.

Suppose that a luminous sphere of radius R

1

(such as the

Sun) is surrounded by a uniform atmosphere of radius R

2

and index of refraction n. When the sphere is viewed from
a location far away in vacuum, what is its apparent radius?
You  will  need  to  distinguish  between  the  two  cases
(a) R

2

*

nR

1

and (b) R

2

)

nR

1

.

69.

A. H. Pfund’s method for measuring the index of refraction
of glass is illustrated in Figure P35.69. One face of a slab of
thickness t is painted white, and a small hole scraped clear at
point P serves as a source of diverging rays when the slab is