содержание .. 28 29 30 31 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 30
Задание №3116
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 46° и 127°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 46 градусов равен 180-46=134 градусов угол противоположный углу 127 градусов равен 180-127=53 градусов Больший из неизвестных углов 134 градусов Ответ: 134
Задание №5262
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 16. Радиус описанной окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=8 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 23
Задание №5662
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 366. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит: AB / 6 = P / 6 =366 / 6 = 61 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*61=122 Ответ: 122
Задание №4548
Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 270. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=180 Ответ: 180
Задание №1057
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 113, ее большая боковая сторона равна 46 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 5,25 Ответ: 5,25
Задание №3048
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 42. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 42 / 4 = 10,5 Ответ: 10,5
Задание №5360
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 141. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=105,75 Ответ: 105,75
Задание №2186
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №4254
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 36 и 24 . Рассчитайте среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 60 / 2 = 30 Ответ: 30
Задание №5842
Площадь треугольника АВС равна 141. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=105,75 Ответ: 105,75
Задание №5909
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 72+36√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=36 Ответ: 36
Задание №4635
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 26, 60, 93. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=26+60+93=179 Ответ: 179
Задание №2724
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 33, BC=10, CD=70. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=33+70-10=93 Ответ: 93
Задание №3910
Площадь параллелограмма ABCD равна 131. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=32,75 Ответ: 32,75
Задание №2542
Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 85, основание равно 102 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3468 Подствавим значения и найдём полупериметр P=136 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=3468/136=25,5
Ответ: 25,5
Задание №3888
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 42 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=12 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=108+24=132 Ответ: 132
Задание №2920
Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=65 Ответ: 65
Задание №5371
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 382, стророна AB= 92 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=99 Ответ: 99
Задание №2336
Дан треугольник ABC. Стороны AC=28, BC=96, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=12 Ответ: 12
Задание №2048
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 95, AB= 100 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 390 Ответ: 390
содержание .. 28 29 30 31 ..