|
|
содержание .. 90 91 92 93 ..
Задание №4712 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 134. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,5 Ответ: 33,5
Задание №2168 Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Середина стороны BC - точка E. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99 Ответ: 99
Задание №5593 Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 60 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=40 Ответ: 40
Задание №2547
Дан треугольник ABC. Стороны AC=56, BC=90, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №3958 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 145. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=72,5 Ответ: 72,5
Задание №5886 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Вычислите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №2634
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 45. Найдите длину средней линии трапеции Решение Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 45 / 4 = 11,25 Ответ: 11,25
Задание №4350
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 43, AB= 57 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 200 Ответ: 200
Задание №3861
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 98+49√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=49 Ответ: 49
Задание №5395
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 46 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=122+30=152 Ответ: 152
Задание №1958
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 132. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =132 / 6 = 22 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*22=44 Ответ: 44
Задание №5033
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 14. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=15 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+15=39 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 39
Задание №3383
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 116, большая боковая сторона трапеции равна 51 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 3,5 Ответ: 3,5
Задание №2630
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 82, периметр P= 341 . Рассчитайте длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=88,5 Ответ: 88,5
Задание №4792
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 130, основание равно 156 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8112 Подствавим значения и найдём полупериметр P=208 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=8112/208=39 Ответ: 39
Задание №5188 Площадь треугольника АВС равна 129. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=96,75 Ответ: 96,75
Задание №2616
Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 51, 80. Найдите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =22+51+80=153 Ответ: 153
Задание №2007
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 41° и 143°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 41 градусов равен 180-41=139 градусов угол противоположный углу 143 градусов равен 180-143=37 градусов Больший из неизвестных углов 139 градусов Ответ: 139
Задание №3203
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 44 и 30 . Вычислите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 74 / 2 = 37 Ответ: 37
Задание №3624
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 33, BC=9, CD=68. Найдите четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=33+68-9=92 Ответ: 92
содержание .. 90 91 92 93 ..
|
|