|
|
содержание .. 68 69 70 71 ..
Задание №2053 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Рассчитайте число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №1632
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 20 и 11 . Найдите среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 31 / 2 = 15,5 Ответ: 15,5
Задание №5143 Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=68 Ответ: 68
Задание №5259
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 379, стророна AB= 91 . Рассчитайте длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=98,5 Ответ: 98,5
Задание №3404
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 56+28√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=28 Ответ: 28
Задание №2457
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 18, BC=4, CD=31. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=18+31-4=45 Ответ: 45
Задание №3667
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 5, основание равно 6 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=12 Подствавим значения и найдём полупериметр P=8 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=12/8=1,5 Ответ: 1,5
Задание №4852
В треугольнике ABC BC=120, AC=27, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=12 Ответ: 12
Задание №1251
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 55, 72. Рассчитайте периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =21+55+72=148 Ответ: 148
Задание №3233
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 26° и 116°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 26 градусов равен 180-26=154 градусов угол противоположный углу 116 градусов равен 180-116=64 градусов Больший из неизвестных углов 154 градусов Ответ: 154
Задание №2437 Дан треугольник АВС. Его площадь равна 131. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=98,25 Ответ: 98,25
Задание №3464
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 20 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=5 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=50+10=60 Ответ: 60
Задание №1271
Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции Решение Построим высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=16 HO=12 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 28
Задание №5760
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 105. Найдите длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 105 / 4 = 26,25 Ответ: 26,25
Задание №1770 Основания равнобедренной трапеции равны 60 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=40 Ответ: 40
Задание №4083
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 80, ее большая боковая сторона равна 34 . Найдите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 3 Ответ: 3
Задание №3368 Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 124. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=93 Ответ: 93
Задание №2720
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 108, CD= 98 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 412 Ответ: 412
Задание №3016 Площадь параллелограмма ABCD равна 145. Середина стороны CD - точка E. Рассчитайте площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=36,25 Ответ: 36,25
Задание №4923
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 210. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =210 / 6 = 35 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*35=70 Ответ: 70
содержание .. 68 69 70 71 ..
|
|