Physics For Scientists And Engineers 6E - part 229

SECTION 29.5 •  Applications Involving Charged Particles Moving in a Magnetic Field

913

The Cyclotron

A 

cyclotron is a device that can accelerate charged particles to very high speeds. The

energetic particles produced are used to bombard atomic nuclei and thereby produce
nuclear reactions of interest to researchers. A number of hospitals use cyclotron facili-
ties to produce radioactive substances for diagnosis and treatment.

Both electric and magnetic forces have a key role in the operation of a cyclotron. A

schematic drawing of a cyclotron is shown in Figure 29.27a. The charges move inside
two semicircular containers D

1

and D

2

, referred to as dees, because of their shape like

the letter D. A high-frequency alternating potential difference is applied to the dees,
and  a  uniform  magnetic  field  is  directed  perpendicular  to  them.  A  positive  ion
released at P near the center of the magnet in one dee moves in a semicircular path
(indicated by the dashed red line in the drawing) and arrives back at the gap in a time
interval T/2, where T is the time interval needed to make one complete trip around
the two dees, given by Equation 29.15. The frequency of the applied potential differ-
ence is adjusted so that the polarity of the dees is reversed in the same time interval
during  which  the  ion  travels  around  one  dee.  If  the  applied  potential  difference  is
adjusted such that D

2

is at a lower electric potential than D

1

by an amount 0V, the ion

accelerates across the gap to D

2

and its kinetic energy increases by an amount q 0V. It

then moves around D

2

in a semicircular path of greater radius (because its speed has

increased). After a time interval T/2, it again arrives at the gap between the dees. By
this  time,  the  polarity  across  the  dees  has  again  been  reversed,  and  the  ion  is  given
another  “kick”  across  the  gap.  The  motion  continues  so  that  for  each  half-circle  trip
around  one  dee,  the  ion  gains  additional  kinetic  energy  equal  to  q 0V.  When  the
radius of its path is nearly that of the dees, the energetic ion leaves the system through
the exit slit. Note that the operation of the cyclotron is based on the fact that T is inde-
pendent of the speed of the ion and of the radius of the circular path (Eq. 29.15).

We  can  obtain  an  expression  for  the  kinetic  energy  of  the  ion  when  it  exits  the

cyclotron  in  terms  of  the  radius  R of  the  dees.  From  Equation  29.13  we  know  that
v " qBR/m. Hence, the kinetic energy is

(29.19)

When  the  energy  of  the  ions  in  a  cyclotron  exceeds  about  20 MeV,  relativistic

effects come into play. (Such effects are discussed in Chapter 39.) We observe that T
increases and that the moving ions do not remain in phase with the applied potential

K "

1

2

mv

 

2

"

q

 

2

B

 

2

R

 

2

2m

B

P

D

1

D

2

(a)

North pole of magnet

Particle exits here

Alternating 

∆V

▲

PITFALL PREVENTION 

29.1 The Cyclotron Is Not

State-of-the-Art
Technology

The cyclotron is important histori-
cally  because  it  was  the  first
particle accelerator to achieve very
high  particle  speeds.  Cyclotrons
are  still  in  use  in  medical  appli-
cations,  but  most  accelerators
currently  in  research  use  are  not
cyclotrons.  Research  accelerators
work on a different principle and
are generally called synchrotrons.

Figure 29.27 (a) A cyclotron consists of an ion source at P, two dees D

1

and D

2

across

which an alternating potential difference is applied, and a uniform magnetic field.

(The south pole of the magnet is not shown.) The red dashed curved lines represent

the path of the particles. (b) The first cyclotron, invented by E. O. Lawrence and M. S.

Livingston in 1934.

Courtesy of Lawrence Berkeley Laboratory/University of California

(b)

914

C H A P T E R   2 9 •  Magnetic Fields

difference. Some accelerators overcome this problem by modifying the period of the
applied potential difference so that it remains in phase with the moving ions.

29.6 The Hall Effect

When a current-carrying conductor is placed in a magnetic field, a potential difference
is generated in a direction perpendicular to both the current and the magnetic field.
This phenomenon, first observed by Edwin Hall (1855–1938) in 1879, is known as the
Hall effect. It arises from the deflection of charge carriers to one side of the conductor
as  a  result  of  the  magnetic  force  they  experience.  The  Hall  effect  gives  information
regarding  the  sign  of  the  charge  carriers  and  their  density;  it  can  also  be  used  to
measure the magnitude of magnetic fields.

The arrangement for observing the Hall effect consists of a flat conductor carrying

a current I in the x direction, as shown in Figure 29.28. A uniform magnetic field 

B is

applied in the y direction. If the charge carriers are electrons moving in the negative
x direction  with  a  drift  velocity 

v

d

,  they  experience  an  upward  magnetic  force 

F

B

"

q

v

d

!

B, are deflected upward, and accumulate at the upper edge of the flat conduc-

tor, leaving an excess of positive charge at the lower edge (Fig. 29.29a). This accumula-
tion of charge at the edges establishes an electric field in the conductor and increases
until the electric force on carriers remaining in the bulk of the conductor balances the
magnetic force acting on the carriers. When this equilibrium condition is reached, the
electrons  are  no  longer  deflected  upward.  A  sensitive  voltmeter  or  potentiometer
connected  across  the  sample,  as  shown  in  Figure  29.29,  can  measure  the  potential
difference—known as the 

Hall voltage 0V

H

—generated across the conductor.

If the charge carriers are positive and hence move in the positive x direction (for

rightward  current),  as  shown  in  Figures  29.28  and  29.29b,  they  also  experience  an
upward  magnetic  force  q

v

d

!

B.  This  produces  a  buildup  of  positive  charge  on  the

upper edge and leaves an excess of negative charge on the lower edge. Hence, the sign
of  the  Hall  voltage  generated  in  the  sample  is  opposite  the  sign  of  the  Hall  voltage
resulting  from  the  deflection  of  electrons.  The  sign  of  the  charge  carriers  can
therefore be determined from a measurement of the polarity of the Hall voltage.

In deriving an expression for the Hall voltage, we first note that the magnetic force

exerted on the carriers has magnitude qv

d

B. In equilibrium, this force is balanced by

the  electric  force  qE

H

,  where  E

H

is  the  magnitude  of  the  electric  field  due  to  the

charge separation (sometimes referred to as the Hall field). Therefore,

E

H

"

v

d

 

B

qv

d

B " qE

H

v

d

y

v

d

x

z

a

I

t

d

c

+

–

I

B

B

F

B

F

B

Figure 29.28 To observe the Hall effect, a magnetic field is applied to a current-

carrying conductor. When I is in the x direction and B in the y direction, both positive

and negative charge carriers are deflected upward in the magnetic field. The Hall

voltage is measured between points a and c.

SECTION 29.6 •  The Hall Effect

915

0

× × × × × × × × ×
× × × × × × × × ×
× × × ×

× × × ×

× × × × × × × × ×
× × × × × × × × ×

I

I

+ + + + + + + + +

– – – – – – – – –

(a)

c

q v

d

 

× B

–

q E

H

B

v

d

a

∆V

H

0

× × × × × × × × ×
× × × × × × × × ×
× × × ×

× × × ×

× × × × × × × × ×
× × × × × × × × ×

I

I

– – – – – – – – –

+ + + + + + + + +

(b)

c

q v

d

 

× B

q E

H

B

v

d

a

+

∆V

H

Figure 29.29 (a) When the charge carriers in a Hall-effect apparatus are negative, the

upper edge of the conductor becomes negatively charged, and c is at a lower electric

potential than a. (b) When the charge carriers are positive, the upper edge becomes

positively charged, and c is at a higher potential than a. In either case, the charge carri-

ers are no longer deflected when the edges become sufficiently charged that there is a

balance on the charge carriers between the electrostatic force qE

H

and the magnetic

deflection force qvB.

If d is the width of the conductor, the Hall voltage is

(29.20)

Thus, the measured Hall voltage gives a value for the drift speed of the charge carriers
if d and B are known.

We can obtain the charge carrier density n by measuring the current in the sample.

From Equation 27.4, we can express the drift speed as

(29.21)

where A is the cross-sectional area of the conductor. Substituting Equation 29.21 into
Equation 29.20, we obtain

(29.22)

Because A " td, where t is the thickness of the conductor, we can also express Equation
29.22 as

(29.23)

where  R

H

"

1/nq is  the 

Hall  coefficient. This  relationship  shows  that  a  properly  cali-

brated conductor can be used to measure the magnitude of an unknown magnetic field.

Because all quantities in Equation 29.23 other than nq can be measured, a value for

the Hall coefficient is readily obtainable. The sign and magnitude of R

H

give the sign

of the charge carriers and their number density. In most metals, the charge carriers are
electrons, and the charge-carrier density determined from Hall-effect measurements is
in good agreement with calculated values for such metals as lithium (Li), sodium (Na),
copper  (Cu),  and  silver  (Ag),  whose  atoms  each  give  up  one  electron  to  act  as  a
current  carrier.  In  this  case,  n is  approximately  equal  to  the  number  of  conducting
electrons per unit volume. However, this classical model is not valid for metals such as
iron (Fe), bismuth (Bi), and cadmium (Cd) or for semiconductors. These discrepan-
cies can be explained only by using a model based on the quantum nature of solids.

An interesting medical application related to the Hall effect is the electromagnetic

blood  flowmeter,  first  developed  in  the  1950s  and  continually  improved  since  then.
Imagine that we replace the conductor in Figure 29.29 with an artery carrying blood.
The blood contains charged ions that experience electric and magnetic forces like the
charge carriers in the conductor. The speed of flow of these ions can be related to the
volume rate of flow of blood. Solving Equation 29.20 for the speed v

d

of the ions in

∆V

H

"

IB

nqt

"

R

H

IB

t

∆V

H

"

IBd

nqA

v

d

"

I

nqA

∆V

H

"

E

H

d " v

d

 

Bd

The Hall voltage

916

C H A P T E R   2 9 •  Magnetic Fields

the blood, we obtain

Thus, by measuring the voltage across the artery, the diameter of the artery, and the
applied magnetic field, the speed of the blood can be calculated.

v

d

"

∆V

H

Bd

Example 29.8 The Hall Effect for Copper

A  rectangular  copper  strip  1.5 cm  wide  and  0.10 cm  thick
carries a current of 5.0 A. Find the Hall voltage for a 1.2-T
magnetic  field  applied  in  a  direction  perpendicular  to  the
strip.

Solution If we assume that one electron per atom is available
for conduction, we can take the charge carrier density to be
8.49 % 10

28

electrons/m

3

(see  Example  27.1).  Substituting

this value and the given data into Equation 29.23 gives

0.44 +V

∆V

H

"

 "

(5.0 A)(1.2 T)

(8.49 % 10

28

 m

$

3

)(1.6 % 10

$

19

 C)(0.001 0 m)

∆V

H

"

IB

nqt

 

Such  an  extremely  small  Hall  voltage  is  expected  in  good
conductors.  (Note  that  the  width  of  the  conductor  is  not
needed in this calculation.)

What If?

What if the strip has the same dimensions but is

made of a semiconductor? Will the Hall voltage be smaller or
larger?

Answer In semiconductors, n is much smaller than it is in
metals that contribute one electron per atom to the current;
hence, the Hall voltage is usually larger because it varies as
the inverse of n. Currents on the order of 0.1 mA are gener-
ally used for such materials. Consider a piece of silicon that
has the same dimensions as the copper strip in this example
and  whose  value  for  n is  1.0 % 10

20

electrons/m

3

.  Taking

B " 1.2 T  and  I " 0.10 mA,  we  find  that  0V

H

"

7.5 mV.  A

potential  difference  of  this  magnitude  is  readily  measured.

The magnetic force that acts on a charge q moving with a velocity 

v in a magnetic field

B is

(29.1)

The direction of this magnetic force is perpendicular both to the velocity of the parti-
cle and to the magnetic field. The magnitude of this force is

(29.2)

where ! is the smaller angle between 

v and B. The SI unit of B is the tesla (T), where

1 T " 1 N/A # m.

When a charged particle moves in a magnetic field, the work done by the magnetic

force on the particle is zero because the displacement is always perpendicular to the
direction  of  the  force.  The  magnetic  field  can  alter  the  direction  of  the  particle’s
velocity vector, but it cannot change its speed.

If  a  straight  conductor  of  length  L carries  a  current  I,  the  force  exerted  on  that

conductor when it is placed in a uniform magnetic field 

B is

(29.3)

where the direction of 

L is in the direction of the current and ! L ! " L.

If an arbitrarily shaped wire carrying a current I is placed in a magnetic field, the

magnetic force exerted on a very small segment d

s is

(29.4)

To determine the total magnetic force on the wire, one must integrate Equation 29.4,
keeping in mind that both 

B and ds may vary at each point. Integration gives for the

d

  

F

B

"

I d

 

s ! B

F

B

"

I

  

L ! B

F

B

"

!

 

q

 

!vB sin !

F

B

"

q

  

v ! B

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.