содержание .. 58 59 60 61 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 60
Задание №5822
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 60, основание равно 72 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1728 Подствавим значения и найдём полупериметр P=96 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1728/96=18
Ответ: 18
Задание №2701
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 131. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,75 Ответ: 32,75
Задание №1941
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 146. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73 Ответ: 73
Задание №3283
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 360. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =360 / 6 = 60 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*60=120 Ответ: 120
Задание №3456
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 105, ее большая боковая сторона равна 44 . Найдите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 4,25 Ответ: 4,25
Задание №1256
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 33 и 44 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 77 / 2 = 38,5 Ответ: 38,5
Задание №5103
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 42. Радиус описанной окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=28 HO=21 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 49
Задание №1985
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 84, периметр P= 340 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=86 Ответ: 86
Задание №4910
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 41° и 141°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 41 градусов равен 180-41=139 градусов угол противоположный углу 141 градусов равен 180-141=39 градусов Больший из неизвестных углов 139 градусов Ответ: 139
Задание №1066
Дан треугольник ABC. Стороны AC=16, BC=30, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=6 Ответ: 6
Задание №1829
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 147. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=110,25 Ответ: 110,25
Задание №2680
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 49 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=128+30=158 Ответ: 158
Задание №4587
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 57, 79. Найдите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=23+57+79=159 Ответ: 159
Задание №2342
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 16, BC=4, CD=37. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=16+37-4=49 Ответ: 49
Задание №2309
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 78. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 78 / 4 = 19,5 Ответ: 19,5
Задание №3733
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 136. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=102 Ответ: 102
Задание №3896
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 46+23√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=23 Ответ: 23
Задание №4856
Основания равнобедренной трапеции равны 180 и 36. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=120 Ответ: 120
Задание №2201
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 140°. Найдите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9
Задание №1622
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 105, AB= 112 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 434 Ответ: 434
содержание .. 58 59 60 61 ..