Physics For Scientists And Engineers 6E - part 263

S E C T I O N   3 3 . 7 •  Resonance in a Series RLC Circuit

1049

Quick  Quiz  33.8

An  AC  source  drives  an  RLC circuit  with  a  fixed  voltage

amplitude. If the driving frequency is #

1

, the circuit is more capacitive than inductive

and  the  phase  angle  is  * 10°.  If  the  driving  frequency  is  #

2

,  the  circuit  is  more

inductive than capacitive and the phase angle is $ 10°. The largest amount of power is
delivered to the circuit at (a) #

1

(b) #

2

(c) The same amount of power is delivered at

both frequencies.

33.7 Resonance in a Series RLC Circuit

A  series  RLC circuit  is  said  to  be 

in  resonance when  the  current  has  its  maximum

value. In general, the rms current can be written

(33.33)

where Z is the impedance. Substituting the expression for Z from Equation 33.25 into
33.33 gives

(33.34)

Because  the  impedance  depends  on  the  frequency  of  the  source,  the  current  in  the
RLC circuit also depends on the frequency. The frequency #

0

at which X

L

*

X

C

"

0 is

called  the 

resonance  frequency of  the  circuit.  To  find  #

0

,  we  use  the  condition

X

L

"

X

C

, from which we obtain #

0

L " 1/#

0

C, or

(33.35)

This frequency also corresponds to the natural frequency of oscillation of an LC circuit
(see Section 32.5). Therefore, the current in a series RLC circuit reaches its maximum
value  when  the  frequency  of  the  applied  voltage  matches  the  natural  oscillator

#

0

"

1

√

LC

I

 

rms

"

∆V

 

rms

√

R

 

2

$

(X

L

*

X

C

)

2

I

 

rms

"

∆V

 

rms

Z

Equation  33.31  shows  that  the  power  delivered  by  an  AC  source  to  any  circuit

depends on the phase—a result that has many interesting applications. For example,
a factory that uses large motors in machines, generators, or transformers has a large
inductive  load  (because  of  all  the  windings).  To  deliver  greater  power  to  such
devices in  the  factory  without  using  excessively  high  voltages,  technicians  introduce
capacitance in the circuits to shift the phase.

Calculate  the  average  power  delivered  to  the  series  RLC
circuit described in Example 33.5.

Solution First,  let  us  calculate  the  rms  voltage  and  rms
current, using the values of !V

max

and I

max

from Example

33.5:

I

 

rms

"

I

 

max

√

2

"

0.292 A

√

2

"

0.206 A

!

V

 

rms

"

!

V

 

max

√

2

"

150 V

√

2

"

106 V

Example 33.6 Average Power in an RLC Series Circuit

Because  - " * 34.0°,  the  power  factor  is  cos (* 34.0°) "
0.829; hence, the average power delivered is

!

av

"

I

rms

!

V

rms

cos - " (0.206 A)(106 V)(0.829)

"

We can obtain the same result using Equation 33.32.

18.1 W

Resonance frequency

A  plot  of  rms  current  versus  frequency  for  a  series  RLC circuit  is  shown  in  Figure
33.19a.  The  data  assume  a  constant  !V

rms

"

5.0 mV,  that  L " 5.0 ,H,  and  that

C " 2.0 nF. The three curves correspond to three values of R. In each case, the current
reaches  its  maximum  value  at  the  resonance  frequency  #

0

.  Furthermore,  the  curves

become narrower and taller as the resistance decreases.

By  inspecting  Equation  33.34,  we  must  conclude  that,  when  R " 0,  the  current

becomes  infinite  at  resonance.  However,  real  circuits  always  have  some  resistance,
which limits the value of the current to some finite value.

It is also interesting to calculate the average power as a function of frequency for a

series RLC circuit. Using Equations 33.32, 33.33, and 33.25, we find that

(33.36)

Because X

L

"

#

L, X

C

"

1/#C, and #

0

2

"

1/LC, we can express the term (X

L

*

X

C

)

2

as

Using this result in Equation 33.36 gives

(33.37)

This  expression  shows  that 

at  resonance,  when  ! " !

0

,  the  average  power  is  a

maximum and  has  the  value  (!V

rms

)

2

/R.  Figure  33.19b  is  a  plot  of  average  power

!

av

"

(

∆V

rms

)

2

 R#

2

R

 

2

#

2

$

L

2

(#

 

2

*

#

0

2 

 

)

2

(X

L

*

X

C

)

2

"

"

#

L *

1

#

C

#

2

"

 

L

2

#

2

 

(#

2

*

#

2

0

)

2

!

av

"

I

 

2

rms

 R "

(

∆V

rms

)

2

Z

 

2

 R "

(

∆V

rms

)

2 

R

R

 

2

$

(X

L

*

X

C

)

2

1050

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

Average power as a function of

frequency in an RLC circuit

frequency—which  depends  only  on  L and  C.  Furthermore,  at  this  frequency  the
current is in phase with the applied voltage.

Quick  Quiz  33.9

The  impedance  of  a  series  RLC circuit  at  resonance  is

(a) larger than R (b) less than R (c) equal to R (d) impossible to determine.

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

9

10

11

12

7

6

5

4

3

2

1

9

10

11

12

8

 (Mrad/s)

I

rms 

(mA)

av 

(

µ

W)

µ

!

0

ω

(Mrad/s)

ω

ω

ω

0

(a)

(b)

L      = 5.0 

µ

H

C      = 2.0 nF

∆V

rms

 = 5.0 mV

ω

0

    =  1.0 

× 10

7

 rad/s

µ

ω

L      = 5.0 

  

H

C      = 2.0 nF

∆V

rms

 = 5.0 mV

  

0

    =  1.0 

× 10

7

 rad/s

µ

ω

R = 3.5 

Ω

R = 5 

Ω

R = 10 

Ω

R = 10 

Ω

R = 3.5 

Ω

∆

ω

Active Figure 33.19 (a) The rms current versus frequency for a series RLC circuit, for

three values of R. The current reaches its maximum value at the resonance frequency

#

0

. (b) Average power delivered to the circuit versus frequency for the series RLC

circuit, for two values of R.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the resistance, the

inductance, and the

capacitance of the circuit in

Figure 33.13a. You can then

determine the current and

power for a given frequency or

sweep through the frequencies

to generate resonance curves.

versus frequency for two values of R in a series RLC circuit. As the resistance is made
smaller,  the  curve  becomes  sharper  in  the  vicinity  of  the  resonance  frequency.  This
curve  sharpness  is  usually  described  by  a  dimensionless  parameter  known  as  the
quality factor,

3

denoted by Q:

where !# is the width of the curve measured between the two values of # for which !

av

has  half  its  maximum  value,  called  the  half-power  points (see  Fig.  33.19b.)  It  is  left  as
a problem (Problem 72) to show that the width at the half-power points has the value
!

# "

R/L, so

(33.38)

The  curves  plotted  in  Figure  33.20  show  that  a  high-Q circuit  responds  to  only  a

very narrow range of frequencies, whereas a low-Q circuit can detect a much broader
range of frequencies. Typical values of Q in electronic circuits range from 10 to 100.

The  receiving  circuit  of  a  radio  is  an  important  application  of  a  resonant  circuit.

One tunes the radio to a particular station (which transmits an electromagnetic wave
or signal of a specific frequency) by varying a capacitor, which changes the resonance
frequency  of  the  receiving  circuit.  When  the  resonance  frequency  of  the  circuit
matches  that  of  the  incoming  electromagnetic  wave,  the  current  in  the  receiving
circuit increases. This signal caused by the incoming wave is then amplified and fed to
a  speaker.  Because  many  signals  are  often  present  over  a  range  of  frequencies,  it  is
important  to  design  a  high-Q circuit  to  eliminate  unwanted  signals.  In  this  manner,
stations  whose  frequencies  are  near  but  not  equal  to  the  resonance  frequency  give
signals at the receiver that are negligibly small relative to the signal that matches the
resonance frequency.

Q "

#

0

L

R

Q "

#

0

∆#

S E C T I O N   3 3 . 7 •  Resonance in a Series RLC Circuit

1051

Consider  a  series  RLC circuit  for  which  R " 150  (,  L "
20.0 mH,  !V

rms

"

20.0 V,  and  # " 5 000 s

*

1

.  Determine

the value  of  the  capacitance  for  which  the  current  is  a
maximum.

Solution The  current  has  its  maximum  value  at  the  reso-
nance  frequency  #

0

,  which  should  be  made  to  match  the

“driving” frequency of 5 000 s

*

1

:

2.00 ,F

"

C "

1

#

0

2

L

"

1

(5.00 + 10

3

 s

*

1

)

2

(20.0 + 10

*

3

 H)

#

0

"

5.00 + 10

3

 s

*

1

"

1

√

LC

Example 33.7 A Resonating Series RLC Circuit

Interactive

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can explore resonance in an RLC circuit.

Quality factor

3

The  quality  factor  is  also  defined  as  the  ratio  2

%

E/!E where  E is  the  energy  stored  in  the

oscillating system and !E is the energy decrease per cycle of oscillation due to the resistance.

Small R,

high Q

Large R,

low Q

∆

ω

ω

ω

0

ω

ω

!

av

Figure 33.20 Average power

versus frequency for a series RLC

circuit. The width !

#

of each curve

is measured between the two points

where the power is half its

maximum value. The power is a

maximum at the resonance

frequency 

#

0

.

Quick Quiz 33.10

An airport metal detector (see page 1003) is essentially

a resonant  circuit.  The  portal  you  step  through  is  an  inductor  (a  large  loop  of
conducting  wire)  within  the  circuit.  The  frequency  of  the  circuit  is  tuned  to  its
resonance frequency when there is no metal in the inductor. Any metal on your body
increases the effective inductance of the loop and changes the current in it. If you want
the detector to detect a small metallic object, should the circuit have (a) a high quality
factor or (b) a low quality factor?

33.8 The Transformer and Power Transmission

As discussed in Section 27.6, when electric power is transmitted over great distances, it
is economical to use a high voltage and a low current to minimize the I

2

R loss in the

transmission  lines.  Consequently,  350-kV  lines  are  common,  and  in  many  areas  even
higher-voltage  (765-kV)  lines  are  used.  At  the  receiving  end  of  such  lines,  the
consumer  requires  power  at  a  low  voltage  (for  safety  and  for  efficiency  in  design).
Therefore,  a  device  is  required  that  can  change  the  alternating  voltage  and  current
without  causing  appreciable  changes  in  the  power  delivered.  The  AC  transformer  is
that device.

In  its  simplest  form,  the 

AC  transformer consists  of  two  coils  of  wire  wound

around  a  core  of  iron,  as  illustrated  in  Figure  33.21.  (Compare  this  to  Faraday’s
experiment  in  Figure  31.2.)  The  coil  on  the  left,  which  is  connected  to  the  input
alternating  voltage  source  and  has  N

1

turns,  is  called  the  primary  winding (or  the

primary). The coil on the right, consisting of N

2

turns and connected to a load resistor

R, is called the secondary winding (or the secondary). The purpose of the iron core is to
increase the magnetic flux through the coil and to provide a medium in which nearly
all the magnetic field lines through one coil pass through the other coil. Eddy-current
losses are reduced by using a laminated core. Iron is used as the core material because
it is a soft ferromagnetic substance and hence reduces hysteresis losses. Transformation
of  energy  to  internal  energy  in  the  finite  resistance  of  the  coil  wires  is  usually  quite
small. Typical transformers have power efficiencies from 90% to 99%. In the discussion
that  follows,  we  assume  an  ideal  transformer,  one  in  which  the  energy  losses  in  the
windings and core are zero.

First,  let  us  consider  what  happens  in  the  primary  circuit.  If  we  assume  that

the resistance  of  the  primary  is  negligible  relative  to  its  inductive  reactance,  then
the  primary  circuit  is  equivalent  to  a  simple  circuit  consisting  of  an  inductor
connected to an AC source. Because the current is 90° out of phase with the voltage,
the  power  factor  cos  - is  zero,  and  hence  the  average  power  delivered  from  the
source to the primary circuit is zero. Faraday’s law states that the voltage !V

1

across

the primary is

(33.39)

where  0

B

is  the  magnetic  flux  through  each  turn.  If  we  assume  that  all  magnetic

field lines  remain  within  the  iron  core,  the  flux  through  each  turn  of  the  primary
equals  the  flux  through  each  turn  of  the  secondary.  Hence,  the  voltage  across  the
secondary is

(33.40)

Solving Equation 33.39 for d0

B

/dt and substituting the result into Equation 33.40, we

find that

(33.41)

When N

2

'

N

1

, the output voltage !V

2

exceeds the input voltage !V

1

. This setup is

referred to as a step-up transformer. When N

2

.

N

1

, the output voltage is less than the

input voltage, and we have a step-down transformer.

When the switch in the secondary circuit is closed, a current I

2

is induced in the

secondary.  If  the  load  in  the  secondary  circuit  is  a  pure  resistance,  the  induced
current is in phase with the induced voltage. The power supplied to the secondary
circuit  must be  provided  by  the  AC  source  connected  to  the  primary  circuit,  as
shown in Figure 33.22. In an ideal transformer, where there are no losses, the power

∆V

 

2

"

N

 

2

N

 

1

 

 

!

V

 

1

∆V

 

2

" *

N

 

2

 

d

 

0

B

dt

∆V

 

1

" *

N

 

1

 

d

 

0

B

dt

1052

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

Soft iron

S

R

Secondary

(output)

Primary

(input)

∆V

1

N

1

N

2

Figure 33.21 An ideal transformer

consists of two coils wound on the

same iron core. An alternating

voltage !V

1

is applied to the

primary coil, and the output

voltage !V

2

is across the resistor of

resistance R.

N

1

N

2

∆V

1

I

1

I

2

R

L

∆V

2

Figure 33.22 Circuit diagram for a

transformer.