Геометрия и алгебра. Тесты и задания открытой формы (2020 год)

ЗАДАНИЯ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ 

 

Инструкция.

 

Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ.  

 

1.

 

3

36

 см

2

 –  площадь  полной  поверхности  треугольной  пирамиды,  все  ребра  которой 

равны. Найдите длину ребра.

 

2.

 

Биссектриса  угла  прямоугольника  делит  его  диагональ  в  отношении  2  :  7.  Найдите 

площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

 

3.

 

В  основании  прямой  призмы  лежит  ромб  с  острым  углом 



60   и  стороной  8  см. 

Найдите меньшую диагональ призмы, если ее боковое ребро равно 6 см. 

4.

 

В  основании  прямой  призмы  лежит  ромб  с  острым  углом  60

о

  и  стороной  6 см. 

Найдите меньшую диагональ призмы, если ее боковое ребро равно 8 см. 

5.

 

В  цилиндре  на  расстоянии  8  см  от  его  оси  и  параллельно  ей  проведено  сечение, 

диагональ  которого  равна  13  см.  Вычислите  радиус  основания  цилиндра,  если  его  высота 
равна 5 см.  

6.

 

В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см. 

Высота цилиндра 15 см, а радиус основания 5 см. На каком  расстоянии от оси проведено это 
сечение?  

7.

 

Все  ребра  треугольной  пирамиды  имеют  длину  6 см.  Найдите  площадь  полной 

поверхности пирамиды.

 

8.

 

Высота  правильной  четырехугольной  пирамиды  4  см.  Найдите  площадь  боковой 

поверхности пирамиды, если двугранный угол при основании равен 



45

. 

9.

 

Даны  векторы  

𝑎(√2; √2; 2)

 и 

𝑏(−3; −3; 0)

. Определите угол между векторами 

𝑎

 и 

𝑏

.

 

10.

 

Даны векторы 

𝑎(0; 5; 0)

 и 

𝑐(0; −√3; 1)

. Определите угол между векторами 

𝑎

 и 

𝑐

.

 

11.

 

Из 



1

,

1

 

м

2

  листового  железа  прямоугольной    формы  изготовили  цилиндрическую 

трубу диаметром 0,5 м. Найдите длину трубы. 

12.

 

Из данной точки к плоскости проведены две наклонные, разность длин которых равна 

6  см.  Их  проекции  на  эту  плоскость  равны  27  см  и  15  см.  Найдите  расстояние  от  данной 
точки до плоскости. 

13.

 

Из  точки  к  плоскости  проведены  перпендикуляр  и  наклонная,  длина  которой 

20

 см. 

Угол между наклонной и ее проекцией 

60°

. Найдите длину перпендикуляра.

 

14.

 

Из  точки 

𝑀

  к  плоскости  проведены  перпендикуляр  и  наклонная,  угол  между 

которыми 

60°

. Найдите длину наклонной, если длина перпендикуляра 

20

 см.

 

15.

 

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 17 см, а один 

из катетов – 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

       

 

16.

 

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 13 см, а один 

из катетов – 24 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

        

17.

 

На  оси абсцисс найдите точку 

𝑀

, расстояние от которой до точки 

𝐴(3; −3; 0)

 равно 

5

. 

18.

 

На  оси ординат найдите точку 

𝑀

, расстояние от которой до точки 

𝐴(4; −3; 0)

 равно 

5

.

 

19.

 

На  продолжении  диаметра   

АВ 

  за    точку   

В 

  взята    точка 

  С

. 

СР

  –  касательная    к  

окружности  (точка 

Р

  –  точка  касания).  Угловая    величина    дуги   

РВ

    равна   



46 .  Найдите  

величину  угла  

АРС

. 

20.

 

На  продолжении  диаметра   

АВ 

  за    точку   

В 

  взята    точка 

  С

. 

СР

  –  касательная    к  

окружности, а  угол  

АРС

  равен  



110

. Найти  угловую  величину  дуги  

ВР

.  

21.

 

На    продолжении    диаметра   

АВ

  за    точку   

В 

  взята    точка 

  С

. 

СК

  –  касательная    к  

окружности. Угловая  величина  дуги  

КВ

  равна  



44

. Найдите  величину  угла  

АКС

 

22.

 

На    продолжении    диаметра   

АВ

  за    точку   

В 

  взята    точка 

  С

. 

СК

  –  касательная    к  

окружности. Угловая  величина  дуги  

КВ

  равна  



43 . Найдите  величину  угла  

АКС

 

23.

 

Найдите  площадь  прямоугольной  трапеции, большее  основание  которой  равно  14 

см, большая  боковая  сторона – 12 см, а  острый  угол  равен  



60 .

  

   

 

24.

 

Найдите  площадь  прямоугольной  трапеции, меньшее  основание  которой  равно  7 

см, большая  боковая  сторона – 16 см, а  тупой  угол  равен  



120 .

  

   

 

25.

 

Найдите длину вектора 

𝑠 = −2𝑎

, если 

𝑎(1; 2; 2)

.

 

26.

 

Найдите длину вектора 

𝑠 = −3𝑏

, если 

𝑏(2;  2; −1).

 

27.

 

Найдите  длину  окружности,  вписанной

 

в  треугольник

 

со  сторонами  4  см,  13  см  и 

15 см.  

28.

 

Найти    площадь    прямоугольной    трапеции,  большее    основание    которой    равно  

14 см, большая  боковая  сторона – 12 см, а  острый  угол  равен  



60

.

  

   

 

29.

 

Найти  площадь  прямоугольной  трапеции, меньшее  основание  которой  равно  7 см, 

большая  боковая  сторона – 16 см, а  тупой  угол  равен  



120

.

  

   

 

30.

 

Одна  из  диагоналей  трапеции  равна  24 см  и  делит  другую  диагональ  на  отрезки  

длиной    3  см    и    9  см.  Большее    основание    трапеции    равно    15  см.  Найдите    отрезки,  на  
которые  точка  пересечения  диагоналей  делит  первую  диагональ. 

31.

 

Одна  из  диагоналей  трапеции  равна  28 см  и  делит  другую  диагональ  на  отрезки  

длиной    5  см    и    9  см.  Меньшее    основание    трапеции    равно    6  см.  Найдите  отрезки,  на  
которые  точка  пересечения  диагоналей  делит  первую  диагональ. 

32.

 

Одна сторона треугольника равна 

39

2

, а две другие относятся как 

5

:

2

 и образуют  

угол 



120

. Найдите периметр треугольника. 

33.

 

Одна сторона треугольника равна 

13

2

, а две другие относятся как 

4

:

3

  и образуют  

угол 



60 . Найдите периметр  треугольника.  

34.

 

Около  круга  описана  трапеция, периметр  которой  равен  12 см. Определить  длину  

средней  линии  трапеции.

     

 

35.

 

Около  круга  описана  трапеция,  средняя  линия  которой  равна  8  см.  Определить  

периметр трапеции.

     

 

36.

 

Около

 

правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. 

Длина  меньшей  окружности 



8   см.  Найдите  сторону  треугольника  и  площадь  большего 

круга.

 

37.

 

Около

 

правильного  четырехугольника  описана  окружность  и  в  него  вписана 

окружность.  Длина большего  круга 

16𝜋

 см.  Найдите  сторону  четырехугольника  и  площадь 

меньшего круга.

 

38.

 

Осевое сечение конуса – правильный треугольник, периметр которого 36 см. Найдите 

объем конуса. 

39.

 

Осевое сечение

 

конуса – правильный треугольник, периметр которого 18 см. Найдите 

площадь боковой поверхности конуса. 

40.

 

Осевое сечение конуса – прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 

18 см. Найдите объем конуса. 

41.

 

Осевое  сечение

 

конуса  –  прямоугольный  равнобедренный  треугольник  с  катетом 

6√2

 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 

 

42.

 

Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник, с катетом 6 см. Найдите объем 

конуса.

 

43.

 

Осевое  сечение  цилиндра –  квадрат,  диагональ  которого  равна 

4

 см.  Найдите  объем 

цилиндра. 

44.

 

Осевое сечение цилиндра – квадрат,  периметр которого равен 

64

 см.  Найдите  объем 

цилиндра. 

45.

 

Основание  пирамиды –  прямоугольный  треугольник  с  гипотенузой  12 см  и  острым 

углом 



60

. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 10 см. 

46.

 

Основание  пирамиды –  прямоугольный  треугольник  с  гипотенузой 

18

 см  и  острым 

углом 

30°

. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 

6

 см.

 

47.

 

Основанием  прямой  треугольной  призмы  служит  прямоугольный  треугольник  с 

катетами  8 см  и  15  см.  Высота  призмы  равна  радиусу  окружности  описанной  около 
основания призмы. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 

48.

 

Основанием  прямой  треугольной  призмы  служит  прямоугольный  треугольник  с 

гипотенузой 13 см и катетом 5 см. Высота призмы равна радиусу окружности, вписанной в 
основание призмы. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

 

49.

 

Основания равнобокой трапеции равны 1 см и 17 см, а диагональ делит ее тупой угол 

пополам. Найдите площадь трапеции.

 

50.

 

Основания  равнобокой  трапеции  равны  15  см  и  39  см,  а  диагональ  делит  ее  острый 

угол пополам. Найдите площадь трапеции.

 

51.

 

Параллельно  оси  цилиндра

 

проведена  плоскость.  Образовавшееся  сечение  является 

квадратом  и    отсекает  от  окружности  основания  дугу,  градусной  мерой 

90°

.  Найдите 

площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус цилиндра равен 

2√2

 см. 

52.

 

Параллельно  оси  цилиндра

 

проведено  сечение,  которое  является  квадратом  со 

стороной 

6

 см  и  отсекает  от  окружности  основания  дугу,  градусной  мерой 



60

.  Найдите 

площадь боковой поверхности цилиндра.  

53.

 

Параллельно  оси  цилиндра

 

проведено  сечение.  Образовавшееся  сечение  является 

квадратом  и    отсекает  от  окружности  основания  дугу,  градусной  мерой 



90 .  Найдите 

площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус цилиндра равен 

2

2

 см.  

54.

 

Параллельно  оси  цилиндра,  радиус  основания  которого  равен  8  см,  проведена 

плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера 
которой равна 60°. Диагональ полученного сечения равна 17 см. Найдите объем цилиндра. 

55.

 

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 



60

, а боковое 

ребро   6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 

56.

 

Плоский  угол  при  вершине  правильной  треугольной  пирамиды,  не  принадлежащей 

основанию,  равен 



45

,  а  боковое  ребро  8  см.  Найдите  площадь  боковой  поверхности 

пирамиды. 

57.

 

Плоскости 



  и 



  параллельны.  Через  точки 

C

  и 

D

  плоскости 



  проведены 

параллельные прямые, которые пересекают плоскость 



  соответственно  в  точках   

C

1

  и 

D

1

. 

Найдите периметр  

D

D

CC

1

1

, если 

СC

1 

: 

СD

 = 3 : 1, 

СC

1

 на 6 см больше 

СD

.

 

58.

 

Плоскости 



  и 



  параллельны.  Через  точки 

C

  и 

D

  плоскости 



  проведены 

параллельные прямые, которые пересекают плоскость 



  соответственно  в  точках   

C

1

  и 

D

1

. 

Найдите периметр  

D

D

CC

1

1

, если 

СC

1

 : 

СD

 = 1 : 2, 

СC

1

 на 4 см меньше 

СD

.

 

59.

 

Плоскости 



  и 



  параллельны.  Через  точки 

C

  и 

D

  плоскости 



  проведены 

параллельные  прямые,  которые  пересекают  плоскость 



  соответственно  в  точках   

C

1

  и 

D

1

 

соответственно. Найдите периметр  

D

D

CC

1

1

 если 

СC

1 

: 

СD

 = 1 : 3, 

СC

1

 на 6 см больше 

СD

.

 

60.

 

Плоскости 

𝛼

  и 

𝛽

  параллельны.  Через  точки 

𝐴

  и 

𝐵

  плоскости 

𝛼

  проведены 

параллельные  прямые,  которые  пересекают  плоскость 

𝛽

  в  точках 

𝐴

1

  и 

𝐵

1

  соответственно. 

𝐴

1

𝐴: 𝐴𝐵 = 1: 3

,

 𝐴𝐵 = 9

 см. Найдите периметр 

𝐴

1

𝐴𝐵𝐵

1

. 

61.

 

Плоскости 

𝛼

  и 

𝛽

  параллельны.  Через  точки 

𝐶

  и 

𝐷

  плоскости 

𝛼

  проведены 

параллельные  прямые,  которые  пересекают  плоскость 

𝛽

  соответственно  в  точках 

𝐶

1

  и 

𝐷

1

. 

Найдите периметр 

𝐶

1

𝐶𝐷𝐷

1

, если 

𝐶

1

𝐶: 𝐶𝐷 = 1: 2

, 

𝐶

1

𝐶 = 4

 м. 

62.

 

Площадь боковой поверхности конуса равна 



136

 

см

2

, а его образующая равна 17 см. 

Найдите объем конуса. 

63.

 

Площадь боковой поверхности конуса равна 



65  см

2

, а его образующая равна 13 см. 

Найдите объем конуса. 

64.

 

При каком значении 

𝑥

 векторы 

𝑎(6; 0; 12)

 и 

𝑏(𝑥; 13; 4)

 перпендикулярны?

 

65.

 

При каком значении 

𝑧

 векторы 

𝑎(6; 0; 12)

 и 

𝑏(−8; 13; 𝑧)

 перпендикулярны?

 

66.

 

При параллельном переносе точка 

𝐴(−3; 1; 2)

 переходит в точку 

𝐴

′

(5; −1; 4)

. В какую 

точку при этом параллельном переносе перейдет точка 

М(−1; 0; 4)

?

 

67.

 

При параллельном переносе точка 

𝑀(−4; −6; 8)

 переходит в точку 

𝑀

′

(−10; 2; −4)

. В 

какую точку при этом параллельном переносе перейдет точка 

А(2; −1; 4)

?

 

68.

 

Радиус    окружности    равен    12  см.  Хорда  стягивает  дугу  в 



120 .  Определить  

расстояние  от  центра  окружности  до  хорды.

     

 

69.

 

Расстояние  от  точки 

𝑀

  до  всех  вершин  квадрата  равно 

5

 см.  Найдите  расстояние  от 

точки 

𝑀

 до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 

6

 см.  

70.

 

Расстояние от точки 

𝑀

 до сторон квадрата равно 

13

 см. Найдите расстояние от точки 

𝑀

 до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна 

10

 см. 

71.

 

Сколько  квадратных  метров  листового  железа  необходимо  для  изготовления  трубы 

длиной 

4

 м и диаметром 

200

 см? 

72.

 

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 

10

 см, а двугранный угол 

при основании равен 

60°

. Найдите площадь полной поверхности.

 

73.

 

Сторона  ромба  равна   

2

6

см,  тупой  угол  содержит 



135 .  Найдите  площадь 

вписанного  в  ромб  круга.

 

 

74.

 

Сторона ромба равна 8 см, тупой угол содержит 



150 . Найдите площадь вписанного  в  

ромб  круга.

 

 

75.

 

Стороны треугольника 

 

5 см, 6 см и 9 см. Найдите наибольшую высоту треугольника.

 

 

76.

 

Стороны  треугольника 

 

6 см,  25 см  и  29 см.  Найдите  наименьшую  высоту 

треугольника.

 

 

77.

 

Трапеция  вписана  в  окружность. Ее  основания  равны  17 см  и  11 см, а  один  из  

углов  равен  



45

. Найти  площадь  трапеции.   

 

78.

 

Трапеция  вписана  в  окружность. Ее  основания  равны  21 см и  5 см, а  один  из  

углов  равен 



135 . Найдите площадь трапеции.   

 

79.

 

Хорда  стягивает  дугу  в 



120 .  Расстояние  от  центра  окружности  до  хорды  20  см.  

Найдите диаметр этой окружности. 

80.

 

Через вершину 

А

  прямоугольника   

ABCD

  проведена  прямая 

АК

, перпендикулярная к 

его плоскости. Известно, что 

𝐾𝐷 = 6 см, 𝐾𝐵 = 7 см, 𝐾𝐶 = 10 см.

 Найдите расстояние между 

прямыми 

АК

 и 

ВC

.

 

81.

 

Через  вершину 

В

  квадрата   

ABCD

  проведена  прямая 

BF

,  перпендикулярная  к  его 

плоскости. Найдите расстояние от точки  

F

  до прямой  

АС

, если 

8



BF

дм, 

2

6



AB

 дм.

 

82.

 

Через концы отрезка 

АВ

 и его середину 

М

 проведены параллельные прямые, которые 

пересекают  некоторую  плоскость  в  точках 

А

1

, 

В

1

, 

М

1

.  Найдите  длину  отрезка 

ММ

1

,  если 

отрезок 

АВ

 не пересекает плоскость и 

АА

1 

= 36 см, 

ВВ

1 

= 48 см. 

83.

 

Через концы отрезка 

АВ

 и его середину 

М

 проведены параллельные прямые, которые 

пересекают  некоторую  плоскость  в  точках 

А

1

, 

В

1

, 

М

1

.  Найдите  длину  отрезка 

ММ

1

,  если 

отрезок 

АВ

 не пересекает плоскость и 

АА

1 

= 5 см, 

ВВ

1 

= 7 см. 

84.

 

Через  точку 

𝐾

,  не  лежащую  между  двумя  параллельными  плоскостями 

𝛼

  и 

𝛽

, 

проведены две прямые, которые пересекают плоскость 

𝛼

 в точках 

𝐶

1

 и 

𝐶

2

, а плоскость 

𝛽

 − в 

точках 

𝐷

1

 и 

𝐷

2

 соответственно. Найдите 

𝐶

1

𝐶

2

, если 

𝐷

1

𝐷

2

= 17

 м, 

𝐾𝐶

1

= 𝐶

1

𝐷

1

.

 

85.

 

Через  точку 

𝑃

,  не  лежащую  между  двумя  параллельными  плоскостями 

𝛼

  и 

𝛽

, 

проведены две прямые, которые пересекают плоскость 

𝛼

 в точках 

𝐴

1

 и 

𝐴

2

, а плоскость 

𝛽

 − в 

точках 

𝐵

1

 и 

𝐵

2

. Найдите 

𝐵

1

𝐵

2

, если 

𝐴

1

𝐴

2

= 6,5

 м, 

𝑃𝐴

1

= 𝐴

1

𝐵

1

. 

ЗАДАНИЯ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ ПО АЛГЕБРЕ 

 

Инструкция

. 

Запишите

 

развёрнутую

 

запись

 

решения

 

без

 

обоснования

 

и

 

ответ

.  

 

1.

 

Вычислите значение выражения: 

10

49

. 

2.

 

Вычислите значение выражения: 

2

 . 

3.

 

Вычислите значение выражения: 

25

.  

4.

 

Вычислите значение выражения: 

5

. 

5.

 

Вычислите значение выражения: 

6

25

. 

6.

 

Вычислите значение выражения: 

9

. 

7.

 

Вычислите значение выражения: 

4

√

1

. 

8.

 

Вычислите интеграл 

3𝑥

𝑑𝑥.

 

9.

 

Вычислите интеграл: 

sin 2𝑥𝑑𝑥

. 

10.

 

Вычислите интеграл: 

cos 2𝑥𝑑𝑥

. 

11.

 

Вычислите интеграл: 

 . 

12.

 

Вычислите интеграл: 

 . 

 

13.

 

Вычислите интеграл: 

√𝑥𝑑𝑥

. 

14.

 

Вычислите интеграл: 

√𝑥𝑑𝑥

. 

15.

 

Вычислите интеграл: 

4𝑥

4𝑥 𝑑𝑥

. 

16.

 

Вычислите интеграл: 

2𝑥

3𝑥 𝑑𝑥

. 

17.

 

Для  движущейся  точки,  скорость  которой

 v t

3t

12t

1

,  найдите  значение 

скорости в момент, когда ускорение равно 

18

 м/с

2

. 

18.

 

Для  движущейся  точки,  скорость  которой 

v t

6t

3t

4

,  найдите  значение 

скорости в момент, когда ускорение равно 

12

 м/с

2

. 

19.

 

Для  функции 

𝑓 𝑥

2𝑥

3

  найдите  первообразную,  график  которой  проходит 

через точку 

𝑀 1; 2 .

  

20.

 

Для  функции 

𝑓 𝑥

4𝑥

1

  найдите  первообразную,  график  которой  проходит 

через точку 

𝑀

1; 3

. 

21.

 

Запишите значения функции 

cos 120°

, 

cos 90°

, 

cos 30°

 в порядке возрастания.  

22.

 

Запишите значения функции 

sin 20° , sin 90°, sin 20°

 в порядке возрастания. 

23.

 

Найдите  значение выражения: 

4

.

 

24.

 

Найдите  значение выражения: 

3

log

√

27

.

 

25.

 

Найдите значение выражения:  

log 15

log 5

. 

 

26.

 

Найдите значение выражения:  

2 log 15

4 log 3

. 

 

27.

 

Найдите значение производной функции  

𝑦

   в точке 

𝑥

0.

 

28.

 

Найдите значение производной функции 

𝑓 𝑥

√2𝑥

1

 в точке 

𝑥

7,5

. 

29.

 

Найдите значение производной функции

 

𝑓 𝑥

√5𝑥

1

 в точке 

𝑥

3

. 

30.

 

Найдите значение производной функции 

𝑦

  в точке 

𝑥

0

. 

31.

 

Найдите  координаты    точек    пересечения    графиков  функций 

𝑦

4

  

и  

𝑦

65

4

. 

32.

 

Найдите  координаты  точек  пересечения  графиков  функций   

𝑦

3

  

и 

𝑦

3

6

. 

33.

 

Найдите множество значений функции 

𝑦

2 |sin 𝑥|

1

.  

34.

 

Найдите множество значений функции 

𝑦

2

3| cos 𝑥|

.  

35.

 

Найдите наибольшее значение функции 

𝑓 𝑥

𝑥

  на отрезке 

1; 3 .

   

36.

 

Найдите наибольшее значение функции 

𝑓 𝑥

𝑥

   на отрезке 

1; 4

. 

37.

 

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 

𝑦

  на отрезке 

0; 3 .

 

38.

 

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 

𝑦

  на отрезке 

3; 0

. 

39.

 

Найдите наименьший период функции 

𝑦

cos 𝑥 cos 3𝑥

sin 𝑥 sin 3𝑥

. 

40.

 

Найдите наименьший период функции 

𝑦

sin 𝑥 cos 2𝑥

cos 𝑥 sin 2𝑥

. 

41.

 

Найдите нули функции 

y

cos 𝑥

sin 𝑥

  на промежутке 

0; 𝜋

.    

42.

 

Найдите нули функции 

y

sin 𝑥 ∙ cos 𝑥

 на промежутке 

0; 2𝜋

. 

43.

 

Найдите  область  определения  и  множество  значений  функции,  обратной  

к функции 

𝑦

.  

44.

 

Найдите  область  определения  и  множество  значений  функции,  обратной 

 к функции 

𝑦

.  

45.

 

Найдите область определения функции 

y

√x

x

2

. 

46.

 

Найдите область определения функции 

y

√3

2x

x

. 

47.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

log 𝑥

2𝑥

3

. 

48.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

log 𝑥

𝑥

2

. 

49.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

√sin 𝑥

1

. 

50.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

0,7

 . 

51.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

3

. 

52.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

3

. 

53.

 

Найдите область определения функции 

𝑓 𝑥

𝑙𝑜𝑔 𝑥

𝑥

2

. 

54.

 

Найдите область определения функции 

𝑦

√

. 

55.

 

Найдите область определения функции 

𝑦

√cos 𝑥

1

. 

56.

 

Найдите область определения функции 

𝑦

. 

57.

 

Найдите область определения функции 

𝑦

. 

58.

 

Найдите промежутки, на которых функция 

𝑦

  возрастает.  

59.

 

Найдите промежутки, на которых функция 

𝑦

  убывает.  

60.

 

Найдите точки пересечения графика функции 

𝑦

2 cos 𝑥

1

 с осью абсцисс. 

61.

 

Найдите точки пересечения графика функции 

𝑦

2 sin 𝑥

1

 с осью абсцисс. 

62.

 

Найдите  точки,  в  которых  пересекаются  графики  функций 

𝑦

√4𝑥

5

 

 и 

𝑦

𝑥

. 

63.

 

Найдите  уравнение  касательной  к  графику  функции 

𝑓 𝑥

√4𝑥

3

  в  точке  с 

абсциссой 

𝑥

1

. 

64.

 

Напишите  уравнение  касательной  к  графику  функции 

𝑦

0,5𝑥

2𝑥

  в  точке 

𝑥

2

. 

65.

 

Напишите уравнение касательной к графику функции 

𝑦

0,5𝑥

3𝑥

 в точке 

𝑥

2

. 

66.

 

Определите вид числа:  

√

√

√

√

2√6

. 

 

67.

 

Определите вид числа: 

√

√

√

√

2√42

.

 

68.

 

При каких значениях  

x

  

𝑓



𝑥

0

, если 

𝑓 𝑥

sin 4𝑥 cos 𝑥

cos 4𝑥 sin 𝑥

𝑥

.                      

69.

 

При каких значениях  

х

 

𝑓



𝑥

0

, если 

𝑓 𝑥

sin 4𝑥 cos 𝑥

cos 4𝑥 sin 𝑥

1,5𝑥

.  

70.

 

Решите неравенство 

f x

0

, если 

f x

2x

8x

7

. 

71.

 

Решите неравенство 

f x

0

, если 

f x

x

3x

5

. 

72.

 

Решите неравенство: 

 5

х

5

х

130

 

73.

 

Решите неравенство: 

  log 2x

3

1

. 

74.

 

Решите неравенство: 

0,3

1

. 

75.

 

Решите неравенство: 

0,7

1

. 

76.

 

Решите неравенство: 

log 3x

4

5

. 

77.

 

Решите неравенство: 

log

,

𝑥

8

log

,

𝑥

3

log

,

3𝑥

. 

78.

 

Решите неравенство: 

log 2𝑥

15

log 5𝑥

log 𝑥

4

. 

79.

 

Решите неравенство: 

4

х

4

х

320

. 

80.

 

Решите систему неравенств:  

𝑥

𝑥

0,

|𝑥|

2

.

  

81.

 

Решите систему неравенств: 

𝑥

2𝑥

0,

|𝑥

1|

2

 . 

82.

 

Решите уравнение 

𝑙𝑜𝑔

,

2𝑥

5

1

. 

83.

 

Решите уравнение 

√𝑥

8𝑥

12

6

𝑥

.

 

84.

 

Решите уравнение 

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

0

. 

85.

 

Решите уравнение 

4

4

260.

 

86.

 

Решите уравнение 

𝑓



𝑥

0

, если 

𝑓 𝑥

cos 5𝑥 cos 3𝑥

sin 5𝑥 sin 3𝑥

𝑥

. 

87.

 

Решите уравнение:  

log cos x

2,5

0,5

. 

88.

 

Решите уравнение: 

∙

. 

89.

 

Решите уравнение: 

∙

. 

90.

 

Решите уравнение: 

cos 𝑥

cos 𝑥

0

. 

91.

 

Решите уравнение: 

log 2𝑥

1

2

. 

92.

 

Решите уравнение: 

log 𝑥

4 log 𝑥

3

. 

93.

 

Решите уравнение: 

log 𝑥

log 𝑥

2

. 

94.

 

Решите уравнение: 

log

,

𝑥

3𝑥

1

. 

95.

 

Решите уравнение: 

log

,

2𝑥

5

1

. 

96.

 

Решите уравнение: 

log

,

𝑥

𝑥

1

. 

97.

 

Решите уравнение: 

log

sin 𝑥

3,5

0,5

. 

98.

 

Решите уравнение: 

sin 𝑥

sin 𝑥

0

. 

99.

 

Решите уравнение: 

√x

4x

5

1

x

.  

100.

 

Решите уравнение: 

√x

8x

12

6

x

. 

101.

 

Решите уравнение: 

√15

3𝑥

1

𝑥

. 

102.

 

Решите уравнение: 

√15

3𝑥

𝑥

1

. 

103.

 

Решите уравнение: 

16

15 ∙ 4

16

0

. 

104.

 

Решите уравнение: 

√2x

4

√x

2

. 

105.

 

Решите уравнение: 

√3𝑥

7

7

𝑥

. 

106.

 

Решите уравнение: 

4

12 ∙ 2

32

0

. 

107.

 

Решите уравнение: 

9

10 ∙ 3

9

0

. 

108.

 

Решите уравнение: 

9

2 ∙ 3

3

0

. 

109.

 

Решите уравнение: 

√x

2

√2x

4

. 

110.

 

Решите уравнение: 

4 cos 3x

4

0

. 

111.

 

Решите уравнение: 

4 sin 2x

4

0

. 

112.

 

Решите уравнение: 

𝑥

√3𝑥

7

7

. 

113.

 

Тело движется по закону 

𝑠 𝑡

𝑡

𝑡

7𝑡

2

. Найдите скорость и ускорение 

через 2 сек  после начала движения (s измеряется в метрах).  

114.

 

Тело  движется  по  закону 

𝑠 𝑡

𝑡

𝑡

20𝑡

3

.  Найдите  скорость  и 

ускорение через  2 сек  после начала движения (s измеряется в метрах).  

115.

 

Упростите выражение 

√

√

√

√

2√6

. 

 

116.

 

Упростите выражение 

√

√

√

√

2√42

.

 

117.

 

Упростите

 

выражение:  

  . 

118.

 

Упростите выражение: 

∙

  при  

𝑎

0, 𝑎

1

. 

119.

 

Упростите выражение: 

√

√

√

√

√

√

10

. 

120.

 

Упростите выражение: 

√

√

√

√

√

√

12

. 

121.

 

Упростите

 

выражение: 

. 

122.

 

Упростите выражение: 

∙

  при  

𝑥

0, 𝑦

0

. 

123.

 

Упростите выражение: 

𝑎

√

∙

√

√

  при  

𝑎

0

. 

124.

 

Упростите выражение: 

𝑎

𝑏

 , если 

𝑦

0, 𝑎

𝑏

.

 

125.

 

Упростите выражение: 

𝑎

√

∙

√

√

  при  

𝑎

0

. 

126.

 

Упростите выражение: 

𝑏 √𝑎 √𝑎 𝑏 √𝑎 √𝑎 𝑏

, если  

𝑏

0

. 

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ 

Инструкция

. 

Решите

 

задание

. 

Дайте

 

краткий

 

ответ

. 

 
1.

 

Апофема  правильной  треугольной  пирамиды  4  см,  а  сторона  основания  8 см. 

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 

2.

 

Апофема правильной четырехугольной пирамиды 8 см, а сторона основания 6 см. 

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 

3.

 

Биссектриса  острого  угла  параллелограмма  делит  одну  из  его  сторон  на  отрезки   

5 см и 3 см, считая от вершины тупого угла. Найдите периметр параллелограмма. 

4.

 

В 

∆𝐴𝐵𝐶

 стороны 

𝐴𝐵

2

 см, 

𝐴𝐶

3

 см, 

∠𝐴

60

°

. Найдите 

𝐵𝐶

. 

5.

 

В 

∆𝐴𝐵𝐶

 стороны 

𝐴𝐵

4

 см, 

𝐴𝐶

4√3

 см, 

∠𝐶

30

°

. Найдите 

∠𝐵

. 

6.

 

В 

∆𝐾𝑀𝑃

 стороны 

𝐾𝑀

1

 см, 

𝐾𝑃

√2

 см, 

∠𝑃

30

°

. Найдите 

∠𝑀

. 

7.

 

В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 

5

 см. Высота призмы равна 

40

 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.  

8.

 

В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 6 см. Высота призмы равна 

12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.  

9.

 

В  основании  четырехугольной  пирамиды  лежит  ромб,  площадь  которого  12 см

2

. 

Объем пирамиды 40 см

3

. Найдите высоту пирамиды. 

10.

 

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна ее боковой стороне и образует 

с большим основанием угол 

25

°

. Найдите тупой угол трапеции

.

 

11.

 

В равностороннем треугольнике высота равна 

12

 дм. Найдите радиус окружности 

описанной около этого треугольника. 

12.

 

В  равностороннем  треугольнике  высота  равна  15 дм.  Найдите  радиус  окружности 

описанной около этого треугольника. 

13.

 

В  треугольнике 

KMD

  стороны 

MD

  =  16  см, 

МК

  =  20  см, 

MC

  –  биссектриса,  а 

отрезок 

CD

 = 4 см. Найдите

 

К

C

. 

14.

 

В  треугольнике 

MNK 

стороны 

MN

  =  12  см, 

МК

  =  10  см, 

MD 

–  биссектриса,  а 

отрезок  

KD

 = 5 см. Найдите 

DN

. 

15.

 

В  треугольнике  одна  сторона  равна 

8√3

 см,  а  противолежащий  угол  равен 

60°

. 

Найдите длину радиуса описанной окружности. 

16.

 

Внутренний  угол  правильного  многоугольника  при  одной  из  его  вершин  равен 

144°

 . Сколько сторон имеет этот многоугольник? 

17.

 

Внутренний  угол  правильного  многоугольника  при  одной  из  его  вершин  равен 

150

°

. Сколько сторон имеет этот многоугольник? 

18.

 

Во  сколько  раз  надо  уменьшить  стороны  квадрата,  чтобы  его  площадь 

уменьшилась в 25 раз? 

19.

 

Во  сколько  раз  необходимо  увеличить  радиус  шара,  чтобы  его  объем  увеличился 

в 27 раз? 

20.

 

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить 

в 

3

 раза? 

21.

 

Высота  цилиндра  10 см.  Найдите  площадь  полной  поверхности  цилиндра,  если 

радиус его основания 4 см. 

22.

 

Высота  цилиндра  6 см.  Найдите  площадь  полной  поверхности  цилиндра,  если 

радиус его основания 3 см. 

23.

 

Гипотенуза  прямоугольного  треугольника  равна  13  см,  а  катет  5  см.  Чему  равен 

другой катет треугольника? 

24.

 

Гипотенуза  равна 

16

 см,  а  проекция  катета  на  гипотенузу  равна 

4

 см.  Найдите 

данный катет. 

25.

 

Дан  куб 

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

.  Найдите  градусную  меру  угла,  гранями  которого 

являются полуплоскости 

𝐴𝐵𝐶

 и 

𝐵𝐶𝐷

. 

26.

 

Дан  параллелепипед 

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

.  Назовите  вектор,  начало  и  конец  которого 

являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов 

𝐴𝐵

𝐴𝐷

𝐴𝐴

. 

27.

 

Дан  параллелепипед 

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

.  Назовите  вектор,  начало  и  конец  которого 

являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов 

𝐷𝐴

𝐷𝐶

𝐷𝐷

. 

28.

 

Дана  пирамида 

SABCD

.  Назовите  вектор,  начало  и  конец  которого  являются 

вершинами параллелепипеда, равный разности векторов 

SD

SB



.  

29.

 

Дана  трапеция 

𝐴𝐵𝐶𝐷

.  На  большем  основании 

𝐴𝐷

  трапеции 

𝐴𝐵𝐶𝐷

  взята  точка 

𝐾

 

так, что 

𝐵𝐾 ∥ 𝐶𝐷

, 

∠𝐴𝐵𝐾

80

°

, 

∠𝐵𝐾𝐴

40

°

. Найдите угол 

𝐴𝐵𝐶

.

 

30.

 

Дано  уравнение  окружности 

𝑥

3

𝑦

4

16

.  Чему  равен  радиус 

окружности? 

31.

 

Дано уравнение окружности 

𝑥

3

𝑦

6

9

. Укажите координаты центра 

окружности.

 

32.

 

Даны  треугольники 

𝐴𝐵𝐶

  и 

𝐷𝐾𝑃

.  Зная 

∠𝐴

∠𝐷

, 

∠𝐵

∠𝐾

,

 𝐴𝐵

12

 см, 

𝐵𝐶

18

 см, 

𝐴𝐶

20

 см, 

𝐷𝐾

6

 см. Найдите 

𝐾𝑃

 и 

𝐷𝑃

. 

33.

 

Две стороны треугольника равны 

7

 м и 

9

 м, а угол между ними равен 

60

°

. Найдите 

третью сторону. 

34.

 

Диагональ  прямоугольника  равна  4  см  и  образует  с  меньшей  стороной  угол 

60

°

. 

Найдите меньшую сторону прямоугольника.

 

35.

 

Диаметр шара равен 12 см. Найдите объем шара. 

36.

 

Длина дуги окружности  равна 

4𝜋

 см, а ее градусная мера – 

20°

. Найдите радиус 

окружности. 

37.

 

Длина  дуги  окружности    равна 

4𝜋

 см,  а  ее  градусная  мера  равна 

60

°

.  Найдите 

радиус окружности. 

38.

 

Какой  координатной  оси  принадлежит  середина  отрезка 

AB 

с  концами  в  точках 

𝐴 7; 3; 5

 и 

𝐵 7; 8; 5

? 

39.

 

Какой  координатной  оси  принадлежит  середина  отрезка 

АВ

  с  концами  в  точках 

𝐴 2; 3; 5

 и  

𝐵 2; 3; 7

? 

40.

 

Катет  прямоугольного  треугольника  равен  8 см,  а  его  проекция  на  гипотенузу – 

4 см. Найдите гипотенузу

.

  

41.

 

Найдите координаты  векторы  

𝐴𝐵

, если  

𝐴

3; 2; 8

  и 

𝐵 4; 8; 9

. 

42.

 

Найдите координаты  векторы  

𝐴𝐵

, если  

𝐴

4; 3; 7

  и 

𝐵 5; 9; 8 .

 

43.

 

Найдите координаты вектора 

𝑐

, если 

с

𝑏

 и 

𝑏

2; 4; 0

. 

44.

 

Найдите координаты вектора 

𝑛

, если  

𝑛

𝑎

  и  

𝑎

6; 0; 9

. 

45.

 

Найдите координаты середины отрезка 

𝐴𝐵

, если 

𝐴 2; 3; 4

, 

𝐵 2; 3; 8

. 

46.

 

Найдите координаты середины отрезка 

𝐴𝐵

, если 

𝐴 2; 4; 8

, 

𝐵 6; 8; 2

. 

47.

 

Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если 

его основание 6 см, а угол при вершине 

30°

. 

48.

 

Найдите  радиус  окружности,  описанной  около  треугольника 

ABC

,  если  

𝐴𝐵

12

 см, а  

∠𝐴𝐶𝐵

30°

.  

49.

 

Найдите  радиус  окружности,  описанной  около  треугольника 

MKP

,  если  

МР

12√2

 см, а 

∠

МКР

45

°

.  

50.

 

Найдите расстояние от точки 

𝐴 1; 2; 3

 до начала координат. 

51.

 

Найдите расстояние от точки 

𝐵

1; 1; 1

 до начала координат. 

52.

 

Найдите скалярное произведение векторов 

𝑎

2; 3; 1

 и 

𝑏 0; 2; 2

. 

53.

 

Найдите скалярное произведение векторов 

𝑎 3; 1; 2

 и 

𝑏

2; 2; 0

. 

54.

 

Образующая конуса 6 см, радиус основания 3 см. Определите боковую поверхность 

конуса. 

55.

 

Образующая конуса равна 10 см, а радиус основания – 6 см. Найдите объем конуса. 

56.

 

Образующая конуса равна 13 см, а высота – 12 см. Найдите объем конуса. 

57.

 

Образующая конуса равна 6 см, а высота – 

3√3

 см. Определите площадь боковой 

поверхности конуса. 

58.

 

Объем  треугольной  пирамиды  равен  24  дм

3

.  Высота  пирамиды 

6√3

 дм.  Найдите 

площадь основания данной пирамиды. 

59.

 

Объем  треугольной  пирамиды  равен 

75

 дм

3

.  Высота  пирамиды 

5√3

 дм.  Найдите 

площадь основания данной пирамиды. 

60.

 

Объем цилиндра   

𝜋

. Найдите высоту цилиндра, если диаметр основания равен 1. 

61.

 

Объем цилиндра 

4𝜋

. Найдите диаметр цилиндра основания, если высота цилиндра 

равна 1. 

62.

 

Объем  четырехугольной  пирамиды  равен 

24

 см

3

,  а  площадь  основания  пирамиды 

12

 см

2

. Найдите высоту этой пирамиды. 

63.

 

Объем шара 



36  см

3

. Найдите диаметр шара. 

64.

 

Объем шара 

𝜋

 

см

3

. Найдите радиус шара. 

65.

 

Объем шара 

𝜋

 

см

3

. Найдите радиус шара. 

66.

 

Объем шара 

36𝜋 

см

3

. Найдите диаметр шара. 

67.

 

Один  из  углов  ромба  равен 



60 ,  а  длина  меньшей  диагонали –  10 см.  Найдите 

периметр ромба

. 

68.

 

Одно из оснований трапеции равно 5 см, а ее средняя линия – 8 см. Найдите второе 

основание трапеции.  

69.

 

Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 

6

 см. Найдите объем цилиндра. 

70.

 

Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 8 см. Найдите объем цилиндра. 

71.

 

Основание  прямой  призмы –  прямоугольный  треугольник  с  катетами  6 см  и  8 см. 

Найдите объем призмы, если высота призмы – 5 см. 

72.

 

Основание  прямой  призмы −  прямоугольник  со  сторонами  8 см  и  6 см.  Боковое 

ребро 10 см. Найдите объем призмы.  

73.

 

Основание  прямой  призмы −  равнобедренный  треугольник  с  основанием  8 см  и 

боковой  стороной  5 см.  Высота  призмы  равна  10 см.  Найдите  площадь  боковой 
поверхности призмы. 

74.

 

Основанием  прямой  призмы  является  равнобедренный  треугольник  с  основанием 

10 см  и  боковой  стороной  6 см.  Высота  призмы  равна  5 см.  Найдите  площадь  боковой 
поверхности призмы. 

75.

 

Основания  трапеции  относятся  как 

2: 5

,  а  ее  средняя  линия  равна  28 см.  Найдите 

основания трапеции.  

76.

 

Параллельный  перенос  задается  формулами 

𝑥

′

𝑥

3

, 

𝑦

′

𝑦

2

, 

 𝑧

′

𝑧

8

.  

В какую точку при этом параллельном переносе переходит начало координат? 

77.

 

Параллельный  перенос  задается  формулами 

𝑥

′

𝑥

5

, 

𝑦

′

𝑦

10

, 

 𝑧

′

𝑧

1

.  

В какую точку при этом параллельном переносе переходит начало координат? 

78.

 

Периметр  ромба  равен  80 см,  а  один  из  его  углов 



60 .  Найдите  длину  меньшей 

диагонали

.

 

79.

 

Площадь  боковой  поверхности  правильной  треугольной  призмы  равна 

135

 см

2

,  

а периметр основания 15 см. Найдите длину бокового ребра призмы. 

80.

 

Площадь  боковой  поверхности  правильной  треугольной  призмы  равна  48  см

2

. 

Высота призмы 4 см. Найдите сторону основания данной призмы. 

81.

 

Площадь  боковой  поверхности  правильной  четырехугольной  призмы  равна 

192 см

2

, а периметр основания 12 см. Найдите длину бокового ребра призмы. 

82.

 

Площадь  боковой  поверхности  цилиндра  равна 

40𝜋

 см

2

,  а  высота  – 

5

 см. 

Вычислите  радиус цилиндра. 

83.

 

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 

40𝜋

 см

2

, а радиус основания –4 см. 

Вычислите высоту цилиндра. 

84.

 

Площадь поверхности шара равна  

4𝜋

 

см

2

. Найдите радиус шара. 

85.

 

Площадь поверхности шара равна 

36𝜋

 

см

2

. Найдите радиус шара. 

86.

 

Правильный  треугольник  со  стороной 

√12

 см  вписан  в  окружность.  Найдите 

радиус этой окружности.  

87.

 

При каком значении 

k

 векторы 

𝑎 6; 0; 12

 и 

𝑏 𝑘; 13; 4

 будут перпендикулярными? 

88.

 

При 

каком 

значении 

п

 

векторы 

𝑎 6; 0; 12

 

и 

𝑏

8; 13; 𝑛  

будут 

перпендикулярными? 

89.

 

При каком значении 

𝑚

 векторы 

𝑎 5; 𝑚; 1

 и 

𝑏

10; 20; 2

 коллинеарны? 

90.

 

При каком значении 

𝑛

 векторы 

𝑎 2; 𝑛; 3

 и 

𝑏

4; 6; 6

 коллинеарны? 

91.

 

Радиус  круга  равен  4 дм.  Найдите  площадь  сектора  этого  круга,  если  градусная 

мера его дуги равна

  90

.  

92.

 

Радиус  круга  равен  6 дм.  Найдите  площадь  сектора  этого  круга,  если  градусная 

мера его дуги равна

  60

.  

93.

 

Радиус  окружности,  вписанной  в  правильный  шестиугольник,  равен 

8√3

 см. 

Найдите сторону шестиугольника. 

94.

 

Радиус шара уменьшили в 2 раза. Во сколько раз уменьшился объем шара? 

95.

 

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов 

равна 

1440°

  ? 

96.

 

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов 

равна 

1980°

? 

97.

 

Сторона  основания  правильной  треугольной  призмы 

6

 см,  а  боковое  ребро 

10

 см. 

Вычислите объем призмы.