ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 54

Задание №4406

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 105, основание равно 126 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5292

Подствавим значения и найдём полупериметр P=168

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=5292/168=31,5

Ответ: 31,5

Задание №2963

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 228. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =228 / 6 = 38

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*38=76

Ответ: 76

Задание №3804

Площадь треугольника АВС равна 139. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=104,25

Ответ: 104,25

Задание №1259

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 134, стророна AB= 33 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=34

Ответ: 34

Задание №1216

Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=70,5

Ответ: 70,5

Задание №5124

Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 24 и 7, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=7

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=62+14=76

Ответ: 76

Задание №3114

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 38° и 149°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 38 градусов равен 180-38=142 градусов

угол противоположный углу 149 градусов равен 180-149=31 градусов

Больший из неизвестных углов 142 градусов

Ответ: 142

Задание №1875

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 103. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 103 / 4 = 25,75

Ответ: 25,75

Задание №5219

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 91, ее большая боковая сторона равна 43 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 1,25

Ответ: 1,25

Задание №2269

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140

180*n – 360 = 140 * n

n=9

Ответ: 9

Задание №1737

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 70+35√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=35

Ответ: 35

Задание №3814

Площадь параллелограмма ABCD равна 139. Середина стороны BC - точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=104,25

Ответ: 104,25

Задание №5470

Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 6. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=5

Ответ: 5

Задание №3939

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 40 и 42. Радиус описанной окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=21

HO=20

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 41

Задание №5005

В треугольнике ABC BC=60, AC=32, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=12

Ответ: 12

Задание №5167

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 135. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,75

Ответ: 33,75

Задание №1941

Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 38, BC=11, CD=84. Найдите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=38+84-11=111

Ответ: 111

Задание №5896

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 45, AB= 59 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 208

Ответ: 208

Задание №2931

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 12, 31, 52. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=12+31+52=95

Ответ: 95

Задание №4807

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 24 и 37 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 61 / 2 = 30,5

Ответ: 30,5

содержание .. 52 53 54 55 ..