Physics For Scientists And Engineers 6E - part 37

Problems

145

(b) Determine the tension T and the magnitude of the ac-
celeration of the system.

46.

A  block  of  mass  3.00  kg  is  pushed  up  against  a  wall  by  a
force  P that  makes  a  50.0° angle  with  the  horizontal  as
shown in Figure P5.46. The coefficient of static friction be-
tween the block and the wall is 0.250. Determine the possi-
ble values for the magnitude of  P that allow the block to
remain stationary.

value of F will move the block up the plane with constant
velocity?

50.

Review problem. One side of the roof of a building slopes
up  at  37.0°.  A  student  throws  a  Frisbee  onto  the  roof.  It
strikes with a speed of 15.0 m/s and does not bounce, but
slides  straight  up  the  incline.  The  coefficient  of  kinetic
friction between the plastic and the roof is 0.400. The Fris-
bee slides 10.0 m up the roof to its peak, where it goes into
free fall, following a parabolic trajectory with negligible air
resistance.  Determine  the  maximum  height  the  Frisbee
reaches above the point where it struck the roof.

Additional Problems

An inventive child named Pat wants to reach an apple in a
tree without climbing the tree. Sitting in a chair connected
to a rope that passes over a frictionless pulley (Fig. P5.51),
Pat  pulls  on  the  loose  end  of  the  rope  with  such  a  force
that the spring scale reads 250 N. Pat’s true weight is 320
N,  and  the  chair  weighs  160 N.  (a)  Draw  free-body  dia-
grams for Pat and the chair considered as separate systems,
and another diagram for Pat and the chair considered as
one system. (b) Show that the acceleration of the system is
upward and find its magnitude. (c) Find the force Pat ex-
erts on the chair.

51.

F

m

2

T

m

1

Figure P5.45

P

50.0

°

Figure P5.46

Figure P5.48

47.

You  and  your  friend  go  sledding.  Out  of  curiosity,  you
measure  the  constant  angle  ! that  the  snow-covered
slope  makes  with  the  horizontal.  Next,  you  use  the  fol-
lowing  method  to  determine  the  coefficient  of  friction
-

k

between  the  snow  and  the  sled.  You  give  the  sled  a

quick push up so that it will slide up the slope away from
you.  You  wait  for  it  to  slide  back  down,  timing  the  mo-
tion. It turns out that the sled takes twice as long to slide
down as it does to reach the top point in the round trip.
In terms of !, what is the coefficient of friction?

48.

The  board  sandwiched  between  two  other  boards  in
Figure  P5.48  weighs  95.5 N.  If  the  coefficient  of  friction
between the boards is 0.663, what must be the magnitude
of the compression forces (assume horizontal) acting on
both sides of the center board to keep it from slipping?

49.

A block weighing 75.0 N rests on a plane inclined at 25.0°
to the horizontal. A force F is applied to the object at 40.0°
to the horizontal, pushing it upward on the plane. The co-
efficients  of  static  and  kinetic  friction  between  the  block
and the plane are, respectively, 0.363 and 0.156. (a) What
is the minimum value of F that will prevent the block from
slipping down the plane? (b) What is the minimum value
of F that will start the block moving up the plane? (c) What

52.

A time-dependent force, F " (8.00ˆi # 4.00tˆj) N, where t is
in  seconds,  is  exerted  on  a  2.00-kg  object  initially  at  rest.
(a) At what time will the object be moving with a speed of
15.0 m/s? (b) How far is the object from its initial position
when  its  speed  is  15.0 m/s?  (c)  Through  what  total  dis-
placement has the object traveled at this time?

53.

To  prevent  a  box  from  sliding  down  an  inclined  plane,
student A pushes on the box in the direction parallel to
the incline, just hard enough to hold the box stationary.
In  an  identical  situation  student  B  pushes  on  the  box
horizontally. Regard as known the mass m of the box, the
coefficient of static friction -

s

between box and incline,

and  the  inclination  angle  !.  (a)  Determine  the  force  A

Figure P5.51

146

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

An  object  of  mass  M is  held  in  place  by  an  applied

force F and a pulley system as shown in Figure P5.55. The
pulleys  are  massless  and  frictionless.  Find  (a)  the  tension
in each section of rope, T

1

, T

2

, T

3

, T

4

, and T

5

and (b) the

magnitude  of  F.  Suggestion: Draw  a  free-body  diagram  for
each pulley.

55.

59.

A 1.30-kg toaster is not plugged in. The coefficient of static
friction between the toaster and a horizontal countertop is
0.350. To make the toaster start moving, you carelessly pull
on its electric cord. (a) For the cord tension to be as small
as possible, you should pull at what angle above the hori-
zontal? (b) With this angle, how large must the tension be?

60.

Materials  such  as  automobile  tire  rubber  and  shoe  soles
are tested for coefficients of static friction with an appara-
tus called a James tester. The pair of surfaces for which -

s

is  to  be  measured  are  labeled  B  and  C  in  Figure  P5.60.
Sample C is attached to a foot D at the lower end of a piv-
oting arm E, which makes angle ! with the vertical. The
upper end of the arm is hinged at F to a vertical rod G,
which slides freely in a guide H fixed to the frame of the
apparatus  and  supports  a  load  I  of  mass  36.4 kg.  The
hinge pin at F is also the axle of a wheel that can roll ver-
tically on the frame. All of the moving parts have masses
negligible  in  comparison  to  the  36.4-kg  load.  The  pivots
are nearly frictionless. The test surface B is attached to a

T

4

T

1

T

2

T

3

T

5

F

M

Figure P5.55

m

θ

h

H

R

Figure P5.58 Problems 58 and 70.

m

1

m

2

m

3

F

Figure P5.54

has  to  exert.  (b)  Determine  the  force  B  has  to  exert. 
(c) If m " 2.00 kg, ! " 25.0°, and -

s

"

0.160, who has the

easier job? (d) What if -

s

"

0.380? Whose job is easier?

54.

Three  blocks  are  in  contact  with  each  other  on  a  fric-
tionless,  horizontal  surface,  as  in  Figure  P5.54.  A  hori-
zontal force F is applied to m

1

. Take m

1

"

2.00 kg, m

2

"

3.00  kg,  m

3

"

4.00  kg,  and  F " 18.0  N.  Draw  a  separate

free-body diagram for each block and find (a) the accel-
eration  of  the  blocks,  (b)  the  resultant force  on  each
block,  and  (c) the  magnitudes  of  the  contact  forces  be-
tween the blocks. (d) You are working on a construction
project.  A  coworker  is  nailing  up  plasterboard  on  one
side  of  a  light  partition,  and  you  are  on  the  opposite
side, providing “backing” by leaning against the wall with
your  back  pushing  on  it.  Every  blow  makes  your  back
sting.  The  supervisor  helps  you  to  put  a  heavy  block  of
wood  between  the  wall  and  your  back.  Using  the  situa-
tion  analyzed  in  parts  (a),  (b),  and  (c)  as  a  model,  ex-
plain how this works to make your job more comfortable.

56. A  high  diver  of  mass  70.0  kg  jumps  off  a  board  10.0  m

above the water. If his downward motion is stopped 2.00 s
after  he  enters  the  water,  what  average  upward  force  did
the water exert on him?

57.

A crate of weight F

g

is pushed by a force P on a horizon-

tal floor. (a) If the coefficient of static friction is -

s

and P

is directed at angle ! below the horizontal, show that the
minimum value of P that will move the crate is given by

(b) Find the minimum value of P that can produce motion
when  -

s

"

0.400,  F

g

"

100 N,  and  ! " 0°,  15.0°,  30.0°,

45.0°, and 60.0°.

58.

Review problem. A block of mass m " 2.00 kg is released
from  rest  at  h " 0.500  m  above  the  surface  of  a  table,  at
the  top  of  a  ! " 30.0° incline  as  shown  in  Figure  P5.58.
The  frictionless  incline  is  fixed  on  a  table  of  height
H " 2.00 m.  (a)  Determine  the  acceleration  of  the  block
as it slides down the incline. (b) What is the velocity of the
block  as  it  leaves  the  incline?  (c)  How  far  from  the  table
will  the  block  hit  the  floor?  (d)  How  much  time  has
elapsed  between  when  the  block  is  released  and  when  it
hits the floor? (e) Does the mass of the block affect any of
the above calculations?

P "

-

s

  

F

g

 

 

sec

 

!

1#-

s

 

tan

 

!

Problems

147

What  horizontal  force  must  be  applied  to  the  cart  shown
in Figure P5.61 in order that the blocks remain stationary
relative to the cart? Assume all surfaces, wheels, and pulley
are  frictionless.  (Hint: Note  that  the  force  exerted  by  the
string accelerates m

1

.)

61.

62.

A student is asked to measure the acceleration of a cart

on a “frictionless” inclined plane as in Figure 5.11, using an
air track, a stopwatch, and a meter stick. The height of the
incline is measured to be 1.774 cm, and the total length of
the  incline  is  measured  to  be  d " 127.1 cm.  Hence,  the
angle  of  inclination  ! is  determined  from  the  relation

I

θ

H

G

F

E

C

A

D

B

Figure P5.60

m

1

m

2

F

M

Figure P5.61 Problems 61 and 63.

rolling  platform  A.  The  operator  slowly  moves  the  plat-
form  to  the  left  in  the  picture  until  the  sample  C  sud-
denly slips over surface B. At the critical point where slid-
ing  motion  is  ready  to  begin,  the  operator  notes  the
angle  !

s

of  the  pivoting  arm.  (a)  Make  a  free-body  dia-

gram  of  the  pin  at  F.  It  is  in  equilibrium  under  three
forces.  These  forces  are  the  gravitational  force  on  the
load  I,  a  horizontal  normal  force  exerted  by  the  frame,
and  a  force  of  compression  directed  upward  along  the
arm  E.  (b)  Draw  a  free-body  diagram  of  the  foot  D  and
sample  C,  considered  as  one  system.  (c)  Determine  the
normal force that the test surface B exerts on the sample
for any angle !. (d) Show that -

s

"

tan !

s

. (e) The pro-

tractor on the tester can record angles as large as 50.2°.
What is the greatest coefficient of friction it can measure?

sin ! " 1.774/127.1.  The  cart  is  released  from  rest  at  the
top  of  the  incline,  and  its  position  x  along  the  incline  is
measured as a function of time, where x " 0 refers to the
initial position of the cart. For x values of 10.0 cm, 20.0 cm,
35.0 cm,  50.0 cm,  75.0 cm,  and  100 cm,  the  measured
times at which these positions are reached (averaged over
five runs) are 1.02 s, 1.53 s, 2.01 s, 2.64 s, 3.30 s, and 3.75 s,
respectively. Construct a graph of x versus t

2

, and perform a

linear least-squares fit to the data. Determine the accelera-
tion of the cart from the slope of this graph, and compare
it  with  the  value  you  would  get  using  a( " g sin !,  where 
g " 9.80 m/s

2

.

63.

Initially the system of objects shown in Figure P5.61 is held
motionless. All surfaces, pulley, and wheels are frictionless.
Let the force F be zero and assume that m

2

can move only

vertically.  At  the  instant  after  the  system  of  objects  is  re-
leased, find (a) the tension T in the string, (b) the acceler-
ation of m

2

, (c) the acceleration of M, and (d) the acceler-

ation  of  m

1

.  (Note : The  pulley  accelerates  along  with  the

cart.)

64.

One block of mass 5.00 kg sits on top of a second rectan-
gular block of mass 15.0 kg, which in turn is on a horizon-
tal  table.  The  coefficients  of  friction  between  the  two
blocks are -

s

"

0.300 and -

k

"

0.100. The coefficients of

friction between the lower block and the rough table are
-

s

"

0.500 and -

k

"

0.400. You apply a constant horizon-

tal force to the lower block, just large enough to make this
block start sliding out from between the upper block and
the  table.  (a)  Draw  a  free-body  diagram  of  each  block,
naming the forces on each. (b) Determine the magnitude
of each force on each block at the instant when you have
started pushing but motion has not yet started. In particu-
lar, what force must you apply? (c) Determine the accelera-
tion you measure for each block.

65.

A  1.00-kg  glider  on  a  horizontal  air  track  is  pulled  by  a
string at an angle !. The taut string runs over a pulley and
is attached to a hanging object of mass 0.500 kg as in Fig.
P5.65.  (a)  Show  that  the  speed  v

x

of  the  glider  and  the

h

0

v

x

θ

v

y

z

m

Figure P5.65

148

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

speed v

y

of  the  hanging  object  are  related  by  v

x

"

uv

y

,

where  u " z(z

2

#

h

0

2

)

#

1/2

.  (b)  The  glider  is  released

from rest. Show that at that instant the acceleration a

x

of

the  glider  and  the  acceleration  a

y

of  the  hanging  object

are related by a

x

"

ua

y

. (c) Find the tension in the string

at the instant the glider is released for h

0

"

80.0 cm and 

! "

30.0°.

66.

Cam mechanisms are used in many machines. For exam-
ple, cams open and close the valves in your car engine to
admit  gasoline  vapor  to  each  cylinder  and  to  allow  the
escape  of  exhaust.  The  principle  is  illustrated  in  Figure
P5.66, showing a follower rod (also called a pushrod) of
mass m resting on a wedge of mass M. The sliding wedge
duplicates the function of a rotating eccentric disk on a
camshaft in your car. Assume that there is no friction be-
tween the wedge and the base, between the pushrod and
the  wedge,  or  between  the  rod  and  the  guide  through
which it slides. When the wedge is pushed to the left by
the force F, the rod moves upward and does something,
such  as  opening  a  valve.  By  varying  the  shape  of  the
wedge,  the  motion  of  the  follower  rod  could  be  made
quite complex, but assume that the wedge makes a con-
stant  angle  of  ! " 15.0°.  Suppose  you  want  the  wedge
and the rod to start from rest and move with constant ac-
celeration,  with  the  rod  moving  upward  1.00  mm  in
8.00 ms.  Take  m " 0.250 kg  and  M " 0.500 kg.  What
force F must be applied to the wedge?

67.

Any device that allows you to increase the force you ex-
ert is a kind of machine. Some machines, such as the pry-
bar  or  the  inclined  plane,  are  very  simple.  Some  ma-
chines  do  not  even  look  like  machines.  An  example  is
the following: Your car is stuck in the mud, and you can’t
pull hard enough to get it out. However, you have a long
cable  which  you  connect  taut  between  your  front
bumper and the trunk of a stout tree. You now pull side-
ways on the cable at its midpoint, exerting a force f. Each
half  of  the  cable  is  displaced  through  a  small  angle  !
from  the  straight  line  between  the  ends  of  the  cable.
(a) Deduce  an  expression  for  the  force  exerted  on  the
car.  (b)  Evaluate  the  cable  tension  for  the  case  where
! "

7.00° and f " 100 N.

A van accelerates down a hill (Fig. P5.69), going from rest
to 30.0 m/s in 6.00 s. During the acceleration, a toy (m "
0.100 kg) hangs by a string from the van’s ceiling. The ac-
celeration is such that the string remains perpendicular to
the ceiling. Determine (a) the angle ! and (b) the tension
in the string.

69.

F

m

θ

M

Figure P5.66

θ

θ

Figure P5.69

3.50 kg

8.00 kg

35.0

°

35.0

°

Figure P5.68

68.

Two blocks of mass 3.50 kg and 8.00 kg are connected by a
massless  string  that  passes  over  a  frictionless  pulley  (Fig.
P5.68).  The  inclines  are  frictionless.  Find  (a)  the  magni-
tude of the acceleration of each block and (b) the tension
in the string.

70.

In Figure P5.58 the incline has mass M and is fastened to
the stationary horizontal tabletop. The block of mass m is
placed near the bottom of the incline and is released with
a quick push that sets it sliding upward. It stops near the
top of the incline, as shown in the figure, and then slides
down again, always without friction. Find the force that the
tabletop exerts on the incline throughout this motion.

71.

A magician pulls a tablecloth from under a 200-g mug lo-
cated 30.0 cm from the edge of the cloth. The cloth exerts
a  friction  force  of  0.100 N  on  the  mug,  and  the  cloth  is
pulled with a constant acceleration of 3.00 m/s

2

. How far

does the mug move relative to the horizontal tabletop be-
fore the cloth is completely out from under it? Note that
the cloth must move more than 30 cm relative to the table-
top during the process.

72.

An 8.40-kg object slides down a fixed, frictionless in-

clined plane. Use a computer to determine and tabulate
the normal force exerted on the object and its accelera-
tion  for  a  series  of  incline  angles  (measured  from  the
horizontal) ranging from 0° to 90° in 5° increments. Plot
a  graph  of  the  normal  force  and  the  acceleration  as
functions of the incline angle. In the limiting cases of 0°
and  90°,  are  your  results  consistent  with  the  known  be-
havior?