содержание .. 57 58 59 60 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 59
Задание №5595
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 54, периметр P= 227 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=59,5 Ответ: 59,5
Задание №2820
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 14. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=24 HO=20 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=24+20=44 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 44
Задание №1834
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 9, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=9 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=72+18=90 Ответ: 90
Задание №5780
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 90+45√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=45 Ответ: 45
Задание №1567
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 109. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 109 / 4 = 27,25 Ответ: 27,25
Задание №3585
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 30, основание равно 36 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=432 Подствавим значения и найдём полупериметр P=48 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=432/48=9
Ответ: 9
Задание №3495
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 128. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=96 Ответ: 96
Задание №4812
В треугольнике ABC BC=16, AC=12, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=4 Ответ: 4
Задание №3119
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 44° и 109°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 44 градусов равен 180-44=136 градусов угол противоположный углу 109 градусов равен 180-109=71 градусов Больший из неизвестных углов 136 градусов Ответ: 136
Задание №5253
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 39, AB= 51 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 180 Ответ: 180
Задание №4948
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 35 и 24 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 59 / 2 = 29,5 Ответ: 29,5
Задание №3194
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150 180*n – 360 = 150 * n n=12 Ответ: 12
Задание №4576
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 109, большая боковая сторона трапеции равна 49 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,75 Ответ: 2,75
Задание №4258
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 26, BC=8, CD=61. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=26+61-8=79 Ответ: 79
Задание №1985
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 149. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=74,5 Ответ: 74,5
Задание №1482
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 40, 59. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=17+40+59=116 Ответ: 116
Задание №5210
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 132. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=99 Ответ: 99
Задание №4063
Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 36. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=15 Ответ: 15
Задание №4202
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 156. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =156 / 6 = 26 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*26=52 Ответ: 52
Задание №2505
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 146. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36,5 Ответ: 36,5
содержание .. 57 58 59 60 ..