«Тайны математики»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

гимназия № 13 г. Томска

«Тайны математики»

Выполнила:

Ученица 6 «В» класса

Назарова Дарья

Руководитель:

Джинисян Н.Г.

г. Томск - 2012

Содержание

I. Введение………………………………………………………………3-4

1.1.Актуальность темы.

1.2. Цель и задачи.

1.3. Краткий обзор и анализ информационной базы

II . Основная часть

Глава 1. История появления магического квадрата

1.1. Определение магического квадрата…………………5-6

1.2. Первый магический квадрат…………………………7-8

1.3. Дьявольский магический квадрат…………………9-10

1.4. Магический квадрат Ян Хуэя………………………11

1.5. Квадрат Генри Э.Дьюдени и Аллана

У. Джонсона-мл……………………………………………..12-13

Глава 2. Основная терминология……………………………14

Глава3.Способы заполнения магических квадратов нечетного

порядка

3.1. Метод А. де ла Лубера (сиамский метод)………………….15

3.2. Метод Ф. де ла Ира……………………………………………16

3.3. Достраивание до симметричной ступенчатой ромбовидной

Фигуры……………………………………………………………17-18

Глава 4. Способы заполнения магических квадратов порядка,

кратного четырем……………………………………………………19

Глава5. Применение магических квадратов…………20 -21

III. Заключение………………………………………………………22

IV. Список использованной литературы……………………………23

V. Приложение (подборка задач)………………………………24-25

Введение

Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания, симметрии, классификации, обобщения и т. д.

А. Обри

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 33 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова. Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 28 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 20-30. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному. Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это и побудило меня заняться данной темой, так как считаю, что для заполнения магических квадратов существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Перед собой я поставила цель: изучение способов заполнения магических квадратов и знакомство с историей их появления. Из поставленной цели я пришла к следующим задачам:

- изучить историю появления и названия магических квадратов;

- познакомиться с известными способами заполнения магических квадратов;

- составить авторские задачи на заполнения магических квадратов.

Я изучила достаточный объем литературы по данному, использовав глобальную Сеть Internet, я поняла, что данный вопрос интересен не только школьникам, но и тем, кому математика стала и профессией, и смыслом жизни. Особенно меня привлекли статьи Н.В. Макаровой и его книги «Волшебный мир магических квадратов», на своем сайте она пишет: «…Я начала писать её 30 лет назад, когда впервые познакомилась с магическими квадратами. В те годы в моём пользовании ещё не было Интернета, и материалы в основном брались из журналов «Наука и жизнь», которые я выписывала на протяжении многих лет.

В 1994 году в связи с очень сложными жизненными обстоятельствами эта работа была прервана. Возобновилась она только в июле 2007 года. В это время у меня, конечно, был уже и домашний компьютер, и Интернет.

А импульс к возобновлению работы был дан одной записью в Гостевой книге сайта, принадлежавшей Георгию Александрову. Он тоже очень давно занимается магическими квадратами и заинтересовался моими работами, о которых узнал из Википедии. Завязалась очень бурная переписка. Тогда и возникло непреодолимое желание продолжить исследования. Мы с Александровым месяца три (июль-сентябрь 2007 г.) сотрудничали, и это сотрудничество дало неплохие результаты…».

У меня возникла мысль, а может после проведенной работы, я смогу сотрудничать с автором?!! Но это пока мечты, а сейчас надо браться за дело! Вперед! Магические квадраты ждут меня!

II. Основная часть

Глава I . История появления магического квадрата.

1.1. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3 ,так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:

9+5+1

9+4+2

8+6+2

8+5+2

8+4+3

7+6+2

7+5+3

6+5+4

В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять – таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века. Мусульмане, например, очень благоговейно относились к таким квадратом с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.

1.2. Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б . В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1 . Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.

рис.1 рис.2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

1.3. Дьявольский квадрат. Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия). Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых "дьявольских" квадратов.

В «Общей таблице магических квадратов в четыре» Френикль привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги. Трудно представить себе, сколько времени заняла у Френикля эта работа. В 1705 г. в Париже было издано сочинение уже упомянутого ранее Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими». Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.

Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (на рисунке такую диагональ образуют закрашенные клетки).

Существует всего три дьявольских квадрата 4×4:

Современные математики называют подобные квадраты «совершенными». Стало быть, «совершенный» и «дьявольский» для современных математиков – синонимы!

Но есть еще один МК не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16, который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.

Этот квадрат является самым магически-магическим из всех МК, составленных когда-либо каким-либо магом.

1.4. Магический квадрат Ян Хуэя (Китай). В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

1.5. Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный . Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4 ) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

Есть еще несколько подобных примеров:

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж.Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

В 1917 г. на франко-германском фронте, унтер-офицер Франц Буль,занимаясь мародерством на поле боя, нашел в кармане убитого солдата-индуса длинную полоску плотной бумаги, которая была исписана квадратами, разделенными на клетки, заполненными арабской вязью. Он передал эту полоску немецкому профессору, который занимался магическими квадратами. Скорее всего, полоска содержала талисман, не спасший, однако, его обладателя от смерти.

После перевода с арабского языка, выяснилось, что документ содержит магический квадрат 3-его порядка и полумагический квадрат 4-ого порядка. В квадрате 4 × 4 числа повторяются, и суммы диагоналей не совпадают с константой:

Затем следовал список заклинаний, имён богов и демонов, который профессор просто оторвал и уничтожил.

Глава II . Основная терминология

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n ² клеток и называется квадратом n -го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n (n ² + 1)/2. Доказано, что n ≥ 3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью таблицы.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рисунке.

Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b .

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

Глава III . Способы заполнения магических квадратов

нечетного порядка

3.1. Метод А.де ла Лубера.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера ( сиамский метод) . Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат .

Изучая различные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты и в другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.

3.2. Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Проанализировав данную схему заполнения по рисунку, я пришла к следующему алгоритму.

1. В первом квадрате размещаем числа от 1 до n (порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

2. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

3. Во втором квадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с 0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главной диагонали стоял средний элемент этой последовательности.

4. Все остальные элементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементы на ломаной диагонали равны.

2.3. Достраивание до симметричной

ступенчатой ромбовидной фигуры

Сначала исходный пустой квадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры как показано на следующем рисунке.

Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх - направо целыми числами от 1 до n² последовательно. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку.

Глава 4. Способы заполнения магических квадратов

порядка, кратного четырем

Универсальные методы составления магических квадратов произвольного четного порядка пока неизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частных случаев. Ниже рассмотрен метод составления магических квадратов, порядок кратен 4. Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

Квадрат раскрашивается в два цвета, а потом заполняется - проследите за расстановкой последовательных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...

1. Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы (главная и побочная).

2. Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направо и сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по не закрашенным клеткам.

3. Переход между цветами при заполнении происходит если следующая для заполнения клетка меняет цвет

Глава 5. Применение магических квадратов.

Традиционной сферой применения МК являются талисманы. (Полный список планетных талисманов можно найти в монографии А.Санарова «Магия талисманов. Практическое пособие»).

К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. ниже) и окружается специальными символами.

Однако, существуют и магический квадрат для стихий и знаков Зодиака. Найти порядок нужного магического квадрата поможет Liber 777 Алистера Кроули, которая устанавливает следующие соответствия:

III. Заключение

Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю, как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы.

В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Мною сделаны следующие выводы:

1. Существует не так много методов заполнения магических квадратов

2. С увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 - 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.

3. В литературе есть ссылка, что метод, основанный на двух первоначальных квадратах, можно применить и для заполнения квадратов четного порядка. Экспериментируя, я не пришли к нужному результату и оставляю это для дальнейшего исследования.

Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах.

Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие.

Использованные Интернет-ресурсы и литература

1. Е.И Игнатьев «В царстве смекалки», М., «Наука»,1979г.

2. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики.

3. Москва. Просвещение. 1989г.

4. Н.В.Макарова «Волшебный мир магических квадратов», М. Наука, 1995
М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.

5. Постников M.М. «Магические квадраты» - М.: Наука, 1964 г.

6. Санаров А.В. «Магия талисманов. Практическое пособие» - М.: Велигор, 2002 г.

7. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.

8. http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

9. http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm

10. http://ru.wikipedia.org/wiki

11. http://ru.math.wikia.com

12. http :// narod . ru / disk /27038932000/ franklin . rar . html

Приложение

Мною составлены задачи на тему «Магические квадраты» для решения на спецкурсе по математике.

Задача 3. Расставить 16 букв
В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставить
16 букв (4 буквы a, 4 буквы b, 4 буквы c, 4 буквы d)
так, чтобы в каждом горизонтальном и вертикальном ряду любая буква встречалась только один раз.
Задача 4. Расставить 9 чисел
В квадрате состоящем из 9 клеток, расставить числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9 так ,чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном, горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.

содержание   ..  633  634  635   ..