Physics For Scientists And Engineers 6E - part 265

If an AC circuit consists of a source and an inductor, the current lags behind the

voltage by 90°. That is, the voltage reaches its maximum value one quarter of a period
before the current reaches its maximum value.

If an AC circuit consists of a source and a capacitor, the current leads the voltage by

90°. That is, the current reaches its maximum value one quarter of a period before the
voltage reaches its maximum value.

In  AC  circuits  that  contain  inductors  and  capacitors,  it  is  useful  to  define  the

inductive reactance X

L

and the 

capacitive reactance X

C

as

X

L

$ #L

(33.10)

(33.18)

where  # is  the  angular  frequency  of  the  AC  source.  The  SI  unit  of  reactance  is
the ohm.

The 

impedance Z of an RLC series AC circuit is

(33.25)

This  expression  illustrates  that  we  cannot  simply  add  the  resistance  and
reactances in  a  circuit.  We  must  account  for  the  fact  that  the  applied  voltage  and
current are out of phase, with the 

phase angle - between the current and voltage

being

(33.27)

The sign of - can be positive or negative, depending on whether X

L

is greater or less

than X

C

. The phase angle is zero when X

L

"

X

C

.

The 

average power delivered by the source in an RLC circuit is

(33.31)

An equivalent expression for the average power is

(33.32)

The average power delivered by the source results in increasing internal energy in the
resistor. No power loss occurs in an ideal inductor or capacitor.

The rms current in a series RLC circuit is

(33.34)

A series RLC circuit is in resonance when the inductive reactance equals the capacitive
reactance. When this condition is met, the current given by Equation 33.34 reaches its
maximum value. The 

resonance frequency #

0

of the circuit is

(33.35)

The current in a series RLC circuit reaches its maximum value when the frequency

of the source equals #

0

—that is, when the “driving” frequency matches the resonance

frequency.

Transformers  allow  for  easy  changes  in  alternating  voltage.  Because  energy  (and

therefore power) are conserved, we can write

(33.42)

to  relate  the  currents  and  voltages  in  the  primary  and  secondary  windings  of  a
transformer.

I

 

1 

∆V

 

1

"

I

 

2 

∆V

 

2

#

 

0

"

1

√

LC

I

 

rms

"

∆V

 

rms

√

R

 

2

$

(X

L

*

X

C

)

2

!

av

"

I

2

rms

 R

!

av

"

I

 

rms

 

∆V

 

rms

 cos -

- "

tan

*

1

 

"

X

L

*

X

C

R

#

Z 

$ 

√

R

 

2

$

(X

L

*

X

C

)

2

X

C 

 

$ 

 

1

#

C

Summary

1057

1058

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

1. How can the average value of a current be zero and yet

the  square  root  of  the  average  squared  current  not  be
zero?

2. What  is  the  time  average  of  the  “square-wave”  potential

shown in Figure Q33.2? What is its rms voltage?

13. As  shown  in  Figure  7.5a,  a  person  pulls  a  vacuum

cleaner at speed v across a horizontal floor, exerting on
it  a  force  of  magnitude  F directed  upward  at  an  angle
&

with  the  horizontal.  At  what  rate  is  the  person  doing

work  on  the  cleaner?  State  as  completely  as  you  can
the analogy  between  power  in  this  situation  and  in  an
electric circuit.

14. A  particular  experiment  requires  a  beam  of  light  of  very

stable intensity. Why would an AC voltage be unsuitable for
powering the light source?

15. Do  some  research  to  answer  these  questions:  Who

invented the metal detector? Why? Did it work?

16. What  is  the  advantage  of  transmitting  power  at  high

voltages?

17. What  determines  the  maximum  voltage  that  can  be  used

on a transmission line?

Will a transformer operate if a battery is used for the input
voltage across the primary? Explain.

19. Someone  argues  that  high-voltage  power  lines  actually

waste  more  energy.  He  points  out  that  the  rate  at
which internal  energy  is  produced  in  a  wire  is  given
by (!V )

2

/R,  where  R is  the  resistance  of  the  wire.

Therefore,  the  higher  the  voltage,  the  higher  the
energy waste.  What  if  anything  is  wrong  with  his
argument?

20. Explain  how  the  quality  factor  is  related  to  the  response

characteristics  of  a  radio  receiver.  Which  variable  most
strongly influences the quality factor?

21. Why  are  the  primary  and  secondary  coils  of  a  trans-

former  wrapped  on  an  iron  core  that  passes  through
both coils?

22. With reference to Figure Q33.22, explain why the capaci-

tor prevents a DC signal from passing between A and B, yet
allows an AC signal to pass from A to B. (The circuits are
said to be capacitively coupled.)

18.

Q U E S T I O N S

Figure Q33.2

Figure Q33.22

3. Do  AC  ammeters  and  voltmeters  read  maximum,  rms,  or

average values?

4. In  the  clearest  terms  you  can,  explain  the  statement,

“The  voltage  across  an  inductor  leads  the  current
by 90°.”

5. Some fluorescent lights flicker on and off 120 times every

second.  Explain  what  causes  this.  Why  can’t  you  see  it
happening?

6. Why  does  a  capacitor  act  as  a  short  circuit  at  high

frequencies?  Why  does  it  act  as  an  open  circuit  at  low
frequencies?

7. Explain  how  the  mnemonic  “ELI  the  ICE  man”  can

be used to recall whether current leads voltage or voltage
leads  current  in  RLC circuits.  Note  that  E  represents
emf

)

.

8. Why  is  the  sum  of  the  maximum  voltages  across  each

of the  elements  in  a  series  RLC circuit  usually  greater
than the  maximum  applied  voltage?  Doesn’t  this  violate
Kirchhoff’s loop rule?
Does  the  phase  angle  depend  on  frequency?  What  is  the
phase  angle  when  the  inductive  reactance  equals  the
capacitive reactance?

10. In a series RLC circuit, what is the possible range of values

for the phase angle?

11. If  the  frequency  is  doubled  in  a  series  RLC circuit,  what

happens to the resistance, the inductive reactance, and the
capacitive reactance?

12. Explain why the average power delivered to an RLC circuit

by  the  source  depends  on  the  phase  angle  between  the
current and applied voltage.

9.

0

V

max

t

∆v

∆

Signal

C

Circuit

A

Circuit

B

Problems

1059

Section 33.1 AC Sources
Section 33.2 Resistors in an AC Circuit

1. The rms output voltage of an AC source is 200 V and the

operating  frequency  is  100 Hz.  Write  the  equation  giving
the output voltage as a function of time.

2. (a)  What  is  the  resistance  of  a  lightbulb  that  uses  an

average  power  of  75.0 W  when  connected  to  a  60.0-Hz
power  source  having  a  maximum  voltage  of  170 V?
(b) What If? What is the resistance of a 100-W bulb?

3. An  AC  power  supply  produces  a  maximum  voltage

!

V

max

"

100 V. This power supply is connected to a 24.0-(

resistor, and the current and resistor voltage are measured
with  an  ideal  AC  ammeter  and  voltmeter,  as  shown  in
Figure  P33.3.  What  does  each  meter  read?  Note  that  an
ideal  ammeter  has  zero  resistance  and  that  an  ideal
voltmeter has infinite resistance.

7. An  audio  amplifier,  represented  by  the  AC  source  and

resistor in Figure P33.7, delivers to the speaker alternating
voltage  at  audio  frequencies.  If  the  source  voltage  has
an amplitude  of  15.0 V,  R " 8.20 (,  and  the  speaker  is
equivalent  to  a  resistance  of  10.4 (,  what  is  the  time-
averaged power transferred to it?

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

Note: Assume all AC voltages and currents are sinusoidal,
unless stated otherwise.

A

V

R = 24.0 

Ω

∆V

max

 = 100 V

Figure P33.3

120 V

Lamp

1

Lamp

2

Lamp

3

Figure P33.6

Speaker

R

Figure P33.7

4. In the simple AC circuit shown in Figure 33.2, R " 70.0 (

and  !v " !V

max

sin  #t. (a)  If  !v

R

"

0.250 !V

max

for  the

first time at t " 0.010 0 s, what is the angular frequency of
the  source?  (b)  What  is  the  next  value  of  t for  which
!

v

R

"

0.250 !V

max

?

The  current  in  the  circuit  shown  in  Figure  33.2  equals
60.0%  of  the  peak  current  at  t " 7.00 ms.  What  is  the
smallest frequency of the source that gives this current?

6. Figure P33.6 shows three lamps connected to a 120-V AC

(rms)  household  supply  voltage.  Lamps  1  and  2  have
150-W  bulbs;  lamp  3  has  a  100-W  bulb.  Find  the  rms
current and resistance of each bulb.

5.

Section 33.3 Inductors in an AC Circuit

8. An  inductor  is  connected  to  a  20.0-Hz  power  supply  that

produces a 50.0-V rms voltage. What inductance is needed
to  keep  the  instantaneous  current  in  the  circuit  below
80.0 mA?
In a purely inductive AC circuit, as shown in Figure 33.6,
!

V

max

"

100 V.  (a)  The  maximum  current  is  7.50 A  at

50.0 Hz. Calculate the inductance L. (b) What If? At what
angular frequency # is the maximum current 2.50 A?

10. An  inductor  has  a  54.0-( reactance  at  60.0 Hz.  What  is

the maximum  current  if  this  inductor  is  connected  to  a
50.0-Hz source that produces a 100-V rms voltage?

For the circuit shown in Figure 33.6, !V

max

"

80.0 V,

# "

65.0% rad/s, and L " 70.0 mH. Calculate the current

in the inductor at t " 15.5 ms.

12. A  20.0-mH  inductor  is  connected  to  a  standard  electrical

outlet  (!V

rms

"

120 V;  f " 60.0 Hz).  Determine  the

energy  stored  in  the  inductor  at  t " (1/180) s,  assuming
that this energy is zero at t " 0.

13.

Review  problem.  Determine  the  maximum  magnetic  flux
through  an  inductor  connected  to  a  standard  electrical
outlet (!V

rms

"

120 V, f " 60.0 Hz).

11.

9.

1060

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

Section 33.4 Capacitors in an AC Circuit
14. (a)  For  what  frequencies  does  a  22.0-,F  capacitor  have  a

reactance  below  175 (?  (b)  What  If?  Over  this  same
frequency  range,  what  is  the  reactance  of  a  44.0-,F
capacitor?

15. What is the maximum current in a 2.20-,F capacitor when

it  is  connected  across  (a)  a  North  American  electrical
outlet  having  !V

rms

"

120 V,  f " 60.0 Hz,  and  (b) What

If?  a  European  electrical  outlet  having  !V

rms

"

240 V,

f " 50.0 Hz?

16. A capacitor C is connected to a power supply that operates

at  a  frequency  f and  produces  an  rms  voltage  !V. What
is the  maximum  charge  that  appears  on  either  of  the
capacitor plates?
What maximum current is delivered by an AC source with
!

V

max

"

48.0 V and f " 90.0 Hz when connected across a

3.70-,F capacitor?

18. A  1.00-mF  capacitor  is  connected  to  a  standard  electrical

outlet  (!V

rms

"

120 V;  f " 60.0 Hz).  Determine  the

current in the capacitor at t " (1/180) s, assuming that at
t " 0, the energy stored in the capacitor is zero.

Section 33.5 The RLC Series Circuit

An  inductor  (L " 400 mH),  a  capacitor  (C " 4.43 ,F),
and  a  resistor  (R " 500 ()  are  connected  in  series.  A
50.0-Hz AC source produces a peak current of 250 mA in
the circuit. (a) Calculate the required peak voltage !V

max

.

(b) Determine the phase angle by which the current leads
or lags the applied voltage.

20. At what frequency does the inductive reactance of a 57.0-,H

inductor  equal  the  capacitive  reactance  of  a  57.0-,F
capacitor?

21. A  series  AC  circuit  contains  the  following  components: 

R " 150 (,  L " 250 mH,  C " 2.00 ,F  and  a  source
with !V

max

"

210 V  operating  at  50.0 Hz.  Calculate

the (a)  inductive  reactance,  (b)  capacitive  reactance,
(c) impedance,  (d)  maximum  current,  and  (e)  phase
angle between current and source voltage.

22. A sinusoidal voltage !v(t) " (40.0 V) sin(100t) is applied

to a series RLC circuit with L " 160 mH, C " 99.0 ,F, and
R " 68.0 (.  (a)  What  is  the  impedance  of  the  circuit?
(b) What  is  the  maximum  current?  (c)  Determine  the
numerical  values  for  I

max

, #,  and  - in  the  equation

i(t) " I

max

sin(#t * -).

An RLC circuit consists of a 150-( resistor, a 21.0-,F

capacitor, and a 460-mH inductor, connected in series with
a 120-V, 60.0-Hz power supply. (a) What is the phase angle
between  the  current  and  the  applied  voltage?  (b)  Which
reaches its maximum earlier, the current or the voltage?

24.

Four circuit elements—a capacitor, an inductor, a resistor,
and  an  AC  source—are  connected  together  in  various
ways.  First  the  capacitor  is  connected  to  the  source,  and
the  rms  current  is  found  to  be  25.1 mA.  The  capacitor
is disconnected  and  discharged,  and  then  connected  in
series  with  the  resistor  and  the  source,  making  the  rms
current  15.7 mA.  The  circuit  is  disconnected  and  the
capacitor  discharged.  The  capacitor  is  then  connected  in

23.

19.

17.

series  with  the  inductor  and  the  source,  making  the  rms
current 68.2 mA. After the circuit is disconnected and the
capacitor  discharged,  all  four  circuit  elements  are
connected  together  in  a  series  loop.  What  is  the  rms
current in the circuit?

25.

A person is working near the secondary of a transformer,
as shown in Figure P33.25. The primary voltage is 120 V at
60.0 Hz. The capacitance C

s

, which is the stray capacitance

between  the  hand  and  the  secondary  winding,  is  20.0 pF.
Assuming  the  person  has  a  body  resistance  to  ground 
R

b

"

50.0 k(, determine the rms voltage across the body.

(Suggestion: Redraw  the  circuit  with  the  secondary  of  the
transformer as a simple AC source.)

Figure P33.25

Figure P33.26 Problems 26 and 68.

R

b

C

s

5 000 V

 

µ

a

d

c

b

40.0 

Ω

185 mH

65.0  

  F

26. An  AC  source  with  !V

max

"

150 V  and  f " 50.0 Hz  is

connected  between  points  a and  d in  Figure  P33.26.
Calculate the maximum voltages between points (a) a and
b, (b) b and c, (c) c and d, and (d) b and d.

27. Draw to scale a phasor diagram showing Z, X

L

, X

C

, and -

for an AC series circuit for which R " 300 (, C " 11.0 ,F,
L " 0.200 H, and f " (500/%) Hz.

28.

In an RLC series circuit that includes a source of alternat-
ing current operating at fixed frequency and voltage, the
resistance R is equal to the inductive reactance. If the plate
separation of the capacitor is reduced to half of its original
value,  the  current  in  the  circuit  doubles.  Find  the  initial
capacitive reactance in terms of R. 

29. A coil of resistance 35.0 ( and inductance 20.5 H is in series

with a capacitor and a 200-V (rms), 100-Hz source. The rms
current  in  the  circuit  is  4.00 A.  (a)  Calculate  the  capaci-
tance in the circuit. (b) What is !V

rms

across the coil?

Section 33.6 Power in an AC Circuit
30. The  voltage  source  in  Figure  P33.30  has  an  output  of 

!

V

rms

"

100 V at an angular frequency of # " 1 000 rad/s.

Determine (a) the current in the circuit and (b) the power
supplied by the source. (c) Show that the power delivered
to the resistor is equal to the power supplied by the source.