ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 64

Задание №5721

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 15, 36, 52. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=15+36+52=103

Ответ: 103

Задание №2087

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 35° и 91°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 35 градусов равен 180-35=145 градусов

угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов

Больший из неизвестных углов 145 градусов

Ответ: 145

Задание №5622

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 18. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 15. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=12

HO=9

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+9=21

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 21

Задание №2611

Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,25

Ответ: 33,25

Задание №4035

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 85, большая боковая сторона трапеции равна 38 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,25

Ответ: 2,25

Задание №5349

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 15 и 20 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 35 / 2 = 17,5

Ответ: 17,5

Задание №5916

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 43 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=12

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=110+24=134

Ответ: 134

Задание №5075

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 294, стророна AB= 71 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=76

Ответ: 76

Задание №5027

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 120 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=80

Ответ: 80

Задание №1108

Площадь параллелограмма ABCD равна 154. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=77

Ответ: 77

Задание №3308

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 133. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99,75

Ответ: 99,75

Задание №4402

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 48+24√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=24

Ответ: 24

Задание №2488

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 130, основание равно 156 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=8112

Подствавим значения и найдём полупериметр P=208

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=8112/208=39

Ответ: 39

Задание №3888

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

Задание №3653

Дан треугольник ABC. Стороны AC=10, BC=24, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=4

Ответ: 4

Задание №2850

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 75, AB= 78 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 306

Ответ: 306

Задание №4739

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 174. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =174 / 6 = 29

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*29=58

Ответ: 58

Задание №5065

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 25, BC=8, CD=63. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=25+63-8=80

Ответ: 80

Задание №5411

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 135. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=101,25

Ответ: 101,25

Задание №4771

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 50. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 50 / 4 = 12,5

Ответ: 12,5

содержание .. 62 63 64 65 ..