|
|
содержание .. 65 66 67 68 ..
Задание №4156
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 42 и 58. Вычислите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 100 / 2 = 50 Ответ: 50
Задание №2342
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 105, основание равно 126 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5292 Подствавим значения и найдём полупериметр P=168 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=5292/168=31,5 Ответ: 31,5
Задание №5707
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 48 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=126+30=156 Ответ: 156
Задание №2564
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 128, стророна AB= 29 . Найдите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=35 Ответ: 35
Задание №2954
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 34° и 92°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 34 градусов равен 180-34=146 градусов угол противоположный углу 92 градусов равен 180-92=88 градусов Больший из неизвестных углов 146 градусов Ответ: 146
Задание №3491 Площадь параллелограмма ABCD равна 123. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=30,75 Ответ: 30,75
Задание №1433
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 26, 61, 93. Найдите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =26+61+93=180 Ответ: 180
Задание №2136
Дан треугольник ABC. Стороны AC=20, BC=21, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №2037
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 81, большая боковая сторона равна 34 . Рассчитайте радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 3,25 Ответ: 3,25
Задание №1639 Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 144. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=80 Ответ: 80
Задание №1088 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 137. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68,5 Ответ: 68,5
Задание №3870
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 105. Рассчитайте длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 105 / 4 = 26,25 Ответ: 26,25
Задание №2154
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 492. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =492 / 6 = 82 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*82=164 Ответ: 164
Задание №1500 Площадь треугольника АВС равна 140. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=105 Ответ: 105
Задание №5674
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 119, CD= 108 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 454 Ответ: 454
Задание №5955
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 26, BC=8, CD=58. Найдите четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=26+58-8=76 Ответ: 76
Задание №2836
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 18 и 24. Радиус описанной окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции Решение Проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=9 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 21
Задание №5519 Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Рассчитайте число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №2435
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 98+49√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=49 Ответ: 49
Задание №3236 Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=105,75 Ответ: 105,75
содержание .. 65 66 67 68 ..
|
|