ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 26

Задание №5826

Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 160°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160

180*n – 360 = 160 * n

n=18

Ответ: 18

Задание №5090

У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 17 и 9 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 26 / 2 = 13

Ответ: 13

Задание №4895

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 108 и 54. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=45

Ответ: 45

Задание №5287

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 119, стророна AB= 27 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=32,5

Ответ: 32,5

Задание №5144

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 43° и 146°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов

угол противоположный углу 43 градусов равен 180-43=137 градусов

угол противоположный углу 146 градусов равен 180-146=34 градусов

Больший из неизвестных углов 137 градусов

Ответ: 137

Задание №3747

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 21, 55, 71. Найдите периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=21+55+71=147

Ответ: 147

Задание №5868

Площадь параллелограмма ABCD равна 141. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,25

Ответ: 35,25

Задание №1983

Площадь параллелограмма ABCD равна 156. Середина стороны BC - точка E. Вычислите площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=117

Ответ: 117

Задание №3761

Дан треугольник ABC. Стороны AC=48, BC=140, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

Задание №3748

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 66. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 66 / 4 = 16,5

Ответ: 16,5

Задание №2224

Основания равнобедренной трапеции равны 42 и 40. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 29. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=21

HO=20

Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=21+20=41

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 41

Задание №4012

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 17, BC=5, CD=41. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=17+41-5=53

Ответ: 53

Задание №2385

Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 80, большая боковая сторона равна 36 . Вычислите радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2

Ответ: 2

Задание №2355

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 54+27√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=27

Ответ: 27

Задание №2618

Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 354. Вычислите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому:

AB / 6 = P / 6 =354 / 6 = 59

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*59=118

Ответ: 118

Задание №2398

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 80, основание равно 96 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3072

Подствавим значения и найдём полупериметр P=128

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=3072/128=24

Ответ: 24

Задание №2503

Площадь параллелограмма ABCD равна 138. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=69

Ответ: 69

Задание №2509

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 41 и 15, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=15

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=112+30=142

Ответ: 142

Задание №3219

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 89, CD= 79 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 336

Ответ: 336

Задание №2643

Площадь треугольника АВС равна 116. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87

Ответ: 87

содержание .. 24 25 26 27 ..