ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 51

Задание №1279

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 275, стророна AB= 65 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=72,5

Ответ: 72,5

Задание №5443

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 37 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=10

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=94+20=114

Ответ: 114

Задание №2974

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 23° и 81°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 23 градусов равен 180-23=157 градусов

угол противоположный углу 81 градусов равен 180-81=99 градусов

Больший из неизвестных углов 157 градусов

Ответ: 157

Задание №4695

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 145, основание равно 174 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10092

Подствавим значения и найдём полупериметр P=232

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=10092/232=43,5

Ответ: 43,5

Задание №5283

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 105, большая боковая сторона трапеции равна 48 . Найдите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2,25

Ответ: 2,25

Задание №1467

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 150°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

Задание №3501

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 136. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=102

Ответ: 102

Задание №5743

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,5

Ответ: 32,5

Задание №5089

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 55, 86. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=23+55+86=164

Ответ: 164

Задание №2382

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 130. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5

Ответ: 97,5

Задание №5614

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 51, CD= 38 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 178

Ответ: 178

Задание №5768

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 141. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=70,5

Ответ: 70,5

Задание №1971

У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 75. Найдите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 75 / 4 = 18,75

Ответ: 18,75

Задание №5467

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 456. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =456 / 6 = 76

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*76=152

Ответ: 152

Задание №2010

Дан треугольник ABC. Стороны AC=15, BC=36, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

Задание №1954

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 39 и 49. Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 88 / 2 = 44

Ответ: 44

Задание №5220

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 30 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=20

HO=15

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=20+15=35

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 35

Задание №4884

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 86+43√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: