Задание №1
Объект исследования: – 30 автономных образований России
1. Цель статистического наблюдения – собрать сведения о 30 автономных образований по валовому региональному продукту (ВРП), общей численности населения, численности занятого населения, стоимости основных фондов (ОФ) по каждому из объектов.
2. Избранным объектом наблюдения являются автономные образования России, единицей измерения является регион.
3. Программа наблюдения включает в себя:
– единовременно получить информацию из статистического сборника «Россия в цифрах» из Интернет по 30 обследуемым объектам по состоянию на 1 января 2001 года по валовому региональному продукту (ВРП), общей численности населения, численности занятого населения, стоимости основных фондов (ОФ).
4. Инструментарий наблюдения – формуляр обследования, включающий наименование региона и данные по каждому региону.
5. Макет статистической таблицы:
Таблица 1. Сведения об автономных образованиях по валовому региональному продукту (ВРП), общей численности населения, численности занятого населения, стоимости основных фондов (ОФ) на 1 января 2001 года
№ п/п
|
Регион
|
ВРП, млн. руб.
|
Общая числ, тыс. чел.
|
Числ., занят., тыс. чел.
|
Ст-ть ОФ, млн. руб.
|
Задание №2
Таблица 2. Данные из регионального справочника «Россия в цифрах» (по данным на 1 января 2001 года)
№ п/п
|
Регион
|
ВРП, млн. руб.
|
Общая числ, тыс. чел.
|
Числ., занят., тыс. чел.
|
Ст-ть ОФ, млн. руб.
|
1
|
Адыгея
|
5110.2
|
446
|
156.8
|
47056
|
2
|
Башкирия
|
114145.1
|
4101.7
|
1746.2
|
407013
|
3
|
Алтай
|
2568.1
|
204.8
|
84.3
|
15278
|
4
|
Бурятия
|
18085
|
1026.3
|
395.5
|
91700
|
5
|
Дагестан
|
13043.6
|
2160.3
|
737.8
|
134133
|
6
|
Кабардино-Балкария
|
10529.8
|
783.9
|
303.7
|
48059
|
7
|
Калмыкия
|
2127.1
|
314.3
|
117.4
|
21677
|
8
|
Карачаево-Черкесия
|
4317.5
|
430.7
|
139.4
|
32493
|
9
|
Карелия
|
20382.3
|
760.6
|
343.1
|
90800
|
10
|
Коми
|
50914.3
|
1126.1
|
499.2
|
201201
|
11
|
Марий-Эл
|
10467.7
|
755.2
|
333.4
|
95617
|
12
|
Мордовия
|
14075.5
|
919.7
|
404.9
|
70373
|
13
|
Сев. Осетия
|
7572.3
|
677
|
227.2
|
43296
|
14
|
Татарстан
|
123671.8
|
3776.8
|
1694
|
477390
|
15
|
Тува
|
2616.3
|
310.7
|
99.2
|
14652
|
16
|
Удмуртия
|
37501.6
|
1623.8
|
767.8
|
180173
|
17
|
Хакасия
|
14317.1
|
578.3
|
241
|
61889
|
18
|
Ингушетия
|
2030.7
|
460.1
|
59.4
|
5139
|
19
|
Эвенкийский а. о.
|
129456,9
|
18,5
|
9,9
|
1842
|
20
|
Чувашия
|
18372.1
|
1353.4
|
610.4
|
113170
|
21
|
Якутия-Саха
|
64688
|
986
|
471.7
|
220865
|
22
|
Еврейская а.обл.
|
2443.5
|
195.6
|
71.2
|
20746
|
23
|
Агинский-Бурятский а
|
22160.9
|
79.3
|
26.3
|
3742
|
24
|
Коми-Пермяцкий а.о.
|
94893.9
|
149.1
|
58.7
|
6370
|
25
|
Корякский а.о.
|
15462.2
|
29.1
|
16.6
|
5497
|
26
|
Ненецкий а.о.
|
38994.1
|
45
|
21.4
|
17633
|
27
|
Таймырский а.о.
|
129456.9
|
43.7
|
22.2
|
5400
|
28
|
Усть-Ордынский а.о.
|
85889.1
|
143
|
62.5
|
6335
|
29
|
Ханты-Мансийский а.о
|
356139
|
1401.9
|
792
|
641474
|
30
|
Чукотский а.о.
|
3212.1
|
75.3
|
32.7
|
18712
|
Решение
1. Количество групп равно 1+ 3,322lg30 = 1 + 3,322 х 1,48 = 4,4
Принимаем число групп =5
Величина интервала равна (356139 – 2030,7) / 5 = 70821,7
Сгруппируем предприятия по размеру Валового регионального продукта (ВРП) в группы с интервалами 2030,7–72852,4; 72852,4–143674,1; 143674,1–214495,8; 214495,8–285317,5; 285317,5–356139.
2. Расчеты по каждой группе произведем в таблицах 3–5
Показатели по группам
Таблица 3. Группа №1
№ п/п
|
Валовой региональный продукт, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
Общая численность населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Численность занятого населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Стоимость основных фондов, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
1
|
2030.7
|
0,5
|
460.1
|
3,0
|
59.4
|
0,9
|
5139
|
0,4
|
2
|
2127.1
|
0,6
|
314.3
|
2,1
|
117.4
|
1,9
|
21677
|
1,4
|
3
|
2443.5
|
0,7
|
195.6
|
1,3
|
71.2
|
1,2
|
20746
|
1,3
|
4
|
2568.1
|
0,7
|
204.8
|
1,3
|
84.3
|
1,4
|
15278
|
1,0
|
5
|
2616.3
|
0,7
|
310.7
|
2,0
|
99.2
|
1,6
|
14652
|
0,9
|
6
|
3212.1
|
0,8
|
75.3
|
0,5
|
32.7
|
0,5
|
18712
|
1,2
|
7
|
4317.5
|
1,1
|
430.7
|
2,8
|
139.4
|
2,3
|
32493
|
2,1
|
8
|
5110.2
|
1,3
|
446
|
2,9
|
156.8
|
2,5
|
47056
|
3,0
|
9
|
7572.3
|
2,0
|
677
|
4,4
|
227.2
|
3,7
|
43296
|
2,8
|
10
|
10467.7
|
2,7
|
755.2
|
4,9
|
333.4
|
5,4
|
95617
|
6,2
|
11
|
10529.8
|
2,8
|
783.9
|
5,1
|
303.7
|
4,9
|
48059
|
3,1
|
12
|
13043.6
|
3,4
|
2160.3
|
14,1
|
737.8
|
12,0
|
134133
|
8,6
|
13
|
14075.5
|
3,7
|
919.7
|
6,0
|
404.9
|
6,6
|
70373
|
4,5
|
14
|
14317.1
|
3,8
|
578.3
|
3,8
|
241
|
3,9
|
61889
|
4,0
|
15
|
15462.2
|
4,1
|
29.1
|
0,2
|
16.6
|
0,3
|
5497
|
0,4
|
16
|
18085
|
4,8
|
1026.3
|
6,7
|
395.5
|
6,4
|
91700
|
5,9
|
17
|
18372.1
|
4,8
|
1353.4
|
8,8
|
610.4
|
9,9
|
113170
|
7,3
|
18
|
20382.3
|
5,3
|
760.6
|
5,0
|
343.1
|
5,6
|
90800
|
5,8
|
19
|
22160.9
|
5,8
|
79.3
|
0,5
|
26.3
|
0,4
|
3742
|
0,2
|
20
|
37501.6
|
9,8
|
1623.8
|
10,6
|
767.8
|
12,5
|
180173
|
11,6
|
21
|
38994.1
|
10,2
|
45
|
0,3
|
21.4
|
0,3
|
17633
|
1,1
|
22
|
50914.3
|
13,4
|
1126.1
|
7,3
|
499.2
|
8,1
|
201201
|
13,0
|
23
|
64688
|
17,0
|
986
|
6,4
|
471.7
|
7,7
|
220865
|
14,2
|
Итого
|
380992
|
100,0
|
15341,5
|
100,0
|
6160,4
|
100,0
|
1553901
|
100,0
|
Таблица 4. Группа №2
№ п/п
|
Валовой региональный продукт, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
Общая численность населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Численность занятого населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Стоимость основных фондов, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
1
|
85889,1
|
12,7
|
143
|
1,8
|
62,5
|
1,7
|
6335
|
0,7
|
2
|
94893,9
|
14,0
|
149,1
|
1,8
|
58,7
|
1,6
|
6370
|
0,7
|
3
|
114145,1
|
16,8
|
4101,7
|
49,8
|
1746,2
|
48,6
|
407013
|
45,0
|
4
|
123671,8
|
18,3
|
3776,8
|
45,9
|
1694
|
47,2
|
477390
|
52,8
|
5
|
129456,9
|
19,1
|
18,5
|
0,2
|
9,9
|
0,3
|
1842
|
0,2
|
6
|
129456,9
|
19,1
|
43,7
|
0,5
|
22,2
|
0,6
|
5400
|
0,6
|
Итого
|
677513,7
|
100,0
|
8232,8
|
100,0
|
3593,5
|
100,0
|
904350
|
100,0
|
Таблица 5. Группа №5
№ п/п
|
Валовой региональный продукт, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
Общая численность населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Численность занятого населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Стоимость основных фондов, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
1
|
356139
|
100,0
|
1401,9
|
100,0
|
792
|
100,0
|
641474
|
100,0
|
Итого
|
356139
|
100,0
|
1401,9
|
100,0
|
792
|
100,0
|
641474
|
100,0
|
В основном, все регионы находятся в 1-й группе, но наибольшее количество ВРП производится в регионах, относящихся ко 2-й группе. Тем не менее, Хантымансийский а.о., при стоимости 1/5 основных фондов и удельном весе численности населения 5,6%, произвел валового регионального продукта в размере 25,2% от выборки.
Сводные данные приведем в таблице 6.
Таблица 6. Сводная группировка
№ группы
|
Валовой региональный продукт, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
Общая численность населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Численность занятого населения, тыс. чел
|
Уд. Вес, %
|
Стоимость основных фондов, млн. руб.
|
Уд. Вес, %
|
1
|
380992
|
26,9
|
15341,5
|
61,4
|
6160,4
|
58,4
|
1553901
|
50,1
|
2
|
677513,7
|
47,9
|
8232,8
|
33,0
|
3593,5
|
34,1
|
904350
|
29,2
|
3
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
4
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
5
|
356139
|
25,2
|
1401,9
|
5,6
|
792
|
7,5
|
641474
|
20,7
|
Итого
|
1414644,7
|
100,0
|
24976,2
|
100,0
|
10545,9
|
100,0
|
3099725
|
100,0
|
3. Зависимость валового регионального продукта от стоимости основных фондов – прямо пропорциональна, от численности занятого населения – обратно пропорциональна и зависит от природных богатств региона.
4. Полученная группировка нестандартна, так как отсутствуют 3,4 группы, но тем не менее, основное количество объектов исследования находится в 1-й группе, максимальные общие показатели находятся во 2-й группе, но при этом 5-я группа, несмотря на единственный объект, является лидером по всем показателям.
Задание №3
1. Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы и составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал:
Таблица 7. Рабочая таблица
№ группы
|
Валовой региональный продукт, млн.
руб.
|
Количество регионов, Fj
|
Середина интервала, млн
руб. Xj
|
Xj * Fj
|
Накопленная частота f
|
1
|
2030,7–72852,4
|
23
|
37441,55
|
61155,65
|
23
|
2
|
72852,4–143674,1
|
6
|
108263,25
|
649579,5
|
29
|
3
|
143674,1–214495,8
|
-
|
179084,95
|
-
|
29
|
4
|
214495,8–285317,5
|
-
|
249906,65
|
-
|
29
|
5
|
285317,5–356139
|
1
|
320728,25
|
320728,25
|
30
|
Итого
|
|
30
|
|
1031463,4
|
|
Средняя арифметическая взвешенная:
Хср = 1031463,4 / 30 = 34382,1
Для определения показателей вариации вариационного ряда составим промежуточную таблицу на основе группировочной таблицы.
Таблица 8. Промежуточная таблица
Середина интервала по группам,
млн. руб.
Х
|
Количество регионов, F
|
(X-Xcр)
|
│X-Xcр│ F
|
(X-Xcр)2
F
|
37441,55
|
23
|
3059,45
|
70367,35
|
215285388,96
|
108263,25
|
6
|
73881,15
|
443286,9
|
32750545951,9
|
179084,95
|
-
|
144702,85
|
-
|
-
|
249906,65
|
-
|
215524,55
|
-
|
-
|
320728,25
|
1
|
286346,15
|
286346,15
|
81994117619,8
|
Итого
|
30
|
|
800000,4
|
114959948960,66
|
Размах вариации:
R =Xmax – Xmin=356139 – 2030,7 = 354108,3
Среднее линейное отклонение (взвешенное):
L =Σ (Х-Хср) F / n = 800000,4/30 = 266666,8 млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение:
δ = √3831998298,68 = 61903,14
Дисперсия:
δ2
= 114959948960,66 / 30 = 3831998298,68
2. При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются отрезки, соответствующие величине интервалов ряда. На отрезках строятся прямоугольники, площадь которых пропорциональна частотам интервала.
Вывод. По полученным графикам можно констатировать, что от группы к группе количество обследуемых объектов уменьшалось, при этом произошел разрыв между 2-й и 5-й группами, что подтверждается графиками гистограммы и полигона распределения. График куммуляты показывает, что от группы к группе нарастающим итогом происходило увеличение ВРП.
Средняя величина ВРП равна средней арифметической простой:
Хср = ∑Х / n = 1414644,7 / 30 = 47154,82
Коэффициент вариации V = 61903,14 / 34382,1 = 1,80
Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Моду в интервальном ряду находим по формуле
Мо = Хмо + I (Fmo – F-1
) / ((Fmo – F-1
) + (Fmo – F+1
)), где
Хмо – начало модального интервала
Fmo – частота, соответствующая модальному интервалу
F-1
и F+1
– предмодальная и послемодальная частота
Мо = 2030,7 + 70821,7*(23–0) / ((23–0) +(23–6)) = 42753,18
Медианой называется вариант, который находится в середине вариационного ряда. В нашем случае это 15-й регион по порядку возрастания ВРП, т.е.
Ме=15462,2 млн. руб.
Квартили Q – значения признака в ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1, 25% единиц будут заключены межу Q1 и Q2, 25% – между Q2 и Q3, и остальные 25% превосходят Q3.
Q1
= XQ1
+ h ((n+1)/4 – S-1
) / fQ1
, где
XQ
1
– нижняя граница интервала, в которой находится первая квартиль;
S-1
– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;
fQ
1
– частота интервала, в котором находится первая квартиль
Q1 =2030,7+70821,7 * (31/4–0)/ 23 = 25894,5
Q2 = 2030,7+70821,7*(31/2–0)/23 = 49758,4
Q3 = 72852,4+70821,7*(31*0,75–23)/23=144443,9
4. Проверим гипотезу о законе распределения с помощью критерия согласия Пирсона χ2
.
Рассчитаем теоретические частоты попадания количества регионов в соответствующие группы. Х1 и Х2 – соответственно нижние и верхние границы интервалов. Т1 и Т2 – нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала. F1 и F2 – значения интегральной функции Лапласа для Т1 и Т2 – определяем по таблицам Лапласа. Оценка попадания случайной величины Р определяется как разница F(T1) – F(T2). Теоретическая частота f' = Р х 30. Составим таблицу 9.
Таблица 9. Расчет теоретических частот
Границы интервала
|
Фактич. частота f
|
T1 = (Х1 – Хср) / σ
|
T2 = (Х2 – Хср) / σ
|
F(Т1)
|
F (Т2)
|
Р
|
Теоретич. частота f'
|
-∞ – 2030,7
|
0
|
-∞
|
-0,729
|
-0,50
|
-0,2673
|
0,2327
|
7
|
-2030,7–72852,4
|
23
|
-0,729
|
0,415
|
-0,2673
|
0,1628
|
0,4301
|
13
|
72852,4–143674,1
|
6
|
0,415
|
1,559
|
0,1628
|
0,4406
|
0,2778
|
8
|
143674,1–214495,8
|
0
|
1,559
|
2,703
|
0,4406
|
0,4965
|
0,0559
|
2
|
214495,8–285317,5
|
0
|
2,703
|
3,847
|
0,4965
|
0,4999
|
0,0034
|
0
|
285317,5–356139
|
1
|
3,847
|
4,991
|
0,4999
|
0,5
|
0,0001
|
0
|
356139 – +∞
|
0
|
4,991
|
+∞
|
0,5
|
0,5
|
0
|
0
|
Итого
|
30
|
|
|
|
|
1,00
|
30
|
Проверка показывает, что расчеты сделаны правильно, так как равен итог фактических и теоретических частот.
Рассчитаем значение χ2
= ∑ (f – f')2
/ f', произведя расчеты в таблице
Оставляем 2 группы, объединив 1,2 в 1-ю группу, 3–7 во 2-ю группу. Результаты заносим в таблицу 10.
Таблица 10. Расчет фактического значения по критерию Пирсона
Границы интервала
|
f – f'
|
(f – f')2
|
(f – f')2
/ f'
|
-∞ -72852,4
|
3
|
9
|
0,45
|
72852,4-+∞
|
-3
|
9
|
0,9
|
Итого
|
|
|
1,35
|
Табличное значение критерия Пирсона при числе степеней свободы 1 и вероятности 0,99 составляет 1,64. Расчетное значение χ2
меньше табличного, поэтому гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.
Задание №4
1. По таблице случайных чисел определим порядковые номера и вид выборки. В выборочную совокупность войдут регионы по двум последним цифрам из 30 первых чисел подряд. Получаем:
12; 20; 22; 20; 24; 12.
Объем выборки – 6 единиц.
Получаем случайную повторную выборку. Величина ВРП:
13043,6; 13043,6; 37501,6; 37501,6; 50914,3; 85889,1.
Составим таблицу 11.
Таблица 11. Выборочная совокупность случайных величин
Объем ВРП
|
13043,6
|
37501,6
|
50914,3
|
85889,1
|
Кол-во регионов
|
2
|
2
|
1
|
1
|
2. Средняя величина по выборочной совокупности
Хср = (13043,6х2+37501,6х2+50914,3+85889,1) / 6 = 39649,0
S2
=[(13043,6–39649) 2
х2 + (37501,6–39649) 2
х2 + (50914,3–39649)2
+(85889,1–39649)2
] / 6 = 614995184
Среднее отклонение от средней в выборке S =√614995184 = ±24799,1
Средняя ошибка выборки σх
= ±24799,1 / √6 = ±10126,2
Предельная ошибка выборки (с вероятностью 0,95 по таблице распределения Лапласа) ∆σх
= 1,96 х 10126,2 = ±19847,4
Генеральная средняя находится в пределах:
39649–19847,4 = 19801,6
39649+19847,4 = 59496,4
Это соответствует расчетам средней арифметической простой 47154,82 и средней арифметической взвешенной 34382,1.
Задание №5
1. Примем стоимость ОПФ за факторный признак Х, Валовой региональный продукт ВРП за результативный Y.
Построим корреляционную таблицу 12
Таблица 12. Корреляционная таблица расчетов средней стоимости ОПФ и ВРП
№ группы
|
Количество регионов
|
Стоимость ОПФ всего
|
Средняя Стоимость ОПФ
|
ВРП всего
|
Средний ВРП
|
1
|
23
|
1553901
|
67561
|
380992
|
16565
|
2
|
6
|
904350
|
150725
|
677513,7
|
112919
|
5
|
1
|
641474
|
641474
|
356139
|
356139
|
Итого
|
30
|
3099725
|
|
1414644,7
|
|
Увеличение средних значений результативного признака с увеличением значений факторного признака свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной связи.
Используя данные индивидуальных значений построим график «поля корреляции».
3. По сгруппированным данным построим уравнение регрессии
На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой. Поэтому предполагаем наличие прямолинейной связи, которая выражается уравнением Yср = а0
+ а1
Х., где Х – стоимость ОПФ, Y – валовой региональный продукт. Используя метод наименьших квадратов, определим параметры уравнения, для этого решим систему нормальных уравнений
Рассчитаем значения и данные занесем в таблицу 13.
Таблица 13. Предварительный расчет
№ п/п
|
Х
|
Y
|
Х2
|
XY
|
y2
|
1
|
67561
|
16565
|
4564488721
|
1119147965
|
274399225
|
2
|
150725
|
112919
|
22718025625
|
17019716275
|
12750700561
|
3
|
641474
|
356139
|
411488892676
|
228453908886
|
126834987321
|
Итого
|
859760
|
485623
|
438771407022
|
246592773126
|
139860087107
|
n = 3 (количество групп)
Система уравнений примет вид
a0
n + a1
∑X = ∑Y
a0
∑X + a1
∑X2
= ∑XY
или
3a0
+ 859760a1
= 485623
859760a0
+ 438771407022a1
= 246592773126
Разделим каждый член обоих уравнений на коэффициенты при a0
или
a0
+ 286586,7a1
= 161874,3
a0
+ 510341,7a1
= 286815,8
Определим a1
вычитанием уравнений из друг друга
-223755а1
= -124941,5
a1
=0,558385
a0
= 161874,3 -286586,7 х0,558385 = 1848,5
Y = 1848,5 + 0,558385 Х
Подставим в формулу средние фактические значения Х:
Y.1
= 1848,5 + 0,558385 х 67561 =39573,5
Y2
= 1848,5 + 0,558385х150725=86011,1
Y3
= 1848,5 + 0,558385х641474 = 360038,0
Нанесем полученные теоретические значения ВРП на график в п. 2
Между признаками прямая корреляционная взаимосвязь.
4. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции
r = (3х246592773126 – 859760 х 485623) / √ (3х438771407022–8597602
) (3 х 139860087107 – 4856232)
= (739778319378 – 417519230480) /
√ (1316314221066 – 739187257600) (419580261321 – 235829698129) = 0,9896
Критическое значение для первого уровня значимости при ά=0,05 равно 0,9969. Значит по критерию Фишера коэффициент корреляции не может считаться существенным.
5. Для малого объема выборочной совокупности используется тот факт, что.
tрасч
= r√n-2 / √ (1-r2)
= 0.9896 / √ (1–0.98962)
= 6,880
В таблице значений ά – процентных пределов t ά,к
в зависимости от к степеней свободы и заданного уровня значимости ά для распределения Стьюдента при уровне значимости 1 величина ά при t = 6,314 составляет 10%. Это значит, что с вероятностью 90% можно считать, что существует прямая зависимость между изучаемыми признаками.
6. С вероятностью не более 90% можно сказать, что между стоимостью ОПФ и валовым региональным продуктом существует прямая зависимость.
Задание №6
1. Результативный признак – объем валового регионального продукта (ВРП).
Факторные признаки:
– численность занятого населения;
– стоимость основных фондов (ОФ)
Важность факторов с экономической точки зрения и последовательность их включения в уравнение регрессии определим:
1) Стоимость основных фондов
2) Численность занятого населения
2. Характер связей определим по коэффициентам Фехнера. Средняя по ОФ Х= 103324,2 млн. руб. Средняя по ВР Y = 47154,8 млн. руб.
Таблица 14. Зависимость ВРП от ОФ:
№ п/п
|
Ст-ть ОФ, млн. руб.
X
|
ВРП, млн. руб.,
Y
|
Зависимость отклонений индивидуальных значений признака от средней
|
Совпадение (а)
или несовпадение (b)
| |