Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт
Филиал г. Тула
Контрольная работа
по дисциплине "Эконометрика"
Вариант 8
Выполнила:
Проверил:
Тула
2008
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (
, млн. руб.) от объема капиталовложений (
, млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков
; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью
-критерия Фишера
, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя
при уровне значимости
, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения
точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Вариант 8
|
17
|
22
|
10
|
7
|
12
|
21
|
14
|
7
|
20
|
3
|
|
26
|
27
|
22
|
19
|
21
|
26
|
20
|
15
|
30
|
13
|
Решение:
1. Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:
Таблица 1
№наблюдения
|
X
|
Y
|
X2
|
X·Y
|
1
|
17
|
26
|
289
|
442
|
2
|
22
|
27
|
484
|
594
|
3
|
10
|
22
|
100
|
220
|
4
|
7
|
19
|
49
|
133
|
5
|
12
|
21
|
144
|
252
|
6
|
21
|
26
|
441
|
546
|
7
|
14
|
20
|
196
|
280
|
8
|
7
|
15
|
49
|
105
|
9
|
20
|
30
|
400
|
600
|
10
|
3
|
13
|
9
|
39
|
Сумма
|
133
|
219
|
2161
|
3211
|
Ср. значение
|
13,3
|
21,9
|
216,1
|
321,1
|
Найдем b:
Тогда
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx
=11,779+0,761x.
Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.
2. Вычислим остатки при помощи. Получим:
Таблица 2
ВЫВОД ОСТАТКА
|
Наблюдение
|
|
Остатки
|
|
1
|
24,72
|
1,284
|
1,649
|
2
|
28,52
|
-1,521
|
2,313
|
3
|
19,39
|
2,611
|
6,817
|
4
|
17,11
|
1,894
|
3,587
|
5
|
20,91
|
0,089
|
0,008
|
6
|
27,76
|
-1,76
|
3,098
|
7
|
22,43
|
-2,433
|
5,919
|
8
|
17,11
|
-2,106
|
4,435
|
9
|
27
|
3,001
|
9,006
|
10
|
14,06
|
-1,062
|
1,128
|
Сумма
|
219
|
-0,003
|
37,961
|
Найдем остаточную сумму квадратов:
Дисперсия остатков равна:
.
График остатков имеет следующий вид:
График 1
3. Проверим выполнение предпосылок МНК.
· Случайный характер остатков.
Случайный характер остатков εi
проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек εi
нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, εi
– случайные величины и применение МНК оправдано.
· Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.
Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi
. Следовательно, модель адекватна.
· Проверка гомоскедастичности остатков.
Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.
1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.
2) Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.
Таблица 3
|
х
|
y
|
x·y
|
x2
|
ŷ
|
εi
=yi
-ŷi
|
ε2
|
1
|
3
|
13
|
39
|
9
|
13,181
|
-0,181
|
0,033
|
2
|
7
|
19
|
133
|
49
|
17,197
|
1,803
|
3,251
|
3
|
7
|
15
|
105
|
49
|
17,197
|
-2,197
|
4,827
|
4
|
10
|
22
|
220
|
100
|
20,209
|
1,791
|
3,208
|
5
|
12
|
21
|
252
|
144
|
22,217
|
-1,217
|
1,481
|
Сумма
|
39
|
90
|
749
|
351
|
|
|
12,799
|
Ср.знач
|
7,8
|
18
|
149,8
|
70,2
|
|
|
|
|
х
|
y
|
x·y
|
x2
|
ŷ
|
εi
=yi
-ŷi
|
ε2
|
1
|
14
|
20
|
280
|
196
|
21,672
|
-1,672
|
2,796
|
2
|
17
|
26
|
442
|
289
|
24,252
|
1,748
|
3,056
|
3
|
20
|
30
|
600
|
400
|
26,832
|
3,168
|
10,036
|
4
|
21
|
26
|
546
|
441
|
27,692
|
-1,692
|
2,863
|
5
|
22
|
27
|
594
|
484
|
28,552
|
-1,552
|
2,409
|
Сумма
|
94
|
129
|
2462
|
1810
|
|
|
21,159
|
Ср.знач
|
18,8
|
25,8
|
492,4
|
362
|
|
|
|
3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.
,
.
4) Вычислим F- распределения.
Fнабл
=S2ŷ
/S1ŷ
=1,653.
5) Произведем сравнение Fнабл
и Fтабл
.
1,653<5,32 (при k1
=1 и k2
=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.
· Отсутствие автокорреляции.
Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
Таблица 4
|
ε
i
|
ε
i-1
|
ε
i
- ε
i-1
|
(ε
i
- ε
i-1
)2
|
1
|
1,284
|
|
|
|
2
|
-1,521
|
1,284
|
-2,805
|
7,868
|
3
|
2,611
|
-1,521
|
4,132
|
17,073
|
4
|
1,894
|
2,611
|
-0,717
|
0,5141
|
5
|
0,089
|
1,894
|
-1,805
|
3,258
|
6
|
-1,760
|
0,089
|
-1,849
|
3,4188
|
7
|
-2,433
|
-1,760
|
-0,673
|
0,4529
|
8
|
-2,106
|
-2,433
|
0,327
|
0,1069
|
9
|
3,001
|
-2,106
|
5,107
|
26,081
|
10
|
-1,062
|
3,001
|
-4,063
|
16,508
|
Сумма
|
|
|
|
75,282
|
; d=75,282/37,961=1,983.
Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.
· Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
;
,
;
,
где
Тогда
,
;
и
tтабл
=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа
и tb
> tтабл
, что говорит о значимости параметров модели.
5. Коэффициент детерминации находится по формуле:
.
Данные возьмем из таблицы 5:
Таблица 5
№
|
x
|
y
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17
|
26
|
3,7
|
4,1
|
13,69
|
16,81
|
1,284
|
4,938
|
2
|
22
|
27
|
8,7
|
5,1
|
75,69
|
26,01
|
-1,521
|
5,633
|
3
|
10
|
22
|
-3,3
|
0,1
|
10,89
|
0,01
|
2,611
|
11,868
|
4
|
7
|
19
|
-6,3
|
-2,9
|
39,69
|
8,41
|
1,894
|
9,968
|
5
|
12
|
21
|
-1,3
|
-0,9
|
1,69
|
0,81
|
0,089
|
0,424
|
6
|
21
|
26
|
7,7
|
4,1
|
59,29
|
16,81
|
-1,760
|
6,769
|
7
|
14
|
20
|
0,7
|
-1,9
|
0,49
|
3,61
|
-2,433
|
12,165
|
8
|
7
|
15
|
-6,3
|
-6,9
|
39,69
|
47,61
|
-2,106
|
14,040
|
9
|
20
|
30
|
6,7
|
8,1
|
44,89
|
65,61
|
3,001
|
10,003
|
10
|
3
|
13
|
-10,3
|
-8,9
|
106,09
|
79,21
|
-1,062
|
8,169
|
Сумма
|
133
|
219
|
|
|
392,1
|
264,9
|
|
83,979
|
Ср. знач.
|
13,3
|
21,9
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:
.
Fтабл
=5,32 (k1
=1, k2
=8 степенями свободы) ;
F>Fтабл
, что говорит о значимости уравнения регрессии.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
;
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.
Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.
6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:
где tα
=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1
Т.о.
Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513
Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833
Таблица 6
Нижняя граница
|
Прогноз
|
Верхняя граница
|
20,83
|
25,17
|
29,51
|
7.
Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.
График 2
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены
Х = 1/х.
Тогда уравнение примет вид:
ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6
Таблица 7
№
|
y
|
x
|
X
|
X2
|
Xy
|
ŷ
|
εi
|
ε
i
2
|
|
1
|
26
|
17
|
0,0588
|
0,0035
|
1,5294
|
24,41
|
1,59
|
2,52
|
6,11
|
2
|
27
|
22
|
0,0455
|
0,0021
|
1,2273
|
25,10
|
1,90
|
3,61
|
7,04
|
3
|
22
|
10
|
0,1000
|
0,0100
|
2,2000
|
22,29
|
-0,29
|
0,09
|
1,33
|
4
|
19
|
7
|
0,1429
|
0,0204
|
2,7143
|
20,09
|
-1,09
|
1,18
|
5,72
|
5
|
21
|
12
|
0,0833
|
0,0069
|
1,7500
|
23,15
|
-2,15
|
4,63
|
10,24
|
6
|
26
|
21
|
0,0476
|
0,0023
|
1,2381
|
24,99
|
1,01
|
1,02
|
3,89
|
7
|
20
|
14
|
0,0714
|
0,0051
|
1,4286
|
23,76
|
-3,76
|
14,16
|
18,82
|
8
|
15
|
7
|
0,1429
|
0,0204
|
2,1429
|
20,09
|
-5,09
|
25,88
|
33,91
|
9
|
30
|
20
|
0,0500
|
0,0025
|
1,5000
|
24,87
|
5,13
|
26,35
|
17,11
|
10
|
13
|
3
|
0,3333
|
0,1111
|
4,3333
|
10,28
|
2,72
|
7,38
|
20,90
|
Сумма
|
219
|
133
|
1,0757
|
0,1843
|
20,0638
|
|
|
86,82
|
125,07
|
Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
0,1076
|
0,0184
|
2,0064
|
|
|
|
|
Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.
Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:
.
График 3
Степенная
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + b lg x
Обозначим Y = lg ŷ;
A = lg a;
X = lg x
Тогда уравнение примет вид: Y = A + b
X - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:
Таблица 8
№
|
y
|
x
|
Y
|
X
|
YX
|
X2
|
ŷ
|
εi
|
ε
i
2
|
|
|
26
|
17
|
1,4150
|
1,2304
|
1,7411
|
1,5140
|
24,545
|
1,45
|
2,12
|
5,60
|
|
27
|
22
|
1,4314
|
1,3424
|
1,9215
|
1,8021
|
27,142
|
-0,14
|
0,02
|
0,52
|
|
22
|
10
|
1,3424
|
1,0000
|
1,3424
|
1,0000
|
19,957
|
2,04
|
4,17
|
9,29
|
|
19
|
7
|
1,2788
|
0,8451
|
1,0807
|
0,7142
|
17,365
|
1,63
|
2,67
|
8,60
|
|
21
|
12
|
1,3222
|
1,0792
|
1,4269
|
1,1646
|
21,427
|
-0,43
|
0,18
|
2,04
|
|
26
|
21
|
1,4150
|
1,3222
|
1,8709
|
1,7483
|
26,654
|
-0,65
|
0,43
|
2,51
|
|
20
|
14
|
1,3010
|
1,1461
|
1,4911
|
1,3136
|
22,755
|
-2,76
|
7,59
|
13,78
|
|
15
|
7
|
1,1761
|
0,8451
|
0,9939
|
0,7142
|
17,365
|
-2,37
|
5,59
|
15,77
|
|
30
|
20
|
1,4771
|
1,3010
|
1,9218
|
1,6927
|
26,151
|
3,85
|
14,81
|
12,83
|
|
13
|
3
|
1,1139
|
0,4771
|
0,5315
|
0,2276
|
12,479
|
0,52
|
0,27
|
4,01
|
Сумма
|
219
|
133
|
13,2729
|
10,5887
|
14,3218
|
11,8913
|
|
|
37,86
|
74,94
|
Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
1,3273
|
1,0589
|
1,4322
|
1,1891
|
|
|
|
|
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ=100,91 ·
x0,39
ŷ =8,13 · x0,39
.
График 4
· Показательная
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + x lg b
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b
Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx
- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.
Таблица
9
№наблюдения
|
y
|
x
|
Y
|
Yx
|
x2
|
ŷ
|
εi
|
ε
i
2
|
|
1
|
26
|
17
|
1,4150
|
24,0545
|
289
|
24,564
|
1,436
|
2,06
|
5,52
|
2
|
27
|
22
|
1,4314
|
31,4900
|
484
|
29,600
|
-2,600
|
6,76
|
9,63
|
3
|
22
|
10
|
1,3424
|
13,4242
|
100
|
18,920
|
3,080
|
9,49
|
14,00
|
4
|
19
|
7
|
1,2788
|
8,9513
|
49
|
16,917
|
2,083
|
4,34
|
10,96
|
5
|
21
|
12
|
1,3222
|
15,8666
|
144
|
20,385
|
0,615
|
0,38
|
2,93
|
6
|
26
|
21
|
1,4150
|
29,7144
|
441
|
28,516
|
-2,516
|
6,33
|
9,68
|
7
|
20
|
14
|
1,3010
|
18,2144
|
196
|
21,964
|
-1,964
|
3,86
|
9,82
|
8
|
15
|
7
|
1,1761
|
8,2326
|
49
|
16,917
|
-1,917
|
3,68
|
12,78
|
9
|
30
|
20
|
1,4771
|
29,5424
|
400
|
27,472
|
2,528
|
6,39
|
8,43
|
10
|
13
|
3
|
1,1139
|
3,3418
|
9
|
14,573
|
-1,573
|
2,47
|
12,10
|
Сумма
|
219
|
133
|
13,2729
|
182,8324
|
|