Physics For Scientists And Engineers 6E - part 303

S E C T I O N   3 8 . 2 •  Diffraction Patterns from Narrow Slits

1209

Quick Quiz 38.1

Suppose the slit width in Figure 38.6 is made half as wide.

The central bright fringe (a) becomes wider (b) remains the same (c) becomes narrower.

Quick Quiz 38.2

If a classroom door is open slightly, you can hear sounds

coming from the hallway. Yet you cannot see what is happening in the hallway. Why is
there this difference? (a) Light waves do not diffract through the single slit of the open
doorway. (b) Sound waves can pass through the walls, but light waves cannot. (c) The
open door is a small slit for sound waves, but a large slit for light waves. (d) The open
door is a large slit for sound waves, but a small slit for light waves.

θ

sin   

dark

 = 2

  /a

sin   

dark

 = 

  /a

sin   

dark

 = –

  /a

sin   

dark

 = –2

  /a

L

a

0

y

2

y

1

– y

1

– y

2

Viewing screen

θ

θ

θ

θ

λ

λ

λ

λ

Figure 38.6 Intensity distribution for a

Fraunhofer diffraction pattern from a

single slit of width a. The positions of two

minima on each side of the central

maximum are labeled. (Drawing not to

scale.)

Example 38.1 Where Are the Dark Fringes?

Light  of  wavelength  580 nm  is  incident  on  a  slit  having  a
width  of  0.300 mm.  The  viewing  screen  is  2.00 m  from  the
slit. Find the positions of the first dark fringes and the width
of the central bright fringe.

Solution The problem statement cues us to conceptualize
a single-slit diffraction pattern similar to that in Figure 38.6.
We  categorize  this  as  a  straightforward  application  of  our
discussion  of  single-slit  diffraction  patterns.  To  analyze  the
problem,  note  that  the  two  dark  fringes  that  flank  the
central  bright  fringe  correspond  to  m " # 1  in  Equation
38.1. Hence, we find that

From the triangle in Figure 38.6, note that tan !

dark

"

y

1

/L.

Because  !

dark

is  very  small,  we  can  use  the  approximation

sin !

dark

! tan !

dark

; thus, sin !

dark

! y

1

/L. Therefore, the

positions of the first minima measured from the central axis
are given by

The  positive  and  negative  signs  correspond  to  the  dark
fringes  on  either  side  of  the  central  bright  fringe.  Hence,
the  width  of  the  central  bright  fringe  is  equal  to  2

"y

1

" "

7.74 & 10

'

3

m "

To  finalize  this  problem,

7.74 mm.

#

3.87 & 10

'

3

 m

"

y

 

1

! L sin !

 

dark

"

(2.00 m)(#1.933 & 10

'

3

)

sin !

 

dark

" #

%
a

" #

5.80 & 10

'

7

 m

0.300 & 10

'

3

 m

" #

1.933 & 10

'

3

note  that  this  value  is  much  greater  than  the  width  of  the
slit.  We  finalize  further  by  exploring  what  happens  if  we
change the slit width.

What  If?

What  if  the  slit  width  is  increased  by  an  order

of magnitude  to  3.00 mm?  What  happens  to  the  diffraction
pattern?

Answer Based on Equation 38.1, we expect that the angles
at which the dark bands appear will decrease as a increases.
Thus, the diffraction pattern narrows. For a " 3.00 mm, the
sines of the angles !

dark

for the m " # 1 dark fringes are

The positions of the first minima measured from the central
axis are given by

and the width of the central bright fringe is equal to 2

"y

1

" "

7.74 & 10

'

4

m " 0.774 mm.  Notice  that  this  is  smaller than

the width of the slit.

In general, for large values of a, the various maxima and

minima are so closely spaced that only a large central bright
area resembling the geometric image of the slit is observed.
This is very important in the performance of optical instru-
ments such as telescopes.

 " #3.87 & 10

'

4

 m

y

 

1

! L sin !

 

dark

"

(2.00 m)(#1.933 & 10

'

4

)

sin !

 

dark

" #

%
a

" #

5.80 & 10

'

7

 m

3.00 & 10

'

3

 m

" #

1.933 & 10

'

4

Investigate the single-slit diffraction pattern at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Interactive

Intensity of Single-Slit Diffraction Patterns

We can use phasors to determine the light intensity distribution for a single-slit dif-
fraction pattern. Imagine a slit divided into a large number of small zones, each of
width (y as shown in Figure 38.7. Each zone acts as a source of coherent radiation,
and each contributes an incremental electric field of magnitude (E at some point
on  the  screen.  We  obtain  the  total  electric  field  magnitude  E at  a  point  on  the
screen by summing the contributions from all the zones. The light intensity at this
point  is  proportional  to  the  square  of  the  magnitude  of  the  electric  field  (Section
37.3).

The incremental electric field magnitudes between adjacent zones are out of phase

with one another by an amount (), where the phase difference () is related to the
path difference (y sin! between adjacent zones by an expression given by an argument
similar to that leading to Equation 37.8:

(38.2)

To find the magnitude of the total electric field on the screen at any angle !, we

sum the incremental magnitudes (E due to each zone. For small values of !, we can
assume that all the (E values are the same. It is convenient to use phasor diagrams for
various angles, as in Figure 38.8. When ! " 0, all phasors are aligned as in Figure 38.8a
because all the waves from the various zones are in phase. In this case, the total electric
field at the center of the screen is E

0

"

N (E, where N is the number of zones. The

resultant  magnitude  E

R

at  some  small  angle  ! is  shown  in  Figure  38.8b,  where  each

phasor differs in phase from an adjacent one by an amount (). In this case, E

R

is the

(

) "

2*

%

 (y sin !

1210

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

P

a

∆y

∆y sin

Viewing

screen

θ

θ

Figure 38.7 Fraunhofer diffraction

pattern for a single slit. The light inten-

sity at a distant screen is the resultant

of all the incremental electric field

magnitudes from zones of width (y.

= 3

β

π

E

R

(a)

(b)

(c)

(d)

E

R

E

R

= 0

β

= 2

β

π

Figure 38.8 Phasor diagrams for obtaining the various maxima and minima of a

single-slit diffraction pattern.

vector  sum  of  the  incremental  magnitudes  and  hence  is  given  by  the  length  of  the
chord. Therefore, E

R

+

E

0

. The total phase difference ) between waves from the top

and bottom portions of the slit is

(38.3)

where a " N (y is the width of the slit.

As  ! increases,  the  chain  of  phasors  eventually  forms  the  closed  path  shown  in

Figure 38.8c. At this point, the vector sum is zero, and so E

R

"

0, corresponding to the

first minimum on the screen. Noting that ) " N () " 2* in this situation, we see from
Equation 38.3 that

That is, the first minimum in the diffraction pattern occurs where sin!

dark

"

%

/a; this

is in agreement with Equation 38.1.

At  larger  values  of  !,  the  spiral  chain  of  phasors  tightens.  For  example,  Figure

38.8d  represents  the  situation  corresponding  to  the  second  maximum,  which  occurs
when ) " 360° , 180° " 540° (3* rad). The second minimum (two complete circles,
not shown) corresponds to ) " 720° (4* rad), which satisfies the condition sin!

dark

"

2%/a.

We can obtain the total electric-field magnitude E

R

and light intensity I at any point

on  the  screen  in  Figure  38.7  by  considering  the  limiting  case  in  which  (y becomes
infinitesimal (dy) and N approaches -. In this limit, the phasor chains in Figure 38.8
become  the  curve  of  Figure  38.9.  The  arc  length  of  the  curve  is  E

0

because  it  is

the sum of the magnitudes of the phasors (which is the total electric field magnitude at
the center of the screen). From this figure, we see that at some angle !, the resultant
electric  field  magnitude  E

R

on  the  screen  is  equal  to  the  chord  length.  From  the

triangle containing the angle )/2, we see that

where R is the radius of curvature. But the arc length E

0

is equal to the product R),

where ) is measured in radians. Combining this information with the previous expres-
sion gives

Because the resultant light intensity I at a point on the screen is proportional to the
square of the magnitude E

R

, we find that

(38.4)

where I

max

is the intensity at ! " 0 (the central maximum). Substituting the expression

for ) (Eq. 38.3) into Equation 38.4, we have

(38.5)

From this result, we see that minima occur when

*

a sin!

 

dark

%

"

m*

I " I

 

max

 

#

sin(*a sin!/%)

*

a sin!/%

$

2

I " I

 

max

 

#

sin()/2)

)

/2

$

2

E

R

"

2R sin 

)

2

"

2 

%

E

0

)

&

 sin

 

)

2

"

E

0 

#

sin()/2)

)

/2

$

sin 

)

2

"

E

R

 

/2

R

sin!

 

dark

"

%
a

2* "

2*

%

 a sin!

 

dark

) " .

 () "

2*

%

 . (y sin! "

2*

%

 a sin!

S E C T I O N   3 8 . 2 •  Diffraction Patterns from Narrow Slits

1211

R

R

O

β

/2

β

E

R

/2

E

R

θ

Figure 38.9 Phasor diagram for a

large number of coherent sources.

All the ends of the phasors lie on

the circular arc of radius R. The

resultant electric field magnitude

E

R

equals the length of the chord.

Intensity of a single-slit

Fraunhofer diffraction pattern

or

in agreement with Equation 38.1.

Figure  38.10a  represents  a  plot  of  Equation  38.4,  and  Figure  38.10b  is  a  photo-

graph of a single-slit Fraunhofer diffraction pattern. Note that most of the light inten-
sity is concentrated in the central bright fringe.

m " #1, #2, #3,

  $  $  $

sin !

 

dark

"

m 

 

%
a

1212

C H A P T E R   3 8 •  Diffraction Patterns and Polarization

(a)

I

max

I

2

I

1

I

1

I

2

_3 _2

2

3

π

_π

/2

I

β

π

π

π

π

(b)

Figure 38.10 (a) A plot of light

intensity I versus 

)

/2 for the

single-slit Fraunhofer diffraction

pattern. (b) Photograph of a

single-slit Fraunhofer diffraction

pattern.

M. Cagnet, M. Francon, and J. C. Thierr

Example 38.2 Relative Intensities of the Maxima

Find the ratio of the intensities of the secondary maxima to
the  intensity  of  the  central  maximum  for  the  single-slit
Fraunhofer diffraction pattern.

Solution To a good approximation, the secondary maxima
lie  midway  between  the  zero  points.  From  Figure  38.10a,
we see  that  this  corresponds  to  )/2  values  of  3*/2,  5*/2,
7*/2, .  .  .  .  Substituting  these  values  into  Equation  38.4
gives for the first two ratios

0.045

I

 

1

I

 

max

"

 

#

sin(3*/2)

(3*/2)

$

2

"

1

9*

2

/4

"

That  is,  the  first  secondary  maxima  (the  ones  adjacent  to
the central maximum) have an intensity of 4.5% that of the
central maximum, and the next secondary maxima have an
intensity of 1.6% that of the central maximum.

0.016

I

 

2

I

 

max

"

 

#

sin(5*/2)

5*/2

$

2

"

1

25*

2

/4

"

Intensity of Two-Slit Diffraction Patterns

When more than one slit is present, we must consider not only diffraction patterns due
to the individual slits but also the interference patterns due to the waves coming from
different  slits.  Notice  the  curved  dashed  lines  in  Figure  37.14,  which  indicate  a
decrease in intensity of the interference maxima as ! increases. This decrease is due
to a  diffraction  pattern.  To  determine  the  effects  of  both  two-slit  interference  and  a
single-slit diffraction pattern from each slit, we combine Equations 37.12 and 38.5:

(38.6)

Although  this  expression  looks  complicated,  it  merely  represents  the  single-slit
diffraction pattern (the factor in square brackets) acting as an “envelope” for a two-slit

I " I

 

max

 cos

2 

%

*

d sin !

%

&

 

#

sin(*a sin !/%)

*

a sin !/%

$

2

Condition for intensity minima

for a single slit