Physics For Scientists And Engineers 6E - part 144

Problems

573

spacings  of  the  first  two  frets.  Calculate  the  distance  be-
tween the last two frets.

24. The top string of a guitar has a fundamental frequency of

330 Hz when it is allowed to vibrate as a whole, along all of
its  64.0-cm  length  from  the  neck  to  the  bridge.  A  fret  is
provided for limiting vibration to just the lower two-thirds
of the string. (a) If the string is pressed down at this fret
and plucked,  what  is  the  new  fundamental  frequency?
(b) What  If? The  guitarist  can  play  a  “natural  harmonic”
by  gently  touching  the  string  at  the  location  of  this  fret
and plucking the string at about one sixth of the way along
its  length  from  the  bridge.  What  frequency  will  be  heard
then?

25. A string of length L, mass per unit length +, and tension T

is  vibrating  at  its  fundamental  frequency.  What  effect  will
the following have on the fundamental frequency? (a) The
length of the string is doubled, with all other factors held
constant. (b) The mass per unit length is doubled, with all
other  factors  held  constant.  (c)  The  tension  is  doubled,
with all other factors held constant.

26. A 60.000-cm guitar string under a tension of 50.000 N has

a mass per unit length of 0.100 00 g/cm. What is the high-
est resonant frequency that can be heard by a person capa-
ble of hearing frequencies up to 20 000 Hz?
A cello A-string vibrates in its first normal mode with a fre-
quency of 220 Hz. The vibrating segment is 70.0 cm long
and has a mass of 1.20 g. (a) Find the tension in the string.
(b) Determine the frequency of vibration when the string
vibrates in three segments.

28.

A violin string has a length of 0.350 m and is tuned to con-
cert  G,  with  f

G

"

392 Hz.  Where  must  the  violinist  place

her finger to play concert A, with f

A

"

440 Hz? If this posi-

tion is to remain correct to half the width of a finger (that
is,  to  within  0.600 cm),  what  is  the  maximum  allowable
percentage change in the string tension?

29.

Review  problem. A  sphere  of  mass  M is  supported  by  a
string  that  passes  over  a  light  horizontal  rod  of  length  L
(Fig.  P18.29).  Given  that  the  angle  is  / and  that  f repre-
sents the fundamental frequency of standing waves in the
portion of the string above the rod, determine the mass of
this portion of the string.

27.

30.

Review problem. A copper cylinder hangs at the bottom of
a steel wire of negligible mass. The top end of the wire is
fixed. When the wire is struck, it emits sound with a funda-
mental frequency of 300 Hz. If the copper cylinder is then
submerged  in  water  so  that  half  its  volume  is  below  the
water line, determine the new fundamental frequency.

31.

A  standing-wave  pattern  is  observed  in  a  thin  wire  with  a
length of 3.00 m. The equation of the wave is

y " (0.002 m) sin(&x) cos(100&t)

where  x is  in  meters  and  t is  in  seconds.  (a)  How  many
loops does this pattern exhibit? (b) What is the fundamen-
tal frequency of vibration of the wire? (c) What If? If the
original frequency is held constant and the tension in the
wire is increased by a factor of 9, how many loops are pres-
ent in the new pattern?

Section 18.4 Resonance

32. The chains suspending a child’s swing are 2.00 m long. At

what  frequency  should  a  big  brother  push  to  make  the
child swing with largest amplitude?

33. An earthquake can produce a seiche in a lake, in which the

water sloshes back and forth from end to end with remark-
ably  large  amplitude  and  long  period.  Consider  a  seiche
produced in a rectangular farm pond, as in the cross-sec-
tional  view  of  Figure  P18.33.  (The  figure  is  not  drawn  to
scale.)  Suppose  that  the  pond  is  9.15 m  long  and  of  uni-
form width and depth. You measure that a pulse produced
at one end reaches the other end in 2.50 s. (a) What is the
wave  speed?  (b)  To  produce  the  seiche,  several  people
stand  on  the  bank  at  one  end  and  paddle  together  with
snow  shovels,  moving  them  in  simple  harmonic  motion.
What should be the frequency of this motion?

L

M

θ

Figure P18.29

Figure P18.33

34.

The Bay of Fundy, Nova Scotia, has the highest tides in the
world,  as  suggested  in  the  photographs  on  page  452.  As-
sume  that  in  mid-ocean  and  at  the  mouth  of  the  bay,  the
Moon’s gravity gradient and the Earth’s rotation make the
water surface oscillate with an amplitude of a few centime-
ters  and  a  period  of  12 h  24 min.  At  the  head  of  the  bay,
the amplitude  is  several  meters.  Argue  for  or  against  the

574

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

proposition that the tide is amplified by standing-wave reso-
nance.  Assume  the  bay  has  a  length  of  210 km  and  a  uni-
form depth of 36.1 m. The speed of long-wavelength water
waves is given by 

, where d is the water’s depth.

35.

Standing-wave vibrations are set up in a crystal goblet with
four nodes and four antinodes equally spaced around the
20.0-cm circumference of its rim. If transverse waves move
around  the  glass  at  900 m/s,  an  opera  singer  would  have
to produce a high harmonic with what frequency to shat-
ter the glass with a resonant vibration?

Section 18.5 Standing Waves in Air Columns

√

gd

cylinder is r, and at the open top of the cylinder a tuning
fork is vibrating with a frequency f. As the water rises, how
much time elapses between successive resonances?

Note: Unless otherwise specified, assume that the speed of
sound in air is 343 m/s at 20°C, and is described by

at any Celsius temperature T

C

.

v " (331 m/s) 

√

1 !

T

C

2730

36. The overall length of a piccolo is 32.0 cm. The resonating

air  column  vibrates  as  in  a  pipe  open  at  both  ends.
(a) Find  the  frequency  of  the  lowest  note  that  a  piccolo
can  play,  assuming  that  the  speed  of  sound  in  air  is
340 m/s. (b) Opening holes in the side effectively shortens
the  length  of  the  resonant  column.  If  the  highest  note  a
piccolo can sound is 4 000 Hz, find the distance between
adjacent antinodes for this mode of vibration.
Calculate the length of a pipe that has a fundamental fre-
quency of 240 Hz if the pipe is (a) closed at one end and
(b) open at both ends. 

38. The fundamental frequency of an open organ pipe corre-

sponds  to  middle  C  (261.6 Hz  on  the  chromatic  musical
scale). The third resonance of a closed organ pipe has the
same frequency. What are the lengths of the two pipes?

39. The  windpipe  of  one  typical  whooping  crane  is  5.00 ft

long.  What  is  the  fundamental  resonant  frequency  of  the
bird’s  trachea,  modeled  as  a  narrow  pipe  closed  at  one
end? Assume a temperature of 37°C.

40.

Do not stick anything into your ear! Estimate the length of
your ear canal, from its opening at the external ear to the
eardrum. If you regard the canal as a narrow tube that is
open at one end and closed at the other, at approximately
what fundamental frequency would you expect your hear-
ing  to  be  most  sensitive?  Explain  why  you  can  hear  espe-
cially soft sounds just around this frequency.

A shower stall measures 86.0 cm - 86.0 cm - 210 cm.

If you were singing in this shower, which frequencies would
sound the richest (because of resonance)? Assume that the
stall acts as a pipe closed at both ends, with nodes at oppo-
site  sides.  Assume  that  the  voices  of  various  singers  range
from 130 Hz to 2 000 Hz. Let the speed of sound in the hot
shower stall be 355 m/s.

42.

As shown in Figure P18.42, water is pumped into a tall ver-
tical  cylinder  at  a  volume  flow  rate  R.  The  radius  of  the

41.

37.

R

f

Figure P18.42

If two adjacent natural frequencies of an organ pipe

are  determined  to  be  550 Hz  and  650 Hz,  calculate  the
fundamental frequency and length of this pipe. (Use v "
340 m/s.)

44. A glass tube (open at both ends) of length L is positioned

near an audio speaker of frequency f " 680 Hz. For what
values of L will the tube resonate with the speaker?
An  air  column  in  a  glass  tube  is  open  at  one  end  and
closed  at  the  other  by  a  movable  piston.  The  air  in  the
tube  is  warmed  above  room  temperature,  and  a  384-Hz
tuning  fork  is  held  at  the  open  end.  Resonance  is  heard
when the piston is 22.8 cm from the open end and again
when it is 68.3 cm from the open end. (a) What speed of
sound  is  implied  by  these  data?  (b)  How  far  from  the
open  end  will  the  piston  be  when  the  next  resonance  is
heard?

46. A  tuning  fork  with  a  frequency  of  512 Hz  is  placed  near

the top of the pipe shown in Figure 18.19a. The water level
is lowered so that the length L slowly increases from an ini-
tial  value  of  20.0 cm.  Determine  the  next  two  values  of L
that correspond to resonant modes.

47.

When an open metal pipe is cut into two pieces, the lowest
resonance  frequency  for  the  air  column  in  one  piece  is
256 Hz and that for the other is 440 Hz. (a) What resonant
frequency  would  have  been  produced  by  the  original
length of pipe? (b) How long was the original pipe?

48. With  a  particular  fingering,  a  flute  plays  a  note  with  fre-

quency 880 Hz at 20.0°C. The flute is open at both ends.
(a) Find the air column length. (b) Find the frequency it
produces at the beginning of the half-time performance at
a  late-season  American  football  game,  when  the  ambient
temperature  is  # 5.00°C  and  the  musician  has  not  had  a
chance to warm up the flute.

45.

43.

Problems

575

Section 18.6 Standing Waves in Rods

and Membranes

An  aluminum  rod  1.60 m  long  is  held  at  its  center.  It  is
stroked  with  a  rosin-coated  cloth  to  set  up  a  longitudinal
vibration. The speed of sound in a thin rod of aluminum is
5 100 m/s. (a) What is the fundamental frequency of the
waves established in the rod? (b) What harmonics are set
up  in  the  rod  held  in  this  manner?  (c)  What  If?  What
would be the fundamental frequency if the rod were made
of copper, in which the speed of sound is 3 560 m/s?

50. An aluminum rod is clamped one quarter of the way along

its length and set into longitudinal vibration by a variable-
frequency  driving  source.  The  lowest  frequency  that  pro-
duces resonance is 4 400 Hz. The speed of sound in an alu-
minum rod is 5 100 m/s. Find the length of the rod.

Section 18.7 Beats: Interference in Time

In certain ranges of a piano keyboard, more than one

string is tuned to the same note to provide extra loudness.
For example, the note at 110 Hz has two strings at this fre-
quency. If one string slips from its normal tension of 600 N
to 540 N, what beat frequency is heard when the hammer
strikes the two strings simultaneously?

52.

While  attempting  to  tune  the  note  C  at  523 Hz,  a  piano
tuner  hears  2  beats/s  between  a  reference  oscillator  and
the  string.  (a)  What  are  the  possible  frequencies  of  the
string? (b) When she tightens the string slightly, she hears
3 beats/s. What is the frequency of the string now? (c) By
what  percentage  should  the  piano  tuner  now  change  the
tension in the string to bring it into tune?
A  student  holds  a  tuning  fork  oscillating  at  256 Hz.  He
walks  toward  a  wall  at  a  constant  speed  of  1.33 m/s. 
(a) What beat frequency does he observe between the tun-
ing  fork  and  its  echo?  (b)  How  fast  must  he  walk  away
from the wall to observe a beat frequency of 5.00 Hz?

54. When beats occur at a rate higher than about 20 per sec-

ond, they are not heard individually but rather as a steady
hum, called a combination tone. The player of a typical pipe
organ can press a single key and make the organ produce
sound with different fundamental frequencies. She can se-
lect and pull out different stops to make the same key for
the  note  C  produce  sound  at  the  following  frequencies:
65.4 Hz  from  a  so-called  eight-foot  pipe;  2 - 65.4 "
131 Hz  from  a  four-foot  pipe;  3 - 65.4 " 196 Hz  from  a
two-and-two-thirds-foot  pipe;  4 - 65.4 " 262 Hz  from  a
two-foot pipe; or any combination of these. With notes at
low frequencies, she obtains sound with the richest quality
by pulling out all the stops. When an air leak develops in
one of the pipes, that pipe cannot be used. If a leak occurs
in an eight-foot pipe, playing a combination of other pipes
can create the sensation of sound at the frequency that the
eight-foot pipe would produce. Which sets of stops, among
those listed, could be pulled out to do this?

Section 18.8 Nonsinusoidal Wave Patterns

55. An A-major chord consists of the notes called A, C

#

, and E. It

can be played on a piano by simultaneously striking strings
with fundamental frequencies of 440.00 Hz, 554.37 Hz, and

53.

51.

49.

659.26 Hz.  The  rich  consonance  of  the  chord  is  associated
with near equality of the frequencies of some of the higher
harmonics of the three tones. Consider the first five harmon-
ics of each string and determine which harmonics show near
equality.

56.

Suppose that a flutist plays a 523-Hz C note with first

harmonic  displacement  amplitude  A

1

"

100 nm.  From

Figure  18.24b  read,  by  proportion,  the  displacement  am-
plitudes of harmonics 2 through 7. Take these as the values
A

2

through A

7

in the Fourier analysis of the sound, and as-

sume  that  B

1

"

B

2

" .  .  . "

B

7

"

0.  Construct  a  graph  of

the  waveform  of  the  sound.  Your  waveform  will  not  look
exactly  like  the  flute  waveform  in  Figure  18.23b  because
you simplify by ignoring cosine terms; nevertheless, it pro-
duces the same sensation to human hearing.

Additional Problems

57.

On a marimba (Fig. P18.57), the wooden bar that sounds a
tone  when  struck  vibrates  in  a  transverse  standing  wave
having  three  antinodes  and  two  nodes.  The  lowest  fre-
quency  note  is  87.0 Hz,  produced  by  a  bar  40.0 cm  long.
(a)  Find  the  speed  of  transverse  waves  on  the  bar.  (b)  A
resonant pipe suspended vertically below the center of the
bar  enhances  the  loudness  of  the  emitted  sound.  If  the
pipe is open at the top end only and the speed of sound in
air is 340 m/s, what is the length of the pipe required to
resonate with the bar in part (a)? 

Figure P18.57 Marimba players in Mexico City.

58.

A loudspeaker at the front of a room and an identical loud-
speaker  at  the  rear  of  the  room  are  being  driven  by  the
same oscillator at 456 Hz. A student walks at a uniform rate
of 1.50 m/s along the length of the room. She hears a sin-
gle tone, repeatedly becoming louder and softer. (a) Model
these  variations  as  beats  between  the  Doppler-shifted
sounds the student receives. Calculate the number of beats
the student hears each second. (b) What If? Model the two
speakers as producing a standing wave in the room and the
student as walking between antinodes. Calculate the num-
ber of intensity maxima the student hears each second.
Two  train  whistles  have  identical  frequencies  of  180 Hz.
When  one  train  is  at  rest  in  the  station  and  the  other  is

59.

Murray Greenberg

576

C H A P T E R   18 •  Superposition and Standing Waves

moving  nearby,  a  commuter  standing  on  the  station  plat-
form hears beats with a frequency of 2.00 beats/s when the
whistles sound at the same time. What are the two possible
speeds and directions that the moving train can have?

60. A string fixed at both ends and having a mass of 4.80 g, a

length of 2.00 m, and a tension of 48.0 N vibrates in its sec-
ond (n " 2) normal mode. What is the wavelength in air
of the sound emitted by this vibrating string?

61.

A student uses an audio oscillator of adjustable frequency
to  measure  the  depth  of  a  water  well.  The  student  hears
two  successive  resonances  at  51.5 Hz  and  60.0 Hz.  How
deep is the well?

62. A  string  has  a  mass  per  unit  length  of  9.00 - 10

#

3

kg/m

and a length of 0.400 m. What must be the tension in the
string if its second harmonic has the same frequency as the
second resonance mode of a 1.75-m-long pipe open at one
end?
Two  wires  are  welded  together  end  to  end.  The  wires  are
made of the same material, but the diameter of one is twice
that of the other. They are subjected to a tension of 4.60 N.
The thin wire has a length of 40.0 cm and a linear mass den-
sity of 2.00 g/m. The combination is fixed at both ends and
vibrated in such a way that two antinodes are present, with
the node between them being right at the weld. (a) What is
the frequency of vibration? (b) How long is the thick wire?

64.

Review  problem.  For  the  arrangement  shown  in  Figure
P18.64, / " 30.0°, the inclined plane and the small pulley
are frictionless, the string supports the object of mass M at
the bottom of the plane, and the string has mass m that is
small compared to M. The system is in equilibrium and the
vertical  part  of  the  string  has  a  length  h.  Standing  waves
are set up in the vertical section of the string. (a) Find the
tension in the string. (b) Model the shape of the string as
one  leg  and  the  hypotenuse  of  a  right  triangle.  Find  the
whole  length  of  the  string.  (c)  Find  the  mass  per  unit
length  of  the  string.  (d)  Find  the  speed  of  waves  on  the
string. (e) Find the lowest frequency for a standing wave.
(f )  Find  the  period  of  the  standing  wave  having  three
nodes. (g) Find the wavelength of the standing wave hav-
ing three nodes. (h) Find the frequency of the beats result-
ing from the interference of the sound wave of lowest fre-
quency  generated  by  the  string  with  another  sound  wave
having a frequency that is 2.00% greater.

63.

the string are fixed. When the vibrator has a frequency f,
in  a  string  of  length  L and  under  tension  T,  n antinodes
are  set  up  in  the  string.  (a)  If  the  length  of  the  string  is
doubled, by what factor should the frequency be changed
so that the same number of antinodes is produced? (b) If
the frequency and length are held constant, what tension
will  produce  n ! 1  antinodes?  (c)  If  the  frequency  is
tripled and the length of the string is halved, by what fac-
tor  should  the  tension  be  changed  so  that  twice  as  many
antinodes are produced?

66.

A 0.010 0-kg wire, 2.00 m long, is fixed at both ends and vi-
brates  in  its  simplest  mode  under  a  tension  of  200 N.
When  a  vibrating  tuning  fork  is  placed  near  the  wire,  a
beat frequency of 5.00 Hz is heard. (a) What could be the
frequency of the tuning fork? (b) What should the tension
in the wire be if the beats are to disappear?

67.

Two waves are described by the wave functions

y

1

(x, t) " 5.0 sin(2.0x # 10t)

and

y

2

(x, t) " 10 cos(2.0x # 10t)

where y

1

, y

2

, and x are in meters and t is in seconds. Show

that  the  wave  resulting  from  their  superposition  is  also
sinusoidal.  Determine  the  amplitude  and  phase  of  this
sinusoidal wave.

68. The wave function for a standing wave is given in Equation

18.3 as y " 2A sin kx cos $t. (a) Rewrite this wave function
in terms of the wavelength ' and the wave speed v of the
wave. (b) Write the wave function of the simplest standing-
wave vibration of a stretched string of length L. (c) Write
the wave function for the second harmonic. (d) General-
ize  these  results  and  write  the  wave  function  for  the  nth
resonance vibration.

69.

Review  problem. A  12.0-kg  object  hangs  in  equilibrium
from a string with a total length of L " 5.00 m and a lin-
ear  mass  density  of  + " 0.001 00 kg/m.  The  string  is
wrapped around two light, frictionless pulleys that are sep-
arated by a distance of d " 2.00 m (Fig. P18.69a). (a) De-
termine  the  tension  in  the  string.  (b)  At  what  frequency
must  the  string  between  the  pulleys  vibrate  in  order  to
form the standing wave pattern shown in Figure P18.69b?

M

θ

h

Figure P18.64

m

d

(b)

m

d

(a)

g

A standing wave is set up in a string of variable length and
tension  by  a  vibrator  of  variable  frequency.  Both  ends  of

65.

Figure P18.69