ЕГЭ по математике, вариант № 21917319 с ответами (2019 год)

 

  Главная      Книги - Тесты по ЕГЭ     ЕГЭ по математике, вариант № 21917319 с ответами (2019 год)

 

поиск по сайту            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЕГЭ по математике, вариант № 21917319 с ответами (2019 год)

 

 

Вариант № 21917319

Вариант № 21917319

1.

1.

Среди  40000  жителей  города  60%  не  интересуются  футболом.  Среди  жителей,  интересующихся  футболом,  80%

смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

Решение

Решение..

Не  интересуются  футболом  40  000  ·  0,6  =  24  000  человек,  а  интересуются  —  40  000  −  24  000  =  16  000.  Значит,

смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов 16 000 · 0,8 = 12 800 человек.
 
Ответ: 12 800.

2.

2.

На диаграмме показана среднемесячная температура в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По

горизонтали  указываются  месяцы,  по  вертикали  —  температура  в  градусах  Цельсия.  Определите  по  диаграмме
наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение

Решение..

Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура составляет −14 °C (см. рисунок).

 
Ответ: −14.

3.

3.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 7), (3; 7), (5; 9).

Решение

Решение..

Площадь треугольника равна половине произведения основания (его длина равна 2) на высоту, проведенную к этому

основанию или к его продолжению (длина высоты, проведенной к продолжению основания, равна 2). Поэтому

 
Ответ: 2.

4.

4.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из

Хорватии и 6 — из  Словении.  Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием.  Найдите вероятность
того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.

2019-02-15

1/6

)

Решение

Решение..

Всего в соревнованиях принимает участие 3 + 8 + 3 + 6 = 20 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен,

который выступает последним, окажется из Сербии, равна

Ответ: 0,4.

 

5.

5.

Найдите корень уравнения 
Решение

Решение..

Последовательно получаем:

 
Ответ: −26.

6.

6.

В треугольнике 

 Найдите высоту 

Решение

Решение..

Треугольник 

 равнобедренный, значит, углы 

 и 

 равны как углы при его основании.

Ответ: 4,8.

7.

7.

На  рисунке  изображен  график  функции 

y=f(x)

,  определенной  на

интервале  (−1;  12).  Определите  количество  целых  точек,  в  которых
производная функции отрицательна.

Решение

Решение..

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6;

10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек.
 
Ответ: 5.

8.

8.

Из  единичного  куба  вырезана  правильная  четырехугольная  призма  со  стороной

основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Решение

Решение..

Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей поверхностей куба с ребром 1 и четырех

граней параллелепипеда с ребрами 1, 0,5,  0,5, уменьшенной на две площади основания вырезанной призмы:

 
Ответ: 7,5.

2019-02-15

2/6

)

9.

9.

Найдите значение выражения 
Решение

Решение..

Заметим, что 

 тогда имеем:

 
Ответ: −19.

10.

10.

Для  нагревательного  элемента  некоторого  прибора  экспериментально  была  получена  зависимость  температуры  от

времени  работы: 

  где    —  время  в  минутах, 

 

 

  Известно,

что при температуре нагревательного элемента свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.
Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение

Решение..

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной 

 К. Задача сводится к решению

уравнения 

 при заданных значениях параметров 

a

 и 

b

:

Через  4  минуты  после  включения  прибор  нагреется  до  1650  К,  и  при  дальнейшем  нагревании  может  испортиться.

Таким образом, прибор нужно выключить через 4 минуты.
 
Ответ: 4.

11.

11.

Смешали  некоторое  количество  20-процентного  раствора  некоторого  вещества  с  таким  же  количеством  14-

процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение

Решение..

Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна 

 Пусть масса получившегося раствора 

Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

 
Ответ: 17.

12.

12.

Найдите наи​мень​шее зна​че​ние функ​ции 

 на от​рез​ке [−2; 2].

Решение

Решение..

Найдем  производную  заданной  функции: 

  Производная  обращается  в  0  в  точке  0,

являющейся точкой минимума и лежащей на отрезке [−2; 2].  Поэтому наименьшим значением функции на этом отрезке
является 
 
Ответ: 5.

13.

13.

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения на интервале 

2019-02-15

3/6

)

Решение

Решение..

Последовательно получаем:

 

Корни,  принадлежащие  заданному  промежутку,  отбираем  на  тригонометрической

окружности (см. рис.). Находим: 

 

 

 

 

Ответ: а) 

 б) 

14.

14.

На ребре AA

1

 прямоугольного параллелепипеда 

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

 взята точка 

E

 так, что 

A

1

E

 : 

EA

 = 2 : 3, на ребре 

BB

1

— точка 

F

 так, что 

B

1

F

 : 

FB

 = 1 : 4, а точка 

T

 — середина ребра 

B

1

C

1

. Известно, что 

AB

 = 3, 

AD

 = 4, 

AA

1

 = 10.

а) Докажите, что плоскость 

EFT

 проходит через вершину 

D

1

.

б) Найдите угол между плоскостью 

EFT

 и плоскостью 

BB

1

C

1

.

Решение

Решение..

а)  В  плоскости 

AA

1

D

1

  проведём  через  точку 

E

  прямую,  параллельную 

TF

.  Пусть  она

пересекает  ребро 

A

1

D

1

  или  его  продолжение  в  точке 

G

.  Плоскость 

EFT

  проходит  через

точку 

G

.  Треугольник 

EGA

1

  подобен  равнобедренному  треугольнику 

FTB

1

,  в  котором

FB

1

 = 

B

1

T

 = 2. Отсюда 

EA

1

 = 

A

1

G

 = 4, значит, точка 

G

 совпадает с точкой 

D

1

.

б)  В  плоскости 

BB

1

C

1

  из  точки 

B

1

  опустим  перпендикуляр 

B

1

K

  на  отрезок 

FT

.  В

плоскости 

EFT

 из точки 

K

 проведём перпендикуляр к 

FT

, который пересекает 

ED

1

 в точке

L

. Тогда 

B

1

KL

 — угол между плоскостью 

EFT

 и плоскостью 

BB

1

C

1

 или смежный с ним.

Из равнобедренного треугольника 

FB

1

T

находим

Из равнобедренной трапеции 

EFTD

1

 находим

Точка 

L

  —  середина  отрезка 

ED

1

,  поэтому  она  удалена  от  сторон 

AA

1

  и 

AD

1

  параллелепипеда  на  1.  Значит, 

B

1

L

является диагональю параллелепипеда со сторонами 2, 2 и 3. Отсюда 

 Из теоремы косинусов для треугольника

B

1

KL

 находим

 

Ответ: б) 

15.

15.

Решите неравенство 

2019-02-15

4/6

)

Решение

Решение..

Покажем, что наибольшее значение левой части неравенства равно 1. Действительно,

В силу тождества 

 имеем:

Поскольку  левая  часть  не  больше  1,  а  правая  равна  1,  неравенство  выполнено  тогда  и  только  тогда,  когда  оба

множителя равны 1, откуда

 

Ответ: 3.

16.

16.

В остроугольном треугольнике 

KMN

 проведены высоты 

KB

 и 

NA

.

а) Докажите, что угол 

ABK

 равен углу 

ANK

.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 

ABM

, если известно, что 

 и 

Решение

Решение..

а) Углы 

NAK

 и 

NBK

, опирающиеся на отрезок 

KN

, равны, значит, точки 

A, B, N

  и 

K

 лежат на

одной  окружности,  а,  следовательно,  равны  и  вписанные  углы 

ABK

  и 

ANK

  этой  окружности,

опирающиеся на дугу 

AK

, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники 

KMB

 и 

NMA

 имеют общий угол 

KMN

, следовательно, они

подобны,  откуда 

  или 

  но  тогда  и  треугольники 

KMN

  и 

BMA

  также

подобны, причем коэффициент подобия равен 

 откуда

Тогда радиус 

R

 окружности, описанной около треугольника 

ABM

 равен

 

Ответ: 

17.

17.

Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн.руб. Вася может купить ее в кредит, при этом банк готов

выдать  эту  сумму  сразу,  а  погашать  кредит  Васе  придется  20  лет  равными  ежемесячными  платежами,  при  этом  ему
придется  выплатить  сумму,  на  180%  превышающую  исходную.  Вместо  этого,  Вася  может  какое-то  время  снимать
квартиру  (стоимость  аренды  ―  15  тыс.  руб.  в  месяц),  откладывая  каждый  месяц  на  покупку  квартиры  сумму,  которая
останется  от  его  возможного  платежа  банку  (по  первой  схеме)  после  уплаты  арендной  платы  за  съемную  квартиру.  За
какое время в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не изменится?

Решение

Решение..

Пусть  Вася  купил  квартиру  в  кредит.  Тогда  он  должен  погасить  кредит  за  20  лет,  то  есть  за  240  одинаковых

ежемесячных платежей.  Сумма, которую он должен выплатить банку, по условию на 180% превышает исходные 3 млн.
руб., то есть равна 3000 · 2,8 = 8400 тыс. руб. Разделив эту сумму на 240, получаем ежемесячный платеж, равный 35 тыс.
руб.

Далее, если вместо этого Вася снимал квартиру, то после оплаты аренды у него будет оставаться ежемесячно 20 тыс.

руб. Тогда 3 млн. руб. Вася накопит за 3000 : 20 = 150 месяцев или за 12,5 лет.
 
Ответ: 12,5 лет.

18.

18.

При каких значениях параметров 

а

 и 

b

 система 

 имеет бесконечно много решений?

2019-02-15

5/6

)

Решение

Решение..

На координатной плоскости 

хОу

 множество точек 

, удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые.

А  тогда  решением  системы  будут  точки  пересечения  этих  прямых.  Поэтому  исходная  система  будет  иметь  бесконечное
множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. Заметим при этом, что вне зависимости от
значений параметров первое уравнение системы задаёт не горизонтальную прямую (коэффициент перед   не равен нулю),
а второе − не вертикальную (коэффициент перед   не равен нулю), значит оба уравнения в системе можно привести к виду

. В общем случае две прямые, заданные уравнениями 

 и 

 совпадают, если, 

 и 

(при 

  они  имеют  одну  точку  пересечения,  при 

  и 

  точек  пересечения  у  них  нет).  Следовательно,

система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

,

где 

 и 

 

Решая систему, получаем 

 

Ответ: 

19.

19.

На  доске  написали  несколько  не  обязательно  различных  двузначных  натуральных  чисел  без  нулей  в  десятичной

записи.  Сумма  этих  чисел  оказалась  равной  264.  Затем  в  каждом  числе  поменяли  местами  первую  и  вторую  цифры
(например, число 17 заменили на число 71).

а)  Приведите  пример  исходных  чисел,  для  которых  сумма  получившихся  чисел  ровно  в  4  раза  больше,  чем  сумма

исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение

Решение..

а) Пусть первоначально на доске 11 раз было записано число 19 и один раз число 55. Тогда сумма этих чисел равна

264. После перестановки цифр на доске 11 раз оказалось записано число 91 и один раз число 55. Сумма этих чисел равна
1056 = 4 · 264.

б)  Пусть  на  доске  были  написаны  двузначные  числа 

  Обозначим 

  По

условию 

  и 

  Тогда разность этих чисел равна 

  Но левая часть последнего

равенства делится на 9, а правая не делится. Значит, такая ситуация невозможна.

в)  Пусть  на  доске  были  написаны  двузначные  числа 

  Обозначим 

  По

условию 

 и нужно найти наибольшее значение числа 

 Тогда

 

 

Таким  образом,  необходимо  найти  наименьшее  возможное  значение  числа 

A

.  Поскольку 

получаем 

 Поэтому 

 откуда 

 то есть 

 Значит,

 

 

Приведём пример, показывающий, что число S действительно может быть равным 1254. Пусть первоначально на доске

13 раз было записано число 19 и один раз число 17. Тогда сумма этих чисел равна 264. После перестановки цифр на доске
13 раз оказалось записано число 91 и один раз число 71. Сумма этих чисел равна 1254.
 
Ответ: а) да, например, 11 раз число 19 и один раз число 55; б) нет; в) 1254.

2019-02-15

6/6

)

 

 

 

 

 

 

 

////////////////////