содержание .. 77 78 79 80 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 79
Задание №2514
Площадь параллелограмма ABCD равна 134. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=100,5 Ответ: 100,5
Задание №4451
Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 40. Радиус описанной окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=21 HO=20 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 41
Задание №1984
Площадь параллелограмма ABCD равна 146. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36,5 Ответ: 36,5
Задание №5250
Периметр правильного шестиугольника равен 282. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =282 / 6 = 47 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*47=94 Ответ: 94
Задание №1778
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 135. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=67,5 Ответ: 67,5
Задание №4662
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 76, ее большая боковая сторона равна 28 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 5 Ответ: 5
Задание №3163
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 100, CD= 95 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 390 Ответ: 390
Задание №5956
Площадь треугольника АВС равна 134. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5 Ответ: 100,5
Задание №3548
В треугольнике ABC AC=12, BC=16, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=4 Ответ: 4
Задание №3849
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5 Ответ: 16,5
Задание №2342
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 105, основание равно 126 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5292 Подствавим значения и найдём полупериметр P=168 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=5292/168=31,5
Ответ: 31,5
Задание №2933
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 32° и 94°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 32 градусов равен 180-32=148 градусов угол противоположный углу 94 градусов равен 180-94=86 градусов Больший из неизвестных углов 148 градусов Ответ: 148
Задание №4766
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 42 и 14, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=14 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=112+28=140 Ответ: 140
Задание №3350
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 22 и 14. Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 36 / 2 = 18 Ответ: 18
Задание №5751
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 96+48√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=48 Ответ: 48
Задание №4713
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №1193
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 360, стророна AB= 86 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=94 Ответ: 94
Задание №4525
Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 24. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=20 Ответ: 20
Задание №3036
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 26, BC=7, CD=55. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=26+55-7=74 Ответ: 74
Задание №3535
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 49, 63. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=19+49+63=131 Ответ: 131
содержание .. 77 78 79 80 ..