ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 90

Задание №2813

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 22° и 104°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов

угол противоположный углу 104 градусов равен 180-104=76 градусов

Больший из неизвестных углов 158 градусов

Ответ: 158

Задание №4103

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=41

Ответ: 41

Задание №3516

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 120°. Найдите число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=120

180*n – 360 = 120 * n

n=6

Ответ: 6

Задание №5155

Площадь треугольника АВС равна 125. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=93,75

Ответ: 93,75

Задание №1525

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 46 и 34 . Вычислите среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 80 / 2 = 40

Ответ: 40

Задание №4586

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 40 и 48. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции

Решение

Построим высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=15

HO=7

Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 22

Задание №3874

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 40, основание равно 48 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=768

Подствавим значения и найдём полупериметр P=64

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=768/64=12

Ответ: 12

Задание №4782

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 74, большая боковая сторона равна 31 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 3

Ответ: 3

Задание №3358

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 40 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=108+28=136

Ответ: 136

Задание №2635

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 107, AB= 117 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 448

Ответ: 448

Задание №2840

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 120. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=60

Ответ: 60

Задание №1507

Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 324. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=225

Ответ: 225

Задание №3104

Площадь параллелограмма ABCD равна 139. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=104,25

Ответ: 104,25

Задание №1294

В треугольнике ABC AC=15, BC=36, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

Задание №2350

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 38, BC=10, CD=79. Вычислите четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=38+79-10=107

Ответ: 107

Задание №4524

Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 408. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =408 / 6 = 68

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*68=136

Ответ: 136

Задание №4399

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 101. Рассчитайте длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 101 / 4 = 25,25

Ответ: 25,25

Задание №4889

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 16, 37, 62. Вычислите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=16+37+62=115

Ответ: 115

Задание №1654

Площадь параллелограмма ABCD равна 129. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,25

Ответ: 32,25

Задание №1585

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 53, периметр P= 229 . Найдите длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=61,5

Ответ: 61,5

содержание .. 88 89 90 91 ..