Physics For Scientists And Engineers 6E - part 34

S E C T I O N   5 . 8 •  Forces of Friction

133

• The values of -

k

and -

s

depend on the nature of the surfaces, but -

k

is generally

less than -

s

. Typical values range from around 0.03 to 1.0. Table 5.2 lists some re-

ported values.

• The  direction  of  the  friction  force  on  an  object  is  parallel  to  the  surface  with

which  the  object  is  in  contact  and  opposite  to  the  actual  motion  (kinetic
friction) or the impending motion (static friction) of the object relative to the
surface.

• The coefficients of friction are nearly independent of the area of contact between

the surfaces. We might expect that placing an object on the side having the most
area might increase the friction force. While this provides more points in contact,
as in Figure 5.16a, the weight of the object is spread out over a larger area, so that
the  individual  points  are  not  pressed  so  tightly  together.  These  effects  approxi-
mately compensate for each other, so that the friction force is independent of the
area.

Quick Quiz 5.11

You press your physics textbook flat against a vertical wall

with your hand. What is the direction of the friction force exerted by the wall on the
book? (a) downward (b) upward (c) out from the wall (d) into the wall.

Quick Quiz 5.12

A crate is located in the center of a flatbed truck. The truck

accelerates to the east, and the crate moves with it, not sliding at all. What is the direc-
tion of the friction force exerted by the truck on the crate? (a) to the west (b) to the
east (c) No friction force exists because the crate is not sliding.

Quick  Quiz  5.13

You  place  your  physics  book  on  a  wooden  board.  You

raise one end of the board so that the angle of the incline increases. Eventually, the
book starts sliding on the board. If you maintain the angle of the board at this value,
the  book  (a)  moves  at  constant  speed  (b)  speeds  up  (c)  slows  down  (d)  none  of
these.

Quick Quiz 5.14

You are playing with your daughter in the snow. She sits on

a  sled  and  asks  you  to  slide  her  across  a  flat,  horizontal  field.  You  have  a  choice  of
(a) pushing her from behind, by applying a force downward on her shoulders at 30°
below the horizontal (Fig. 5.17a), or (b) attaching a rope to the front of the sled and
pulling with a force at 30° above the horizontal (Fig 5.17b). Which would be easier for
you and why?

30

°

F

30

°

(a)

(b)

F

Figure 5.17 (Quick Quiz 5.14) A father pushes his daughter on a sled either by

(a) pushing down on her shoulders, or (b) pulling up on a rope.

▲

PITFALL PREVENTION

5.11 The Direction of the

Friction Force

Sometimes,  an  incorrect  state-
ment about the friction force be-
tween  an  object  and  a  surface  is
made—“the  friction  force  on  an
object  is  opposite  to  its  motion
or  impending  motion”—rather
than  the  correct  phrasing,  “the
friction force on an object is op-
posite  to  its  motion  or  impend-
ing  motion  relative  to  the  surface.”
Think  carefully  about  Quick
Quiz 5.12.

n

f

y

x

θ

mg sin

mg cos

θ

mg

θ

θ

Figure 5.19 (Example 5.12) The external forces exerted on a

block lying on a rough incline are the gravitational force mg, the

normal force n, and the force of friction f. For convenience, the

gravitational force is resolved into a component along the incline

mg sin

!

and a component perpendicular to the incline mg cos

!

.

134

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

Conceptual Example 5.11 Why Does the Sled Accelerate?

A horse pulls a sled along a level, snow-covered road, causing
the  sled  to  accelerate,  as  shown  in  Figure  5.18a.  Newton’s
third  law  states  that  the  sled  exerts  a  force  of  equal  magni-
tude  and  opposite  direction  on  the  horse.  In  view  of  this,
how can the sled accelerate—don’t the forces cancel? Under
what condition does the system (horse plus sled) move with
constant velocity?

Solution Remember that the forces described in Newton’s
third  law  act  on  different  objects—the  horse  exerts  a  force 
on the sled, and the sled exerts an equal-magnitude and op-
positely  directed  force  on  the  horse.  Because  we  are  inter-
ested only in the motion of the sled, we do not consider the
forces it exerts on the horse. When determining the motion

of  an  object,  you  must  add  only  the  forces  on  that  object.
(This is the principle behind drawing a free-body diagram.)
The  horizontal  forces  exerted  on  the  sled  are  the  forward
force 

T exerted by the horse and the backward force of fric-

tion 

f

sled

between sled and snow (see Fig. 5.18b). When the

forward  force  on  the  sled  exceeds  the  backward  force,  the
sled accelerates to the right.

The horizontal forces exerted on the horse are the for-

ward force 

f

horse

exerted by the Earth and the backward ten-

sion force 

T exerted by the sled (Fig. 5.18c). The resultant

of these two forces causes the horse to accelerate.

The force that accelerates the system (horse plus sled) is

the net force 

f

horse

#

f

sled

. When 

f

horse

balances 

f

sled

, the sys-

tem moves with constant velocity.

(b)

T

f

sled

(a)

(c)

T

f

horse

Figure 5.18 (Conceptual Example 5.11)

Example 5.12 Experimental Determination of %

s

and %

k

The following is a simple method of measuring coefficients
of friction: Suppose a block is placed on a rough surface in-
clined  relative  to  the  horizontal,  as  shown  in  Figure  5.19.
The incline angle is increased until the block starts to move.
Show  that  by  measuring  the  critical  angle  !

c

at  which  this

slipping just occurs, we can obtain -

s

.

Solution Conceptualizing from  the  free  body  diagram  in  Fig-
ure 5.19, we see that we can categorize this as a Newton’s second
law problem. To analyze the problem, note that the only forces
acting on the block are the gravitational force m

g, the normal

force 

n, and the force of static friction f

s

. These forces balance

when the block is not moving. When we choose x to be paral-
lel to the plane and y perpendicular to it, Newton’s second law
applied to the block for this balanced situation gives

We can eliminate mg by substituting mg " n/cos ! from (2)
into (1) to find

When the incline angle is increased until the block is on the
verge of slipping, the force of static friction has reached its
maximum value -

s

n. The angle ! in this situation is the criti-

cal angle !

c

, and (3) becomes

-

s

n " n

 

tan

 

!

c

(3)

     

f

s

"

mg

  

sin

 

! "

$

n

cos

 

!

%

 

sin

 

! "

n

  

tan

 

!

(2)

     

#

F

y

"

n # mg

  

cos

 

! "

ma

y

"

0

(1)

     

#

F

x

"

mg

  

sin

 

! #

f

s

"

ma

x

"

0

For  example,  if  the  block  just  slips  at  !

c

"

20.0°,  then  we

find that -

s

"

tan 20.0° " 0.364.

To finalize the problem, note that once the block starts to

move at ! / !

c

, it accelerates down the incline and the force

of friction is f

k

"

-

k

n. However, if ! is reduced to a value less

than !

c

, it may be possible to find an angle !

c

(

such that the

block moves down the incline with constant speed (a

x

"

0).

In this case, using (1) and (2) with f

s

replaced by f

k

gives

where !

c

( 0

!

c

.

-

k

"

tan

 

!

c

(

-

s

"

tan

  

!

c

S E C T I O N   5 . 8 •  Forces of Friction

135

Example 5.13 The Sliding Hockey Puck

A hockey puck on a frozen pond is given an initial speed of
20.0  m/s.  If  the  puck  always  remains  on  the  ice  and  slides
115 m before coming to rest, determine the coefficient of ki-
netic friction between the puck and ice.

Solution Conceptualize the  problem  by  imagining  that  the
puck in Figure 5.20 slides to the right and eventually comes
to  rest.  To  categorize the  problem,  note  that  we  have  forces
identified  in  Figure  5.20,  but  that  kinematic  variables  are
provided in the text of the problem. Thus, we must combine
the techniques of Chapter 2 with those of this chapter. (We
assume that the friction force is constant, which will result in
a constant horizontal acceleration.) To analyze the situation,
note that the forces acting on the puck after it is in motion
are shown in Figure 5.20. First, we find the acceleration al-
gebraically in terms of the coefficient of kinetic friction, us-
ing  Newton’s  second  law.  Knowing  the  acceleration  of  the
puck and the distance it travels, we can then use the equa-
tions of kinematics to find the numerical value of the coeffi-
cient of kinetic friction.

Defining  rightward  and  upward  as  our  positive  directions,
we  apply  Newton’s  second  law  in  component  form  to  the
puck and obtain

But  f

k

"

-

k

n,  and  from  (2)  we  see  that  n " mg.  Therefore,

(1) becomes

The  negative  sign  means  the  acceleration  is  to  the  left  in
Figure 5.20; because the velocity of the puck is to the right,
this means that the puck is slowing down. The acceleration
is independent of the mass of the puck and is constant be-
cause we assume that -

k

remains constant.

Because  the  acceleration  is  constant,  we  can  use  Equa-

tion 2.13, v

xf

2

"

v

xi

2

$

2a

x

(x

f

#

x

i

), with x

i

"

0 and v

f 

"

0:

To  finalize the  problem,  note  that  -

k

is  dimensionless,  as  it

should be, and that it has a low value, consistent with an ob-
ject sliding on ice.

0.117

-

k

"

(20.0 m/s)

2

 

2(9.80 m/s

2

)(115 m)

"

-

k

"

v

xi

2

2gx

f

0 " v

xi

2

  $ 2a

x

x

f 

"

v

xi

2

  # 2-

k

gx

f

a

x

" #

 

 

-

k

g

#

 

 

-

k

n  " # -

k

mg " ma

x

(2)

     

#

F

y

"

n # mg " 0

   

(a

y

"

0)

(1)

     

#

F

x

" #

f

k

"

ma

x

Motion

n

f

k

mg

Figure 5.20 (Example 5.13) After the puck is given an initial

velocity to the right, the only external forces acting on it are the

gravitational force mg, the normal force n, and the force of

kinetic friction f

k

.

Example 5.14 Acceleration of Two Connected Objects When Friction Is Present

A  block  of  mass  m

1

on  a  rough,  horizontal  surface  is  con-

nected to a ball of mass m

2

by a lightweight cord over a light-

weight, frictionless pulley, as shown in Figure 5.21a. A force
of magnitude F at an angle ! with the horizontal is applied
to the block as shown. The coefficient of kinetic friction be-
tween  the  block  and  surface  is  -

k

.  Determine  the  magni-

tude of the acceleration of the two objects.

Solution Conceptualize the problem by imagining what hap-
pens  as 

F is  applied  to  the  block.  Assuming  that  F is  not

large  enough  to  lift  the  block,  the  block  will  slide  to  the
right  and  the  ball  will  rise.  We  can  identify  forces  and  we
want an acceleration, so we categorize this as a Newton’s sec-
ond  law  problem,  one  that  includes  the  friction  force.  To
analyze the  problem,  we  begin  by  drawing  free-body  dia-
grams  for  the  two  objects,  as  shown  in  Figures  5.21b  and
5.21c.  Next,  we  apply  Newton’s  second  law  in  component
form to each object and use Equation 5.9, f

k

"

-

k

n. Then we

can  solve  for  the  acceleration  in  terms  of  the  parameters
given.

The applied force 

F has x and y components F cos ! and

F sin !, respectively. Applying Newton’s second law to both

objects and assuming the motion of the block is to the right,
we obtain

Motion of block: (1)

(2)

Motion of ball:

(3)

Because  the  two  objects  are  connected,  we  can  equate  the
magnitudes  of  the  x component  of  the  acceleration  of  the
block and the y component of the acceleration of the ball.
From Equation 5.9 we know that f

k

"

-

k

n, and from (2) we

know  that  n " m

1

g # F sin ! (in  this  case  n is  not equal  to

m

1

g); therefore,

That is, the friction force is reduced because of the positive
y component of 

F. Substituting (4) and the value of T from

(3) into (1) gives

(4)

     

f

k

"

-

k

(m

1

g # F

  

sin

 

!

)

#

F

y

"

T # m

2

g " m

2

a

y

"

m

2

a

#

F

x

"

m

2

a

x

"

0

#

F

y

"

n $ F

  

sin

 

! #

m

1

g " m

1

a

y

"

0

#

F

x

"

F

  

cos

 

! #

f

k

#

T " m

1

a

x

"

m

1

a

136

C H A P T E R   5 •  The Laws of Motion

Solving for a, we obtain

(5)

To finalize the problem, note that the acceleration of the

block  can  be  either  to  the  right  or  to  the  left,

5

depending

on the sign of the numerator in (5). If the motion is to the
left, then we must reverse the sign of f

k

in (1) because the

F(cos

 

! $ -

k

 

sin

 

!

) # g(m

2

$

-

k

m

1

)

m

1

$

m

2

a "

F

  

cos

 

! # -

k

(m

1

g # F

   

sin !) # m

2

(a $ g) " m

1

a

force  of  kinetic  friction  must  oppose  the  motion  of  the
block relative to the surface. In this case, the value of a is the
same  as  in  (5),  with  the  two  plus  signs  in  the  numerator
changed to minus signs.

This is the final chapter in which we will explicitly show

the  steps  of  the  General  Problem-Solving  Strategy  in  all
worked  examples.  We  will  refer  to  them  explicitly  in  occa-
sional examples in future chapters, but you should use the
steps in all of your problem solving.

m

1

m

2

F

θ

(a)

a

a

m

2

m

2

g

T

(b)

m

1

g

F

T

n

F  sin

F  cos

f

k

θ

θ

θ

(c)

y

x

Figure 5.21 (Example 5.14) (a) The external force F applied as shown can cause the

block to accelerate to the right. (b) and (c) The free-body diagrams assuming that the

block accelerates to the right and the ball accelerates upward. The magnitude of the

force of kinetic friction in this case is given by f

k

"

-

k

n "

-

k

(m

1

g # F sin 

!

).

Application Automobile Antilock Braking Systems (ABS)

If an automobile tire is rolling and not slipping on a road
surface,  then  the  maximum  friction  force  that  the  road
can  exert  on  the  tire  is  the  force  of  static  friction  -

s

n.

One  must  use  static  friction  in  this  situation  because  at
the  point  of  contact  between  the  tire  and  the  road,  no
sliding  of  one  surface  over  the  other  occurs  if  the  tire  is
not  skidding.  However,  if  the  tire  starts  to  skid,  the  fric-
tion force exerted on it is reduced to the force of kinetic
friction  -

k

n.  Thus,  to  maximize  the  friction  force  and

minimize  stopping  distance,  the  wheels  must  maintain
pure  rolling  motion  and  not  skid.  An  additional  benefit
of  maintaining  wheel  rotation  is  that  directional  control
is not lost as it is in skidding. Unfortunately, in emergency
situations drivers typically press down as hard as they can on
the brake pedal, “locking the brakes.” This stops the wheels
from  rotating,  ensuring  a  skid  and  reducing  the  friction
force  from  the  static  to  the  kinetic  value.  To  address  this
problem,  automotive  engineers  have  developed  antilock
braking  systems  (ABS).  The  purpose  of  the  ABS  is  to  help
typical  drivers  (whose  tendency  is  to  lock  the  wheels  in  an
emergency) to better maintain control of their automobiles
and minimize stopping distance. The system briefly releases
the  brakes  when  a  wheel  is  just  about  to  stop  turning.  This

maintains rolling contact between the tire and the pavement.
When the brakes are released momentarily, the stopping dis-
tance is greater than it would be if the brakes were being ap-
plied  continuously.  However,  through  the  use  of  computer
control, the “brake-off” time is kept to a minimum. As a re-
sult, the stopping distance is much less than what it would be
if the wheels were to skid.

Let us model the stopping of a car by examining real

data.  In  an  issue  of  AutoWeek,

6

the  braking  performance

for a Toyota Corolla was measured. These data correspond
to the braking force acquired by a highly trained, profes-
sional driver. We begin by assuming constant acceleration.
(Why  do  we  need  to  make  this  assumption?)  The  maga-
zine  provided  the  initial  speed  and  stopping  distance  in
non-SI  units,  which  we  show  in  the  left  and  middle  sec-
tions of Table 5.3. After converting these values to SI, we
use v

f

2

"

v

i

2

$

2ax to determine the acceleration at differ-

ent speeds, shown in the right section. These do not vary
greatly, and so our assumption of constant acceleration is
reasonable.

6

AutoWeek magazine, 48:22–23, 1998.

5

Equation  5  shows  that  when  -

k

m

1

+

m

2

,  there  is  a  range  of

values of F for which no motion occurs at a given angle !.