|
|
содержание .. 11 12 13 14 ..
Задание №3062
В треугольнике ABC BC=72, AC=21, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №1559 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 119. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=29,75 Ответ: 29,75
Задание №4240
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 18+9√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №4010 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Рассчитайте число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №1918
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 15, 39, 53. Рассчитайте периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =15+39+53=107 Ответ: 107
Задание №5583
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66. Вычислите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5 Ответ: 16,5
Задание №5056 Площадь параллелограмма ABCD равна 123. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=61,5 Ответ: 61,5
Задание №2369
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 105, основание равно 126 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5292 Подствавим значения и найдём полупериметр P=168 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=5292/168=31,5 Ответ: 31,5
Задание №1547
Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции Решение Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=12 HO=5 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=12+5=17 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 17
Задание №5206
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 63, периметр P= 257 . Найдите длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=65,5 Ответ: 65,5
Задание №4990 Основания равнобедренной трапеции равны 120 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=80 Ответ: 80
Задание №4909
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 28° и 139°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 28 градусов равен 180-28=152 градусов угол противоположный углу 139 градусов равен 180-139=41 градусов Больший из неизвестных углов 152 градусов Ответ: 152
Задание №4885
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 29 . Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 46 / 2 = 23 Ответ: 23
Задание №1528
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 89, AB= 96 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 370 Ответ: 370
Задание №3062 Площадь параллелограмма ABCD равна 121. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=90,75 Ответ: 90,75
Задание №1211
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 210. Найдите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =210 / 6 = 35 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*35=70 Ответ: 70
Задание №4495
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 39, BC=11, CD=83. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=39+83-11=111 Ответ: 111
Задание №4105
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 82, ее большая боковая сторона равна 37 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 2 Ответ: 2
Задание №4541
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 35 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=92+22=114 Ответ: 114
Задание №3710 Дан треугольник АВС. Его площадь равна 143. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=107,25 Ответ: 107,25
содержание .. 11 12 13 14 ..
|
|