Physics For Scientists And Engineers 6E - part 317

S E C T I O N   3 9 . 6 •  The Lorentz Velocity Transformation Equations

1265

Note  that  u"

y

and  u"

z

do  not  contain  the  parameter  v in  the  numerator  because  the

relative velocity is along the x axis.

When  v is  much  smaller  than  c (the  nonrelativistic  case),  the  denominator  of

Equation  39.16  approaches  unity,  and  so  u"

x

% u

x

#

v,  which  is  the  Galilean  velocity

transformation equation. In another extreme, when u

x

!

c, Equation 39.16 becomes

From this result, we see that a speed measured as c by an observer in S is also measured
as c by an observer in S"—independent of the relative motion of S and S". Note that
this conclusion is consistent with Einstein’s second postulate—that the speed of light
must be c relative to all inertial reference frames. Furthermore, we find that the speed
of an object can never be measured as larger than c. That is, the speed of light is the
ultimate speed. We return to this point later.

To obtain u

x

in terms of u"

x

, we replace v by # v in Equation 39.16 and interchange

the roles of u

x

and u"

x

:

(39.18)

u

x

!

u

 

"

x

&

v

1 &

u

 

"

x 

v

c

 

2

u

 

"

x

!

c # v

1 #

c

 

v

c

 

2

!

c 

 

"

1 #

v

c

#

1 #

v

c

!

c

Two  spacecraft  A and B  are moving  in opposite  directions,
as  shown  in  Figure  39.15.  An  observer  on  the  Earth
measures the speed of craft A to be 0.750c and the speed of
craft B to be 0.850c. Find the velocity of craft B as observed
by the crew on craft A.

Solution To  conceptualize  this  problem,  we  carefully
identify  the  observers  and  the  event.  The  two  observers
are  on  the  Earth  and  on  spacecraft  A.  The  event  is  the
motion of spacecraft B. Because the problem asks to find
an  observed  velocity,  we  categorize  this  problem  as  one
requiring  the  Lorentz  velocity  transformation.  To  analyze
the  problem,  we  note  that  the  Earth  observer  makes  two
measurements,  one  of  each  spacecraft.  We  identify  this
observer  as  being  at  rest  in  the  S  frame.  Because  the
velocity  of  spacecraft  B  is  what  we  wish  to  measure,  we
identify  the  speed  u

x

as  # 0.850c.  The  velocity  of

spacecraft  A  is  also  the  velocity  of  the  observer  at  rest  in
the  S" frame,  which  is  attached  to  the  spacecraft,  relative
to  the  observer  at  rest  in  S.  Thus,  v ! 0.750c.  Now  we
can obtain  the  velocity  u"

x

of  craft  B  relative  to  craft  A

by using Equation 39.16:

▲

PITFALL PREVENTION 

39.5 What Can the

Observers Agree On?

We  have  seen  several  measure-
ments  that  the  two  observers  O
and  O" do  not  agree  on:  (1)  the
time  interval  between  events  that
take place in the same position in
one of the frames, (2) the distance
between  two  points  that  remain
fixed  in  one  of  their  frames,
(3) the  velocity  components  of  a
moving  particle,  and  (4)  whether
two  events  occurring  at  different
locations in both frames are simul-
taneous or not. Note that the two
observers  can agree  on  (1)  their
relative  speed  of  motion  v with
respect  to  each  other,  (2)  the
speed  c of  any  ray  of  light,  and
(3) the  simultaneity  of  two  events
which take place at the same posi-
tion and time in some frame.

Quick Quiz 39.8

You are driving on a freeway at a relativistic speed. Straight

ahead of you, a technician standing on the ground turns on a searchlight and a beam
of light moves exactly vertically upward, as seen by the technician. As you observe the
beam of light, you measure the magnitude of the vertical component of its velocity as
(a) equal to c (b) greater than c (c) less than c.

Quick  Quiz  39.9

Consider  the  situation  in  Quick  Quiz  39.8  again.  If  the

technician  aims  the  searchlight  directly  at  you  instead  of  upward,  you  measure  the
magnitude of the horizontal component of its velocity as (a) equal to c (b) greater than
c (c) less than c.

S

′ (attached to A)

y

′

0.750c

–0.850c

B

A

x

′

O

′

S (attached

to the Earth)

y

x

O

Figure 39.15 (Example 39.7) Two spacecraft A and B move in

opposite directions. The speed of B relative to A is less than c and

is obtained from the relativistic velocity transformation equation.

Example 39.7 Relative Velocity of Two Spacecraft

1266

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

Example 39.9 Relativistic Leaders of the Pack

Interactive

Example 39.8 The Speeding Motorcycle

To finalize this problem, note that the negative sign indicates
that craft B is moving in the negative x direction as observed
by the crew on craft A. Is this consistent with your expectation
from Figure 39.15? Note that the speed is less than c. That is,
an object whose speed is less than c in one frame of reference
must  have  a  speed  less  than  c in  any  other  frame.  (If
the Galilean  velocity  transformation  equation  were  used  in

#

 

0.977c

!

u

 

"

x

!

u

x

#

v

1 #

u

x

 

v

c

 

2

!

#

 

0.850c # 0.750c

1 #

(#

 

0.850c)(0.750c)

c

 

2

this  example,  we  would  find  that  u "

x

!

u

x

#

v ! # 0.850c #

0.750c ! # 1.60c, which is impossible. The Galilean transfor-
mation equation does not work in relativistic situations.)

What If?

What if the two spacecraft pass each other? Now

what is their relative speed?

Answer The calculation using Equation 39.16 involves only
the velocities of the two spacecraft and does not depend on
their  locations.  After  they  pass  each  other,  they  have  the
same velocities, so the velocity of craft B as observed by the
crew  on  craft  A  is  the  same,  # 0.977c.  The  only  difference
after  they  pass  is  that  B  is  receding  from  A  whereas  it  was
approaching A before it passed.

Imagine  a  motorcycle  moving  with  a  speed  0.80c past  a
stationary  observer,  as  shown  in  Figure  39.16.  If  the  rider

tosses a ball in the forward direction with a speed of 0.70c
relative  to  himself,  what  is  the  speed  of  the  ball  relative  to
the stationary observer?

Solution The  speed  of  the  motorcycle  relative  to  the
stationary observer is v ! 0.80c. The speed of the ball in the
frame of reference of the motorcyclist is u"

x

!

0.70c. There-

fore,  the  speed  u

x

of  the  ball  relative  to  the  stationary

observer is

0.96c

u

x

!

u

 

"

x

&

v

1 &

u

 

"

x

 

v

c

 

2

!

0.70c & 0.80c

1 &

(0.70c)(0.80c)

c

 

2

!

Two  motorcycle  pack  leaders  named  David  and  Emily  are
racing  at  relativistic  speeds  along  perpendicular  paths,  as
shown in Figure 39.17. How fast does Emily recede as seen
by David over his right shoulder?

Solution Figure  39.17  represents  the  situation  as  seen
by a  police  officer  at  rest  in  frame  S,  who  observes  the

following:

David:

u

x

!

0.75c

u

y

!

0

Emily:

u

x

!

0

u

y

! #

0.90c

To calculate Emily’s speed of recession as seen by David, we
take S" to move along with David and then calculate u"

x

and

z

y

x

0.90c

Emily

David

0.75c

Police officer at

rest in S

0.70c

0.80c

Figure 39.16 (Example 39.8) A motorcyclist moves past a

stationary observer with a speed of 0.80c and throws a ball in

the direction of motion with a speed of 0.70c relative to himself.

Figure 39.17 (Example 39.9) David moves

to the east with a speed 0.75c relative to the

police officer, and Emily travels south at a

speed 0.90c relative to the officer.

39.7 Relativistic Linear Momentum and

the Relativistic Form of Newton’s Laws

We  have  seen  that  in  order  to  describe  properly  the  motion  of  particles  within
the framework  of  the  special  theory  of  relativity,  we  must  replace  the  Galilean
transformation equations by the Lorentz transformation equations. Because the laws
of  physics  must  remain  unchanged  under  the  Lorentz  transformation,  we  must
generalize  Newton’s  laws  and  the  definitions  of  linear  momentum  and  energy  to
conform  to  the  Lorentz  transformation  equations  and  the  principle  of  relativity.
These generalized definitions should reduce to the classical (nonrelativistic) defini-
tions for v (( c.

First, recall that the law of conservation of linear momentum states that when two

particles (or objects that can be modeled as particles) collide, the total momentum
of the isolated system of the two particles remains constant. Suppose that we observe
this collision in a reference frame S and confirm that the momentum of the system
is conserved.  Now  imagine  that  the  momenta  of  the  particles  are  measured  by  an
observer  in  a  second  reference  frame  S" moving  with  velocity 

v relative  to

the first frame. Using the Lorentz velocity transformation equation and the classical
definition  of  linear  momentum, 

p ! mu (where  u is  the  velocity  of  a  particle),

we find that linear momentum is not measured to be conserved by the observer in S".
However,  because  the  laws  of  physics  are  the  same  in  all  inertial  frames,  linear
momentum of the system must be conserved in all frames. We have a contradiction.
In view of this contradiction and assuming that the Lorentz velocity transformation
equation is correct, we must modify the definition of linear momentum to satisfy the
following conditions:

• The linear momentum of an isolated system must be conserved in all collisions.
• The  relativistic  value  calculated  for  the  linear  momentum 

p of  a  particle  must

approach the classical value m

u as u approaches zero.

For  any  particle,  the  correct  relativistic  equation  for  linear  momentum  that  satisfies
these conditions is

(39.19)

where 

u is the velocity of the particle and m is the mass of the particle. When u is much

less than c, * ! (1 # u

2

/c

2

)

#

1/2

approaches unity and 

p approaches mu. Therefore,

p ' 

m

 

u

√

1 #

u

2

c

 

2

!

*

m

 

u

S E C T I O N   3 9 . 7 •  Relativistic Linear Momentum and the Relativistic Form of Newton’s Laws

1267

▲

PITFALL PREVENTION 

39.6 Watch Out for

“Relativistic Mass”

Some  older  treatments  of  rela-
tivity  maintained  the  conserva-
tion  of  momentum  principle  at
high speeds by using a model in
which  the  mass  of  a  particle
increases  with  speed.  You  might
still  encounter  this  notion  of
“relativistic  mass”  in  your
outside  reading,  especially  in
older  books.  Be  aware  that  this
notion  is  no  longer  widely  ac-
cepted  and  mass  is  considered
as  invariant,  independent  of
speed. The mass of an object in
all  frames  is  considered  to  be
the  mass  as  measured  by  an
observer  at  rest  with  respect  to
the object.

u"

y

for Emily using Equations 39.16 and 39.17:

 ! #

 

0.60c

u

 

"

y

!

u

y

 * 

"

1 #

u

x

 

v

c

 

2

#

!

√

1 #

(0.75c)

2

c

2

 (#0.90c)

"

1 #

(0)(0.75c)

c

 

2

#

u

 

"

x

!

u

x

#

v

1 #

u

x

 

v

c

 

2

!

0 # 0.75c

1 #

(0)(0.75c)

c

 

2

! #

 

0.75c

Thus, the speed of Emily as observed by David is

Note that this speed is less than c, as required by the special
theory of relativity.

0.96c

!

u" !

√

(u"

x

)

2

&

(u"

y

)

2

!

√

(#0.75c)

2

&

(#0.60c)

2

Investigate  this  situation  with  various  speeds  of  David  and  Emily  at  the  Interactive  Worked  Example  link  at
http://www.pse6.com.

Definition of relativistic linear

momentum

the relativistic equation for 

p does indeed reduce to the classical expression when u is

much smaller than c.

The  relativistic  force 

F acting  on  a  particle  whose  linear  momentum  is  p is

defined as

(39.20)

where 

p is given by Equation 39.19. This expression, which is the relativistic form of

Newton’s second law, is reasonable because it preserves classical mechanics in the limit
of  low  velocities  and  is  consistent  with  conservation  of  linear  momentum  for  an  iso-
lated system (

F ! 0) both relativistically and classically.

It is left as an end-of-chapter problem (Problem 69) to show that under relativistic

conditions,  the  acceleration 

a of  a  particle  decreases  under  the  action  of  a  constant

force, in which case a . (1 # u

2

/c

2

)

3/2

. From this proportionality, we see that as the

particle’s speed approaches c, the acceleration caused by any finite force approaches
zero. Hence, it is impossible to accelerate a particle from rest to a speed u / c. This
argument shows that the speed of light is the ultimate speed, as noted at the end of the
preceding section.

F ' 

d

 

p

dt

1268

C H A P T E R   3 9 •  Relativity

SPEED

LIMIT

3$10

8

m/s

The speed of light is the speed limit

of the Universe. It is the maximum

possible speed for energy transfer

and for information transfer. Any

object with mass must move at a

lower speed.

An  electron,  which  has  a  mass  of  9.11 $ 10

#

31

kg,  moves

with  a  speed  of  0.750c.  Find  its  relativistic  momentum  and
compare this value with the momentum calculated from the
classical expression.

Solution Using Equation 39.19 with u ! 0.750c, we have

p !

(9.11 $ 10

#

31

 kg)(0.750)(3.00 $ 10

8

 m/s)

√

1 #

(0.750c)

2

c

 

2

p !

m

e

u

√

1 #

u

2

c

 

2

The classical expression (used incorrectly here) gives

p

classical

!

m

e

u ! 2.05 $ 10

#

22

kg 0 m/s

Hence, the correct relativistic result is 50% greater than the
classical result!

3.10 $ 10

#

22

 kg0m/s

p !

Example 39.10 Linear Momentum of an Electron

39.8 Relativistic Energy

We have seen that the definition of linear momentum requires generalization to make
it compatible with Einstein’s postulates. This implies that most likely the definition of
kinetic energy must also be modified.

To derive the relativistic form of the work–kinetic energy theorem, let us imagine a

particle moving in one dimension along the x axis. A force in the x direction causes the
momentum of the particle to change according to Equation 39.20. The work done by
the force F on the particle is

(39.21)

In order to perform this integration and find the work done on the particle and the
relativistic kinetic energy as a function of u, we first evaluate dp/dt:

dp

dt

!

d

dt

 

mu

√

1 #

u

2

c

 

2

!

m(du/dt)

"

1 #

u

2

c

 

2

#

3/2

W !

(

x

2

x

1

 F dx !

(

x

2

x

1

 

 

dp

dt

 dx