Physics For Scientists And Engineers 6E - part 298

S E C T I O N   37. 6 •  Interference in Thin Films

1189

the two-slit interference pattern. Instead, we observe a dark fringe at point P+. From
this, we conclude that a 180° phase change must be produced by reflection from the
mirror.  In  general, 

an  electromagnetic  wave  undergoes  a  phase  change  of  180°

upon reflection from a medium that has a higher index of refraction than the
one in which the wave is traveling.

It is useful to draw an analogy between reflected light waves and the reflections of

a transverse wave pulse on a stretched string (Section 16.4). The reflected pulse on a
string  undergoes  a  phase  change  of  180° when  reflected  from  the  boundary  of
a denser  medium,  but  no  phase  change  occurs  when  the  pulse  is  reflected  from  the
boundary of a less dense medium. Similarly, an electromagnetic wave undergoes a 180°
phase change when reflected from a boundary leading to an optically denser medium
(defined as a medium with a higher index of refraction), but no phase change occurs
when  the  wave  is  reflected  from  a  boundary  leading  to  a  less  dense  medium.  These
rules, summarized in Figure 37.16, can be deduced from Maxwell’s equations, but the
treatment is beyond the scope of this text.

37.6 Interference in Thin Films

Interference effects are commonly observed in thin films, such as thin layers of oil on
water or the thin surface of a soap bubble. The varied colors observed when white light
is incident on such films result from the interference of waves reflected from the two
surfaces of the film.

Consider a film of uniform thickness t and index of refraction n, as shown in Figure

37.17.  Let  us  assume  that  the  light  rays  traveling  in  air  are  nearly  normal  to  the  two
surfaces of the film. To determine whether the reflected rays interfere constructively or
destructively, we first note the following facts:

• A  wave  traveling  from  a  medium  of  index  of  refraction  n

1

toward  a  medium  of

index  of  refraction  n

2

undergoes  a  180° phase  change  upon  reflection  when

n

2

'

n

1

and undergoes no phase change if n

2

2

n

1

.

• The wavelength of light &

n

in a medium whose index of refraction is n (see Section

35.5) is

(37.14)

where & is the wavelength of the light in free space.

&

n

#

&
n

Rigid support

String analogy

180

° phase change

n

1

n

1

n

2

n

2

<

(a)

Free support

No phase change

n

1

n

1

n

2

n

2

>

(b)

Figure 37.16 (a) For n

1

2

n

2

, a light ray traveling in medium 1 when reflected from

the surface of medium 2 undergoes a 180° phase change. The same thing happens with

a reflected pulse traveling along a string fixed at one end. (b) For n

1

'

n

2

, a light ray

traveling in medium 1 undergoes no phase change when reflected from the surface of

medium 2. The same is true of a reflected wave pulse on a string whose supported end

is free to move.

No phase

change

Air

180

° phase

change

1

2

A

t

Film

Air

B

3

4

Figure 37.17 Interference in light

reflected from a thin film is due

to a combination of rays 1 and 2

reflected from the upper and lower

surfaces of the film. Rays 3 and 4

lead to interference effects for light

transmitted through the film.

1190

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

Let  us  apply  these  rules  to  the  film  of  Figure  37.17,  where  n

film

'

n

air

.  Reflected

ray 1, which is reflected from the upper surface (A), undergoes a phase change of 180°
with  respect  to  the  incident  wave.  Reflected  ray  2,  which  is  reflected  from  the  lower
film  surface  (B),  undergoes  no  phase  change  because  it  is  reflected  from  a  medium
(air) that has a lower index of refraction. Therefore, ray 1 is 180° out of phase with ray
2, which is equivalent to a path difference of &

n

/2. However, we must also consider that

ray 2 travels an extra distance 2t before the waves recombine in the air above surface A.
(Remember that we are considering light rays that are close to normal to the surface.
If the rays are not close to normal, the path difference is larger than 2t.) If 2t # &

n

/2,

then rays 1 and 2 recombine in phase, and the result is constructive interference. In
general, the condition for constructive interference in thin films is

2

(37.15)

This condition takes into account two factors: (1) the difference in path length for the
two  rays  (the  term  m&

n

)  and  (2)  the  180° phase  change  upon  reflection  (the  term

&

n

/2). Because &

n

#

&

/n, we can write Equation 37.15 as

(37.16)

If the extra distance 2t traveled by ray 2 corresponds to a multiple of &

n

, then the

two waves combine out of phase, and the result is destructive interference. The general
equation for destructive interference in thin films is

(37.17)

The  foregoing  conditions  for  constructive  and  destructive  interference  are  valid

when the medium above the top surface of the film is the same as the medium below
the bottom surface or, if there are different media above and below the film, the index
of refraction of both is less than n. If the film is placed between two different media,
one with n 2 n

film

and the other with n ' n

film

, then the conditions for constructive

and destructive interference are reversed. In this case, either there is a phase change
of 180° for both ray 1 reflecting from surface A and ray 2 reflecting from surface B, or
there is no phase change for either ray; hence, the net change in relative phase due to
the reflections is zero.

Rays  3  and  4  in  Figure  37.17  lead  to  interference  effects  in  the  light  transmitted

through  the  thin  film.  The  analysis  of  these  effects  is  similar  to  that  of  the  reflected
light. You are asked to explore the transmitted light in Problems 31, 36, and 37.

2nt # m

 

&

   

(m # 0, 1, 2,

 

  )  )  ))

2nt # (m (

1

2

)&

   

(m # 0, 1, 2,

 

  )  )  ))

2t # (m (

1

2

)&

n

   

(m # 0, 1, 2,

 

  )  )  ))

Conditions for destructive

interference in thin films

Conditions for constructive

interference in thin films

2

The  full  interference  effect  in  a  thin  film  requires  an  analysis  of  an  infinite  number  of

reflections back and forth between the top and bottom surfaces of the film. We focus here only

on a single reflection from the bottom of the film, which provides the largest contribution to the

interference effect.

Quick Quiz 37.6

In a laboratory accident, you spill two liquids onto water,

neither of which mixes with the water. They both form thin films on the water surface.
When the films become very thin as they spread, you observe that one film becomes
bright and the other dark in reflected light. The film that is dark (a) has an index of
refraction  higher  than  that  of  water  (b)  has  an  index  of  refraction  lower  than  that
of water (c) has an index of refraction equal to that of water (d) has an index of refrac-
tion lower than that of the bright film.

Quick  Quiz  37.7

One  microscope  slide  is  placed  on  top  of  another  with

their left edges in contact and a human hair under the right edge of the upper slide.
As  a  result,  a  wedge  of  air  exists  between  the  slides.  An  interference  pattern  results
when  monochromatic  light  is  incident  on  the  wedge.  At  the  left  edges  of  the  slides,
there is (a) a dark fringe (b) a bright fringe (c) impossible to determine.

▲

PITFALL PREVENTION 

37.4 Be Careful with Thin

Films

Be  sure  to  include  both effects—
path  length  and  phase  change—
when  analyzing  an  interference
pattern  resulting  from  a  thin
film.  The  possible  phase  change
is  a  new  feature  that  we  did  not
need  to  consider  for  double-slit
interference. Also think carefully
about the material on either side
of  the  film.  You  may  have  situa-
tions  in  which  there  is  a  180°
phase  change  at  both surfaces  or
at  neither surface,  if  there  are
different materials on either side
of the film.

S E C T I O N   37. 6 •  Interference in Thin Films

1191

Figure 37.18 (a) The combination of rays reflected from the flat plate and the

curved lens surface gives rise to an interference pattern known as Newton’s rings.

(b) Photograph of Newton’s rings.

Newton’s Rings

Another  method  for  observing  interference  in  light  waves  is  to  place  a  plano-convex
lens on top of a flat glass surface, as shown in Figure 37.18a. With this arrangement,
the  air  film  between  the  glass  surfaces  varies  in  thickness  from  zero  at  the  point  of
contact  to  some  value  t at  point  P.  If  the  radius  of  curvature  R of  the  lens  is  much
greater than the distance r, and if the system is viewed from above, a pattern of light
and  dark  rings  is  observed,  as  shown  in  Figure  37.18b.  These  circular  fringes,
discovered by Newton, are called 

Newton’s rings.

The  interference  effect  is  due  to  the  combination  of  ray  1,  reflected  from

the flat  plate,  with  ray  2,  reflected  from  the  curved  surface  of  the  lens.  Ray  1
undergoes  a  phase  change  of  180° upon  reflection  (because  it  is  reflected  from
a medium  of  higher  index  of  refraction),  whereas  ray  2  undergoes  no  phase
change (because  it  is  reflected  from  a  medium  of  lower  refractive  index).
Hence, the  conditions  for  constructive  and  destructive  interference  are  given
by Equations  37.16  and  37.17,  respectively,  with  n # 1  because  the  film  is  air.

(Left) Interference in soap bubbles. The colors are due to interference between

light rays reflected from the front and back surfaces of the thin film of soap

making up the bubble. The color depends on the thickness of the film, ranging

from black where the film is thinnest to magenta where it is thickest. (Right) A

thin film of oil floating on water displays interference, as shown by the pattern of

colors when white light is incident on the film. Variations in film thickness

produce the interesting color pattern. The razor blade gives you an idea of the

size of the colored bands.

Dr

. Jeremy Burgess/Science Photo Library

Peter Aprahamian/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.

r

2

1

(a)

P

O

R

Courtesy of Bausch and Lomb Optical Company

(b)

1192

C H A P T E R   37 •  Interference of Light Waves

Figure 37.19 This asymmetrical

interference pattern indicates

imperfections in the lens of a

Newton’s-rings apparatus.

From Physical Science Study Committee, College Physics, Lexington, MA, Heath, 1968.

The contact  point  at  O is  dark,  as  seen  in  Figure  37.18b,  because  there  is  no
path difference  and  the  total  phase  change  is  due  only  to  the  180° phase  change
upon reflection.

Using the geometry shown in Figure 37.18a, we can obtain expressions for the radii of

the bright and dark bands in terms of the radius of curvature R and wavelength &. For
example, the dark rings have radii given by the expression 

. The details are

left as a problem for you to solve (see Problem 62). We can obtain the wavelength of the
light causing the interference pattern by measuring the radii of the rings, provided R is
known. Conversely, we can use a known wavelength to obtain R.

One important use of Newton’s rings is in the testing of optical lenses. A circular

pattern like that pictured in Figure 37.18b is obtained only when the lens is ground to
a  perfectly  symmetric  curvature.  Variations  from  such  symmetry  might  produce  a
pattern like that shown in Figure 37.19. These variations indicate how the lens must be
reground and repolished to remove imperfections.

r

!

÷

m&R/n

P R O B L E M - S O LV I N G   H I N T S

Thin-Film Interference

You should keep the following ideas in mind when you work thin-film interference
problems:

•

Identify the thin film causing the interference.

•

The type of interference that occurs is determined by the phase
relationship between the portion of the wave reflected at the
upper surface of the film and the portion reflected at the
lower surface.

•

Phase differences between the two portions of the wave have two causes:
(1) differences in the distances traveled by the two portions and (2) phase
changes that may occur upon reflection.

•

When the distance traveled and phase changes upon reflection are both
taken into account, the interference is constructive if the equivalent
path difference between the two waves is an integral multiple of &,
and it is destructive if the path difference is &/2, 3&/2, 5&/2, and
so forth.

Example 37.3 Interference in a Soap Film

Calculate the minimum thickness of a soap-bubble film that
results  in  constructive  interference  in  the  reflected  light  if
the  film  is  illuminated  with  light  whose  wavelength  in  free
space is & # 600 nm.

Solution The  minimum  film  thickness  for  constructive
interference in the reflected light corresponds to m # 0 in
Equation 37.16. This gives 2nt # &/2, or

What If?

What if the film is twice as thick? Does this situa-

tion produce constructive interference?

113 nm

t #

&

4n

#

600 nm

4(1.33)

#

Answer Using  Equation  37.16,  we  can  solve  for  the  thick-
nesses at which constructive interference will occur:

The allowed values of m show that constructive interference
will occur for odd multiples of the thickness corresponding
to  m # 0,  t # 113 nm.  Thus,  constructive  interference  will
not occur for a film that is twice as thick.

t # (m (

1

2

) 

 

&

2n

#

(2m ( 1) 

 

&

4n

   

(m # 0, 1, 2,

  )  )  ))