работа по курсу "Математическая статистика"

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"

по курсу

"Математическая статистика"

Выполнил:

студент группы 08-304

Принял:

профессор каф. 804

Кан Ю. С.

2003 г.

Задание 1.

Дан случайный вектор , где , k = 15.

Методом Монте-Карло найти вероятность .

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения:

,

где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q .

Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K , задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K .

Чтобы найти матрицу преобразования , приводим квадратичную форму к сумме квадратов:

, где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K .

Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1а и 1б показаны результаты статистического испытания при объеме выборки n = 10000, k = 15 и k = 1.

Задание 2.

Имеются 50 опытов наблюдения X и Y :

,

где .

Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов.

Решение 1:

Для нахождения оценок и применим метод максимального правдоподобия.

,

Составляем функцию правдоподобия:

,

где n – объем выборки (n = 50).

Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов:

Распишем сумму квадратов:

.

Введем новые обозначения:

С учетом новых обозначений получаем:

J (a,b ) = a a ² + nb ² + 2b ab – 2g a – 2d b + l

Берем частные производные:

2a a + 2b b – 2g ,

2nb + 2b a – 2d .

Решаем систему:

Получаем:

,

.

Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где , ,

Получаем:

т.е. то же самое в виде системы:

Как видно, это та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y , получаем значения коэффициентов:

a = 121.415720807951,

b = 75.462893127151,

g = 472.393613346561,

d = 293.720213200493,

l = 1838.39078890617.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a = 3.86747517626168,

b = 0.0373869460469762.

На рис. 2 представлена прямая .

Задание 2а.

Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a и b .

Основная МНК-теорема:

Пусть в условия предыдущей задачи

,

.

Тогда

,

.

Следствие:

,

,

где - (i , i )-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы.

С учетом условия задачи ( ) и всего вышесказанного, получаем следующее:

Матрица ,

соответственно,

» 0.322795848743494

» 0.132930005519663

» 0.662505924471855

» 2.011

Итого – доверительные интервалы уровня 0.95:

для a : ( 3.84191262236633 , 3.89303773015703 )

для b : ( -0,0246869720909494 , 0,0994608641849019 )
Задание 3.

Рассматривая как выборку, построить гистограмму (10 интервалов одинаковой длины). Пользуясь критерием и полученной гистограммой, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной величины .

Минимальное и максимальное выборочные значения равны –0.2083122 и 0.2076246, соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения.

Таблица 1. Данные для гистограммы.

Прежде чем проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение гауссовское. Из условия предыдущей задачи

Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается выборочной дисперсией:

Подставляя выборочные данные, получаем: 0.00878

Таким образом, выдвигаемая гипотеза:

Для каждого интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания выборочных точек. Полученные результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2. Вероятностные и частотные характеристики.

На основании полученных результатов вычисляем статистику:

3.077

Если гипотеза верна, то статистика

Используя закон распределения , находим критическое значение для заданного уровня p = 0.01:

0.99

Из таблицы распределения получаем: 20.8

содержание   ..  572  573  574   ..