Моделирование систем пособие по выполнению курсовой работы для студентов III

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МАМИ»

Е.Г. Мурачев

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

ПОСОБИЕ

по выполнению курсовой работы

для студентов III курса

специальности 230101

дневного отделения

Москва – 2009

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МАМИ»

Кафедра автоматики и процессов управления

Е.Г.Мурачев

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

ПОСОБИЕ

по выполнению курсовой работы

для студентов III курса

специальности 230101

дневного обучения

Москва – 2009

ВВЕДЕНИЕ

по дисциплине «Моделирование систем» выполняется студентами специальности 230101 в 7 семестре. В рамках курсовой работы должно быть произведено исследование объекта с целью определения оптимального режима функционирования. Лри выполнении курсовой работы используются знания, полученные студентами при изучении дисциплины «Моделирование систем», а также дисциплин "Информатика", "Алгоритмические языки и программирование".

1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

1.1 Целью курсового проектирования является приобретение
практических навыков по постановке пассивного и активного экспериментов,методов обработки экспериментальных данных, определение математической модели в виде уравнения регрессии, поиска оптимального решения с помощью одного из методов оптимизации.

1.2 Задачей курсовой работы является исследование заданного объекта:

-проведение пассивного эксперимента с использованием методов имитационного моделирования и языка программирования GPSS;

- выбор критерия оценки эффективности функционирования объекта;

- определение оптимального режима функционирования на основе

пассивного эксперимента;

- Составление плана проведения активного эксперимента и проведение активного эксперимента с использованием методов имитационного моделирования и языка программирования GPSS ;

- Определение математической модели в виде уравнения регрессии с использованием результатов активного эксперимента;

- Поиск оптимального режима функционирования на базе полученной модели

- С использованием градиентного метода оптимизации или метода сканирования;

Оценка результатов и сравнение с результатами, полученными на основе пассивного эксперимента..

ОРГАНИЗАЦИЯ И ПОСЛЕДОВЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ

КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Курсовое проектирование является формой самостоятельной работы студента и выполняется по индивидуальному заданию.

Заданиена курсовую работу выдается преподавателем на первом занятии по курсу «Моделирование систем» 8 семестра, защита проводится в конце того же семества перед экзаменом. На защите демонстрируются результаты проведенного исследования.

"В ходе выполнения курсовой работы студент консультируется с руководителем, назначенным кафедрой.

За правильность проектных решений, качество оформления работы, своевременность выполнения отдельных этапов и представления к защите отвечает студент.

2.1 Задание на курсовую работу

Задание на гсурсовую работу выбирается студентом по номеру группы и порядковому номеру студента в журнале.

2.2 Объем и содержание курсовой работы

Работа состоит из расчетно-пояснительной записки (РПЗ).

Техническое задание включает общие и специальные требования к работе.

Объем пояснительной записки составляет 30-40 машинописных страниц (формат А4) РПЗ должна быть написана четко и кратко, содержать пояснения ко всем промежуточным результатам, обоснование принятых решений. РПЗ должна включать следующие разделы:

1) Титульный лист (приложение А)

2) Бланк задания, подлисанный преподавателем и студентом (приложение Б)

3) Содержание

4) Перечень условных обозначений и сокращений в алфавитном
порядке в виде списка, в котором слева приводится сокращение, справа - его
расшифровка.

5) Основная часть РПЗ:

- Краткие теоретические сведения: анализ существующих методов подобного класса; особенности особенности использования выбранных методов;

- Структура обекта исследования и имитационная модель в виде программы на языке программирования GPSS;

- Результаты пассивного эксперимента;

-- расчет критерия для каждой экспериментальной точки;

- Анализ результатов и выбор оптимального оешения набазе пассивного эксперимента;

- План активного эксперимента;

- Результаты активного эксперимента;

- Расчет коэффициентов уравнения регрессии с помощью Ехсеl;

- Запись полученной модели;

- Программа поиска оптимального решения на алгоритмическом языке Visual Basic;

- Результаты поиска и результать сравнительного анализа;

- Заключение;

- Список использованных источников;

- Приложения:

2.3 Последовательность выполнения работы

разрабатывается в последовательности, соответствующей содержанию РПЗ (п.2,2).

Расчетно-пояснительная записка и графический материал оформляются в соответствии с требованиями ЕСКД и ЕСПД (Единая система конструкторской документации, Единая система программной документации).

Подготовленная и оформленная работа, прошедшая экспертизу на выполнение требований ЕСКД и ЕСПД представляется преподавателю не позднее, чем за неделю до защиты.

Защита работы происходит на 16 или 17 неделе семестра.

3 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

В многофазную систему массового обслуживания поступают заявки по равномерному закону распределения через А +/- В минут. Обработка заявок осуществляется в три фазы, две из которыхпредставляют параллельное соединение двух приборов обслуживания.. (см. пример) Поступление заявок в тот или иной канал для этих фаз происходит с вероятностью и .

Провести моделирование системы с параметрами А,В, , , , , где индекс “1” соответствует первой фазе, индекс “2” соответствует второй фазе т.е. +- /2, +- /2, а для третьей фазы – ( + )/2 ,при условии,что накопители имеют бесконечную емкость.

Необходимо осуществить обработку 100 заявок при двух прогонах программы.

Составить матрицу планирования полного факторного эксперимента для пяти факторов с эффектами взаимодействия. Факторами являютсявремя обслуживания заявок каждого прибора обслуживания. Диапазон изменения факторов определяется из условия

[-0,15*T;+0,15*T]

Осуществить расчет имитационной модели с использованием исходных данных

определенных на основании составленного плана ПФЭ

Записать матрицу планирования первого порядка с эффектами взаимодействия.

Определить значения коэффициентов полинома, выбранного в качестве модели

Определить оптимальные области значений факторов процесса функционирования

системы

4. ИНФОРИАЦИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

СИСТЕМ

Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объек­тов исследования. Эффективным является язык математи­ческих схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с ис­пользованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, а возможно, и комби­нированном, т. е. аналитико-имитационном. Применительно к конкретному объекту моделирования, т. е. к сложной системе, разработчику модели должны помочь конкретные, уже прошедшие апробацию для данного класса систем математические схемы, показавшие свою эффективность в прикладных исследо­ваниях на ЭВМ и получившие название типовых математических схем.

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моде­лей процессов функционирования систем служат данные о назначе­нии и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S . Эта информация определяет основную цель моделирования систе­мы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зави­сит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математическую схему можно определить как звено при пере­ходе от содержательного к формальному описанию процесса функ­ционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель — математическая схе­ма — математическая [аналитическая или (и) имитационная] мо­дель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение мо­делируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (систе­мой) Е. При построении математической модели системы необ­ходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулирует­ся в основном выбором границы «система S — среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепен­ным существенно зависит от цели моделирования системы (напри­мер, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функ­ционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и об­разующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

, i = 1,2,…, ;

совокупность воздействий внешней среды

_;

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

совокупность выходных характеристик системы

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае , ν, h , y являются элементами непересекающихся подмножеств и содер­жат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздейст­вия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) пере­ менными

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

y ( t )= ( x , v , h , t ) (1.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени для всех видов у называется выходной траек­ торией у ( t ). Зависимость (1.1) называется законом функционирова­ ния системы S и обозначается . В общем случае закон функци­онирования системы может быть задан в виде функции, функци­онала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S являет­ся понятие алгоритма функционирования , под которым понима­ется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий х ( t ), воздействий внешней среды v ( t ) и собственных параметров системы h ( t ). Очевидно, что один и тот же закон функционирования системы S может быть реализован различ­ными способами, т. е. с помощью множества различных алгорит­мов функционирования .

Соотношение (1.1) является математическим описанием поведе­ния объекта (системы) моделирования во времени t , т. е. отражает его динамические свойства. Поэтому математические модели та­кого вида принято называть динамическими моделями.

Для статических моделей математическая модель (1.1) пред­ставляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и { X , V , H }, что в векторной форме может быть записано как

y = f ( x , v , h ). (1.2)

Соотношения (1.1) и (1.2) могут быть заданы различными спо­собами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, на­зываемые состояниями.

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний, то они могут быть интерпретированы как координаты точки в n-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством со­ стояний объекта моделирования Z.

Состояния системы S в момент времени полностью определяются начальными условиями , входными воздействиями x ( t ), внутренними параметрами h ( t ) и воздействиями внешней сре­ды v (t), которые имели место за промежуток времени t * - , с помощью двух векторных уравнений

Z(t)=Ф( z °, x , v , h , t ) (1.3)

y ( t )= F ( z , t ) (1.4)

Первое уравнение по начальному состоянию z° и экзогенным переменным x , v , h определяет вектор-функцию z(0), а второе по полученному значению состояний z ( t ) — эндогенные переменные на выходе системы у ( t ). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход — состояния — выход» позволяет определить характеристи­ки системы y ( t )= F {Ф (z ° , x , v , h , t )} (1.5)

В общем случае время в модели системы S может рассмат­риваться на интервале моделирования (0 , Т) как непрерывное, так и дискретное.

Таким образом, под математической моделью объекта (реаль­ной системы) понимают конечное подмножество переменных { x ( t ), v ( t ), h ( t )} вместе с математическими связями между ними и харак­теристиками у ( t ).

Если математическое описание объекта моделирования не содер­жит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия вне­шней среды v (t) и стохастические внутренние параметры h ( t ) отсут­ствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

y ( t )= f ( x , t ) (1.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

НЕПРЕРЫВНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

(Q-СХЕМЫ)

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания , которые будем называть Q -схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процес­сы функционирования экономических, производственных, техничес­ких и других систем, например потоки поставок продукции некото­рому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирова­ния.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и со­бственно обслуживание заявки.

Прибор обслуживания заявок

Это можно изобразить в виде неко­торого i-гo прибора обслуживания (рисунок), состоящего из накопителя заявок , в котором может одновременно находиться заявок, где — емкость i-гo накопителя и канала об­служивания заявок (или просто канала) . На каждый элемент прибора обслуживания поступают потоки событий: в накопитель — поток заявок , на канал — поток обслуживаний .

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных собы­тий. Поток событий называется однородным, если он характеризу­ется только моментами поступления этих событий (вызываю­щими моментами) и задается. Mомент наступления i-го собы­тия — неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности про­межутков времени между i-м и (п- 1) -м событиями, которая однозначно связана с последовательно­стью поступления заявок.

При моделиро­вании различных систем применительно к элементарному каналу обслуживания можно считать, что поток заявок , т. е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе образует подмножество неуправля­емых переменных, а поток обслуживания U, т. е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, об­разует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом и заявки, покинувшие прибор по различным причинам не обслуженными (например, из-за переполнения накопителя , образуют выходной поток , т. е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени z( t ). Переход в новое состояние означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале и в накопителе ).

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации ис­пользуются не отдельные приборы обслуживания, а Q -схемы, об­разуемые композицией многих элементарных приборов обслужива­ния (сети массового обслуживания).

Для того, чтобы осуществить процесс моделирования полученной Q -схемы используют различные языки имитационного моделирования. Одним из таких языков является язык имитационного моделирования GPSS (см. приложение 1)

Моделирование Q - схем с фазовой структурой

Если приборы массового обслуживания и их параллельные композиции соединены последовате­льно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q -схема). Таким образом, для задания Q -схемы необходимо ис­пользовать оператор сопряжения R , отражающий взаимосвязь эле­ментов структуры (каналов и накопителей) между собой.

Связи между элементами Q -схемы изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Раз­личают разомкнутые и замкнутые Q -схемы. В разомкнутой Q -схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т. е. обратная связь отсутствует, а в замкнутых Q -схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

Собственными (внутренними) параметрами Q -схемы будут яв­ляться количество фаз, количество каналов в каждой фазе, количество накопителей каждой фазы, ем­кость i-гo накопителя. Следует отметить, что в теории мас­сового обслуживания в зависимости от емкости накопителя приме­няют следующую терминологию для систем массового обслужива­ния: системы с потерями, т. е. имеется только канал обслуживания системы с ожиданием, (т. е. очередь заявок не ограничивается) и системы смешанного типа (с ограниченной емкостью накопителя). Всю совокупность собственных параметров Q -схемы обозначим как подмножество Н.

Для задания Q -схемы также необходимо описать алгоритмы ее функционирования, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в различных неоднозначных ситуациях. В зависи­мости от места возникновения таких ситуаций различают алгорит­мы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Н, и обслуживания заявок каналом каждого элементарного обслуживающего прибо­ра Q -схемы. Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения клас­сов приоритетов.

В зависимости от динамики приоритетов в Q -схемах различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q -схемы, т. е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при модели­ровании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из пра­вил выбора заявок из накопителя на обслуживание каналом можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. От­ носительный приоритет означает, что заявка с более высоким при­оритетом, поступившая в накопитель ожидает окончания об­служивания предшествующей заявки каналом и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель пре­рывает обслуживание каналом заявки с более низким приорите­том и сама занимает канал (при этом вытесненная из заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в ).

При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов об­служивания (каналов и накопителей Н) необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают и для — либо правила переполнения, по которым заявки в зависимо­сти от заполнения покидают систему, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в для — правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале или не допускаются до обслуживания каналом , т. е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управля­ющих связей в Q -схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q -схемы. Весь набор возможных алгоритмов поведе­ния заявок в Q -схеме можно представить в виде некоторого опера­тора алгоритмов поведения заявок.

Таким образом, Q -схема, описывающая процесс функциониро­вания системы массового обслуживания любой сложности, одно­значно задается в виде Q = (W, U , H , Z , R , А).

При ряде упрощающих предположений относительно подмно­жеств входящих потоков W, потоков обслуживания U (выполнение условий стационарности, ординарности и ограниченного последей­ствия) оператора сопряжения элементов структуры R (однофазное одноканальное обслуживание в разомкнутой системе), подмножест­ва собственных параметров Н (обслуживание с бесконечной ем­костью накопителя), оператора алгоритмов обслуживания заявок А (бес приоритетное обслуживание без прерываний и блокировок) для оценки вероятностно-временных характеристик можно исполь­зовать аналитический аппарат, разработанный в теории массового обслуживания.

Математическое обеспечение и ресурсные возможности современных ЭВМ позволя­ют достаточно эффективно провести моделирование различных си­стем, формализуемых в виде Q -схем, используя либо пакеты при­кладных программ, созданные на базе алгоритмических языков общего назначения, либо специализированные языки имитацион­ного моделирования. Пример Q-схемы общего вида

На рисунке представлена трехфазная Q -схема ( L =3) с блокировкой каналов по вы­ходу в 1-й и 2-й фазах обслужи­вания (пунктирные линии на рисунке). В качестве выходя­щих потоков такой Q-схемы могут быть рассмотрены поток потерянных заявок из и поток обслуженных заявок из ( на рисунке).

Для имитационной модели рассматриваемой Q -схемы можно записать следу­ющие переменные и уравнения: эндогенная переменная Р — вероятность потери заявок; экзогенные переменные: — время появления очередной заявки из N; — время окончания обслуживания каналом очередной заявки, k = 1, 2, 3; j = 1, 2; вспомогательные переменные: и — состояния Н; параметры: L – емкость, L*—число каналов в i-й фазе.

При имитации процесса функционирования Q -схемы на ЭВМ, требуется организовать массив состояний. В этом массиве должны быть выделены: подмассив К для запоминания текущих значений , соответствующих каналов и времени окончания обслужива­ния очередной заявки, подмассив Н для записи текуще­го значения z, соответствующих накопителей , i= 1, 2; подмассив H, в который записывается время поступления очередной заявки из источника (H).

Процедура моделирования процесса обслуживания каждым эле­ментарным каналом сводится к следующему. Путем обращения к генератору случайных чисел с законом распределения, соответст­вующим обслуживанию данных, получается длительность вре­мени обслуживания и вычисляется время окончания обслуживания, а затем фиксируется состояние , при освобождении =0; в случае блокировки записывается =2. При поступ­лении заявки в Н, к его содержимому добавляется единица, т. е. , а при уходе заявки из Н, на обслуживание вычитается единица, т. е. , i=l, 2.

Возможности модификации моделирующих алгоритмов Q - схемы. В плане усложнения машинных моделей при исследовании вариантов системы S можно рассмот­реть следующие модифика­ции: наличие потоков за­явок нескольких типов. В этом случае необходимо иметь несколько источников (генераторов) заявок и фикси­ровать признак принадлежно­сти заявки к тому или иному потоку тогда, когда накопите­ли и каналы рассматрива­емой Q -схемы критичны к этому признаку или требу­ется определить характери­стики обслуживания заявок каждого из потоков в отдель­ности.

Наличие приоритетов при постановке заявок в оче­редь в накопитель. В зависимости от класса приоритета заявок может быть рассмотрен случай, когда заявки одного класса имеют приоритет по записи в накопи­тель (при отсутствии свободных мест вытесняют из накопителя заявки с более низким классом приоритета, которые при этом считаются потерянными). Этот фактор может быть учтен в модели­рующем алгоритме соответствующей Q -схемы путем фиксации для каждого накопителя признаков заявок, которые в нем находятся (путем организации соответствующего массива признаков).

1. Наличие приоритетов при выборе заявок на обслуживание каналов. По отношению к каналу могут быть рассмотрены заявки с абсолютным и относительным приоритетами. Заявки с абсолют­ным приоритетом при выборе из очереди в накопитель вытесняют из канала заявки с более низким классом приоритета, которые при этом снова поступают в накопитель (в начало или конец очереди) или считаются потерянными, а заявки с относительным приорите­том дожидаются окончания обслуживания каналом предыдущей заявки. Эти особенности учитываются в моделирующих алгорит­мах приоритетных

Q -схем, при определении времени освобождения канала и выборе претендентов на его занятие. Если наличие аб­солютных приоритетов приводит к потере заявок, то необходимо организовать фиксацию потерянных заявок.

2. Ограничение по времени пребывания заявок в системе. В этом случае возможно ограничение как по времени ожидания заявок в накопителях, так и по времени обслуживания заявок каналами, а также ограничение по сумме этих времен, т. е. по времени пребы­вания заявок в обслуживающем приборе. Причем эти ограничения могут рассматриваться как применительно к каждой фазе, так и к Q -схеме в целом. При этом необходимо в качестве особых состояний Q -схемы рассматривать не только моменты поступления новых заявок и моменты окончания обслуживания заявок, но и моменты окончания допустимого времени пребывания (ожидания, об­служивания) заявок в Q -схеме.

3. Выход элементов системы из строя и их дальнейшее вос­становление. Такие события могут быть рассмотрены в Q -схеме, как потоки событий с абсолютными приоритетами, приводящими к потере заявок, находящихся в обслуживании в канале или ожида­ющих начала обслуживания в накопителе в момент выхода соответ­ствующего элемента из строя. В этом случае в моделирующем алгоритме Q -схемы должны быть предусмотрены датчики (генера­торы) отказов и восстановлений, а также должны присутствовать операторы для фиксации и обработки необходимой статистики.

Рассмотренные моделирующие алгоритмы и способы их моди­фикации могут быть использованы для моделирования широкого класса систем. Однако эти алгоритмы будут отличаться по сложно­сти реализации, затратам машинного времени и необходимого объема памяти ЭВМ.

Детерминированный и асинхронный циклический алгоритмы наиболее просты с точ­ки зрения логики их построения, так как при этом использует­ся перебор всех элементов Q -схемы на каждом шаге. Трудности возникают с машинной реализацией этих алгоритмов вследствие увеличения затрат машинного времени на моделирование, так как просматриваются все состояния элементов Q -схемы . Затраты машинного времени на моделирование существенно увеличиваются при построении детерминированных моделирующих алгоритмов Q -схем, элементы которых функционируют в различных масштабах времени, напри­мер когда длительности обслуживания заявок каналами многока­нальной Q -схемы значительно отличаются друг от друга.

Действия операторов блок-диаграммы моделирующего алгоритма

В стохастическом синхронном алгоритме рассматриваются про­шлые изменения состояний элементов Q -схемы, которые произош­ли с момента предыдущего просмотра состояний, что несколько усложняет логику этих алгоритмов.

Асинхронный спорадический алгоритм позволяет просматри­вать при моделировании только те элементы Q -схемы, изменения состояний которых могли иметь место на данном интервале систем­ного времени, что приводит к некоторому упрощению этих модели­рующих алгоритмов по сравнению с синхронными алгоритмами и существенному уменьшению затрат машинного времени по срав­нению с детерминированными и циклическими алгоритмами.

Затраты необходимой оперативной памяти ЭВМ на проведение имитации могут быть значительно уменьшены при построении блочных моделей, когда отдельные блоки (модули) Q -схемы ре­ализуются в виде процедур (подпрограмм).

Рассмотренные моделирующие алгоритмы позволяют практически отразить всевозможные варианты много­фазных и многоканальных Q -схем, а также провести исследование всего спектра их вероятностно-временных характеристик, различ­ных выходных характеристик, интересующих исследователя или разработчика системы S.

При моделировании систем, формализуе­мых в виде Q -схем, с использованием языка имитационного моде­лирования GPSS , отпадает необходимость выбора принципа построения моделирующего алгоритма, так как механизм системного времени и просмотра состояний уже заложен в систему имитации дискретных систем, т. е. в язык GPSS .

В качестве примера приведена программа на языке GPSS . Для трехфазной системы массового обслуживания, для блок-диаграммы, приведенной ранее..

SIMULATE Программа имитации многофазной Q -схемы

1 STORAGE 10

2 STORAGE 10
EXPON FUNCTION RN1.C24

0 0 .1 .104 .2 .222 .3 .355 .4 .509 .5 .69

6 .915 .7 .12 .75 1.38 .8 1.6 .84 .83 .88 2.12

.9 2.3 .92 2.52 .94 2.81 .95 2.99 .96 3.2 .97 3.5

.98 3.9 .99 4.6 .995 5.3 .998 6.2 .999 7.0 .9997 8.0

GENERATE 10.FN#EXPON

ЗАТЕ SNF 1.OTK

ENTER 1

TRANSFER BOTH.KAN11.KAN12

KAN 11 SEIZE 1

LEAVE 1

ADVANCE 20. FN#EXPON

GATE SNF 2

RELEASE 1

TRANSFER .NAK2

KAN12 SEIZE 2

LEAVE 1

ADVANCE 20.FN#EXPON

GATE SNF 2

RELEASE 2

NAK2 ENTER 2

TRANSFER BOTH.KAN21.KAN22

KAN21 SEIZE 3

LEAVE 2

ADVANCE 20. FN#EXPON

GATE NU 5

RELEASE 3

TRANSFER .KAN31

KAN22 SEIZE 4

LEAVE 2

ADVANCE 20. FN#EXPON

GATE NU 5

RELEASE 4

KAN31 SEIZE 5

ADVANCE 10.FN#EXPON

RELEASE 5

TRANSFER .END

OTK SAVEVALVE 1+.K1

END TERMINATE 1

Программа реализации многофазного моделирующего алгоритма на языке GPSS

При моделировании систем, формализуе­мых в виде Q -схем, с использованием языка имитационного моде­лирования GPSS , отпадает необходимость выбора принципа построения моделирующего алгоритма, так как механизм системного времени и просмотра состояний уже заложен в систему имитации дискретных систем, т. е. в язык GPSS .

ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ

СИСТЕМ

Имитационное моделирование является по своей сути машинным экспери­ментом с моделью исследуемой или проектируемой системы. План имитацион­ного эксперимента на ЭВМ представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой пользователю информации. Эффективность исполь­зования экспериментальных ресурсов существенным образом зависит от выбора плана эксперимента. Основная цель экспериментальных исследований с помо­щью имитационных моделей состоит в наиболее глубоком изучении поведения моделируемой системы. Для этого необходимо планировать и проектировать не только саму модель, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов на ЭВМ.

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Машинный эксперимент с моделью системы S при ее исследова­нии и проектировании проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть получена как для анализа характеристик, так и для их оптимизации при заданных ограничени­ях, т. е. для синтеза структуры, алгоритмов и параметров системы S . В зависимости от поставленных целей моделирования системы S на ЭВМ имеются различные подходы к организации имитацион­ного эксперимента с машинной моделью . Основная задача планирования машинных экспериментов — получение необходимой информации об исследуемой системе S при ограничениях на ресур­сы (затраты машинного времени, памяти и т. п.). К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, от­носятся задачи уменьшения затрат машинного времени на модели­рование, увеличения точности и достоверности результатов модели­рования, проверки адекватности модели и т. д.

Машинный эксперимент. Эффективность машинных эксперимен­тов с моделями существенно зависит от выбора плана экс­перимента, так как именно план определяет объем и порядок про­ведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Поэтому основная задача планирования машинных экспериментов с моделью формулируется следующим образом: необходимо получить ин­формацию об объекте моделирования, заданном в виде моделиру­ющего алгоритма (программы), при минимальных или ограничен­ных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса модели­рования.

Таким образом, при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модель системы S , но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней эксперимен­тов с использованием инструментальной ЭВМ.

Для планирования эксперимента наиболее важ­ное значение имеет следующее:

1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью системы S ;

2) возможность управления экспериментом с моделью , включая его прерывание и возобновление;

3) легкость варьирования условий проведения эксперимента ( воздействии внешней среды Е);

4) наличие корреля­ции между последовательностью точек в процессе моделирования;

5) трудности, связанные с определением интервала моделирования.

Преимуществом машинных экспериментов яв­ляется возможность полного воспроизведения условий эксперимен­та с моделью исследуемой системы S . Сравнивать две альтер­нативы возможно при одинаковых условиях, что достигается, на­пример, выбором одной и той же последовательности случайных чисел для каждой из альтернатив. Существенным достоинством является простота прерывания и возобновления машинных экспериментов, что позволяет применять последователь­ные и эвристические приемы планирования, которые могут оказать­ся нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. При работе с машинной моделью всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений об его дальнейшем ходе (например, о необ­ходимости изменения значений параметров модели ).

Недостатком машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выход­ных последовательностях, т. е. результаты одних наблюдений зави­сят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому

в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюде­ниях. Так как в большинстве существующих методов планирования экспериментов предполагается независимость наблюдений, то мно­гие из этих методов нельзя непосредственно применять для машин­ных экспериментов при наличии корреляции.

Основные понятия планирования экспериментов. В связи с тем что математические методы планирования экспериментов основаны на кибернетическом представлении процесса проведения экспериме­нта, наиболее подходящей моделью последнего является абстракт­ная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетичес­ком подходе различают входные и выходные переменные: . В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место только две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, то х — фактор, а у — ре­акция. В экспериментах с машинными моделями системы S фак­тор является экзогенной или управляемой (входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной) переменной.

Каждый фактор , i=l,2,… k , может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксирован­ный набор уровней факторов определяет одно из возможных состо­яний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор пред­ставляет собой условия проведения одного из возможных экспери­ментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответ­ствует определенная точка в многомерном пространстве, называ­емом факторным пространством. Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как, например, это показано для случая двух факторов и на рисунке (плоскость ).

Существует вполне определенная связь между уровнями фак­торов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить в виде соотношения

Функцию связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функ­ции реакции,— поверхностью реакции. Исследователю заранее не известен вид зависимостей , i =1,2,… т, поэтому используют прибли­женные соотношения:

Зависимости находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ре­сурсов (например, минимальном числе испытаний), варьируя по специально сформулированным правилам значения входных пере­менных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

При планировании экспериментов необходимо определить ос­новные свойства факторов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и не­наблюдаемыми, изучаемыми и не изучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправ­ленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. При машинной реализации модели исследователь принимает реше­ния, управляя изменением в допустимых пределах различных фак­торов.

Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюда­ются и регистрируются. Обычно в машинном эксперименте с моде­лью наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, так как нерационально управлять фактором, не наблюдая его. Но неуправ­ляемый фактор также можно наблюдать. Например, на этапе проек­тирования конкретной системы S нельзя управлять заданными воз­действиями внешней среды Е, но можно наблюдать их в машинном эксперименте. Наблюдаемые неуправляемые факторы получили на­звание сопутствующих. Обычно при машинном эксперименте с мо­делью число сопутствующих факторов велико, поэтому рацио­нально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на интересующую исследователя реак­цию.

Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель для изучения свойств системы S , а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор будет количественным, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Например, в модели системы, формали­зуемой в виде схемы массового обслуживания ( Q -схемы), количест­венными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, емкости накопите­лей, количество обслуживающих каналов и т. д., а качественными факторами — дисциплины постановки в очередь, выбора из очере­ди, обслуживания заявок каналами и т. д. Качественным факторам в отличие от количественных не соответствует числовая шкала. Однако и для них можно построить условную порядковую шкалу, с помощью которой производится кодирование, устанавливая соот­ветствие между условиями качественного фактора и числами нату­рального ряда.

Ф актор называется фиксированным, если в эксперименте иссле­дуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а ес­ли экспериментатор исследует только некоторую случайную выбор­ку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании случайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В машинных экспериментах с моделями не бывает неуправ­ляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследу­емой системе S . В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитаци­онной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы опре­делены и нельзя во время проведения данного эксперимента (ис­пытания) с моделью вводить дополнительные факторы.

Каждый фактор может принимать в ис­пытании одно или несколько значений, называемых уровнями, при­чем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фак­тора необходимо указать последовательность операций, с помо­щью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое опре­деление фактора называется операциональным и обеспечивает одно­значность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, явля­ются требование управляемости фактора и требование непосредст­венного воздействия на объект. Под управляемостью фактора пони­мается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменя­ющимся в соответствии с заданной программой. Требование непо­средственного воздействия на объект имеет большое значение в свя­зи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функци­ей других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменя­ются несколько факторов. Определим требования, которые предъ­являются к совокупности факторов. Основные из них — совмести­мость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует воз­можности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки некоторых характеристик процесса функционирования ис­следуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, на­ходящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы , влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изме­нения факторов ; определить координаты то­чек факторного пространст­ва , в которых следует проводить экспери­мент; оценить необходимое число реализаций и их поря­док в эксперименте.

Свойства объекта иссле­дования, т. е. процесса ма­шинного моделирования си­стемы S , можно описывать с помощью различных мето­дов (моделей планирова­ния). Для выбора конкрет­ной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множе­ство уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств мо­дели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Пред­полагаем, что изучается влияние k количественных факторов , на некоторую реакцию η в отведенной для эксперимен­тирования локальной области факторного пространства G , ограни­ченной , (рисунок для случая k =2). Допустим, что функцию реакции можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени d от k переменных

,

который содержит коэффициентов.

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраичес­ких полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов на нескольких уровнях q относи­тельно исходной точки , представляющей центр экспери­мента.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуют­ся все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель плани­рования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k факторов на двух уровнях, т. е. д=2. Такие планы называются планами типа 2 , где N=2 — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения ко­эффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем — симметрично расположенных относительно основного уровня ,. Геомет­рическая интерпретация показана на рисунке а.

Так как каждый фактор принимает лишь два значения то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ствовал -1, верхний +1, а основной — нулю. Это легко до­стигается с помощью преобразования вида

, где ,

где — кодированное значение i-гo фактора; — натуральное зна­чение фактора; — нулевой уровень; — интервал варьирования фактора.

Расположение точек для ПФЭ типа показано на рисунке б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­го факторного эксперимента типа .

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: и т. д.

Таблица 3.1

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Геометрическая интерпретация ПФЭ приведена на рисунке, а его план ниже:

Таблица 3.2

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэф­фициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодейст­вия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена и определения эффектов вза­имодействия план эксперимента D расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фик­тивной переменной»: единичного столбца и столбцов произведе­ний, как показано, например, для ПФЭ типа в таблице 3.2

Таблица 3.3

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов и , количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимен­та, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возника­ет проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного фак­торного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторньй эксперимент типа . Используя матрицу планирования, приве­денную в табл. 3.4, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения

Таблица 3.4

содержание   ..  672  673  674   ..