Содержание
Семестр 1_ 2
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации_ 2
Абсолютные, относительные, средние величины_ 2
Относительные величины_ 2
Средние величины_ 2
Статистические распределения и их характеристики_ 3
Показатели вариации (колеблемости) признака_ 4
Сложение дисперсий_ 4
Показатель асимметрии_ 5
Показатель эксцесса (островершинности) 5
Кривые распределения 5
Выборочное наблюдение 6
Формулы ошибок простой случайной выборки_ 7
Формулы для определения численности простой и случайной выборки_ 7
Типичная выборка_ 7
Серийная выборка_ 8
Малые выборки_ 8
Корреляционная связь_ 8
Уравнение регрессии_ 9
Ряды динамики_ 10
Показатели динамики_ 10
Средние показатели динамики_ 10
Тренды_ 11
Семестр 2 (Индексы) 11
Семестр 1
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации
Равный интервал
, величина интервала -
, m
– число групп
Формула Стерджесса (величина интервала) -
, n
– число наблюдений
Абсолютные, относительные, средние величины
Относительные величины (ОВ) динамики характеризуют изменение явления во времени. (Коэффициент роста)
Темп роста
– с переменной базой -
yn
– уровень явления за период
(например, выпуск продукции по кварталам года)
С постоянной базой -
, yk
– постоянная база сравнения
ОВ планового задания
-
ОВ выполнения плана
-
ОВ динамики
-
ОВ структуры
характеризуют долю отдельных частей в общем объеме совокупности (удельный вес) -
ОВ координации
отражают отношение численности двух частей единого целого, т. е. показывают, сколько единиц одной группы приходится в среднем на одну, на 10 или на 100 единиц другой изучаемой совокупности.
ОВ координации -
ОВ наглядности (сравнения)
отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям (например, сравнивается годовая производительность труда по 2-м предприятиям)
ОВ сравнения -
Степенные средние общего типового расчета:
Средняя степенная простая
-
,
- индивидуальное значение признака, по которому рассчитывается средняя,
n
– объем совокупности (число единиц)
Средняя степенная взвешенная
-
, fi
– частота повторения индивидуального признака
(
=n)
Значе-ние k
|
Наименование средней
|
Формула средней
|
Простая
|
Средняя
|
-1
|
Гармоническая
|
|
,
|
0
|
Геометрическая
|
|
|
1
|
Арифметическая
|
|
,
|
2
|
Квадратическая
|
|
|
гарм.
<
геом
<
арифм
<
квадрат
, x=w/f
Гармоническая простая – когда небольшая совокупность и индивидуальные значения не повторяются. Используется, если исчисляем среднюю из обратных величин.
Средняя квадратическая – для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков
Средняя геометрическая простая – для вычисления среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы.
Статистические распределения и их характеристики
Мода
– значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности
,
- нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой),
- величина интервала,
- частота в модальном интервале.
Медиана
– значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
- положение медианы
,
- нижняя граница медианного интервала,
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
- частота медианного интервала.
Квартель
,
,
Дециль
,
(от 1/10 до 9/10)
Среднее линейное отклонение
– на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.
-для несгруппированных данных (первичного ряда):
-для вариационного ряда:
Среднее квадратическое отклонение
- для несгруппированных данных:
- для вариационного ряда:
Дисперсия
- для несгруппированных данных:
- для вариационного ряда:
Коэффициент вариации
(используется для характеристики однородности совокупности по исследуемому признаку)
- до 17% – совокупность совершенно однородна, 17%-33% - достаточно однородна, >33% - неоднородна.
Величина общей дисперсии
(
) характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности
,
- общая средняя арифметическая для всей совокупности
Межгрупповая дисперсия
(
) отражает систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки
,
- средняя в каждой группе,
- число единиц в каждой группе
Средняя внутригрупповая дисперсия
(
) характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.
, где
- дисперсия по отдельной группе
или
Равенство:
Корреляционное отношение
,
>0,5 – связь между групповым фактором и результирующим признаком – тесная,
<0,5 – связь слабая
,
- центральный момент третьего порядка
Средняя квадратическая ошибка:
, n
– число наблюдений
Если
, асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если
, асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.
- правосторонняя асимметрия,
- левосторонняя асимметрия.
,
- центральный момент четвертого порядка
>0 – высоковершинное,
< 0 – низковершинное (
= -2 – предел)
Средняя квадратическая ошибка:
n
– число наблюдений
Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.
Плотность распределения (расчет теоретических частот)
,
- нормированное отклонение
,
- определяется по таблице (приложение 1)
Критерий согласия К. Пирсона (
для проверки близости теоретического и эмпирического распределений, для проверки соответствия эмпирического распределения закону нормального распределения)
f
– эмпирические частоты в интервале,
f
’
– теоретические частоты в интервале
Критерий согласия Романовского
,
m
– число групп,
m
-3 – число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения
Если к<3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения
Критерий Колмогорова
, D
– максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами,
n
– сумма эмпирических частот
Распределение Пуассона (теоретические частоты)
,
n
– общее число независимых испытаний, λ – среднее число появления редкого события в
n
одинаковых независимых испытаниях,
m
– частота данного события, е=2,71828
Выборочное наблюдение
N – объем генеральной совокупности
n – объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку)
- генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)
- выборочная средняя
р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности)
w – выборочная доля
- генеральная дисперсия
- выборочная дисперсия
- среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности
S – среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.
Неравенство Чебышеба
При неограниченном числе наблюдений, независящих друг от друга из генеральной совокупности с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет сколь угодно малой величиной
.
Теорема Ляпунова
Дает количественную оценку ошибки. При неограниченном объеме из генеральной совокупности с Р расхождения выборочной и генеральной средней равна интегралу Лапласа
,
- нормированная функция Лапласа (интеграл Лапласа)
Р – гарантированная вероятность
t – коэффициент доверия, зависящий от Р
Р
|
0,683
|
0,954
|
0,997
|
t
|
1
|
2
|
3
|
- предельная ошибка выборки
,
- стандартная среднеквадратическая ошибка
,
- предельная (максимально возможная) ошибка средней,
t
– коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки
,
- предельная (максимально возможная) ошибка доли
Средняя ошибка (n>30) при случайной повторной выборке:
,
При случайной бесповторной выборке:
,
|
Способ отбора единиц
|
повторный
|
бесповторный
|
Средняя ошибка μ:
Для средней
|
|
|
Для доли
|
|
|
Предельная ошибка Δ:
Для средней
|
|
|
Для доли
|
|
|
Доверительные интервалы для генеральной средней –
Доверительные интервалы для генеральной доли –
Доверительная вероятность – функция от t, вероятность находится по приложению3
|
Способ отбора единиц
|
повторный
|
бесповторный
|
Численность выборки (n):
Для средней
|
|
|
Для доли*
|
|
|
*
В случае, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w=0,5, то w(1-w)=0,25).
|
Применяется в тех случаях, когда из генеральной совокупности можно выделить однокачественные группы единиц (или однородные), затем из каждой группы случайно отобрать определенное число единиц в выборку.
Стандартная среднеквадратическая ошибка:
Повторный отбор -
,
- средняя из внутригрупповых
Бесповторный отбор -
Отбор единиц при типичной выборке из каждой типичной группы:
1.Равное число единиц
,
- число единиц, отобранных из
i
-ой типичной группы,
n
– общий объем,
R
– число групп
2.Пропорциональный отбор
,
- доля
i
-ой группы в общем объеме генеральной совокупности
3.Отбор единиц с учетом вариации случайного признака
Вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение.
Средняя стандартная ошибка:
Повторный отбор -
,
, m
– число отобранных серий,
- средний уровень признака в серии,
- средний уровень признака для всей выборочной совокупности
Бесповторный отбор -
, M
– общее число серий
Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n<30)
Средняя ошибка малой выборки
,
Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле
,
- значение функции Стьюдента (приложение 4)
Корреляционная связь
Для оценки однородности совокупности – коэффициент вариации по факторным признакам
, совокупность однородна, если
≤ 33%
Линейный коэффициент корреляции
Несгруппированные данные
Сгруппированные данные -
Оценка существенности линейного коэффициента корреляции
при большом объеме выборки
,
. Если это отношение больше значения t-критерия Стьюдента (приложение 6, k=n-2, вероятность – 1-α)
при недостаточно большом объеме выборки
,
Корреляционное отношение
,
, где
,
,
Признаки
|
А(да)
|
(нет)
|
Итого
|
В (да)
|
a
|
b
|
a+b
|
(нет)
|
c
|
d
|
c+d
|
Итого
|
a+c
|
b+d
|
n
|
A,b,c,d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков, n – общая сумма частот
|
Коэффициент ассоциации
Коэффициент контингенции
Линейная
Гиперболичская
Параболическая
Показательная
Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность
, если она <0,1 то можно применить линейную функцию.
,m
– число групп
. Если
< F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице (приложение 5) α=0,05, число степеней свободы числителя (k1
= m-2) и знаменателя (k2
=n-m))
Достоверность уравнения корреляционной зависимости
,
- средняя квадратическая ошибка,
y
– фактические значения результативного признака,
- значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии,
l
– число параметров в уравнении регрессии.
Если это отношение не превышает 10-15%, то уравнение хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.
Ряды динамики
Показатель
|
Метод расчета
|
С переменной базой (цепные)
|
С постоянной базой (базисные)
|
Абсолютный прирост (показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
|
|
|
Коэффициент роста (показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
|
|
|
Темп роста, % (это коэффициент роста, выраженный в %, показывает, сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периоа)
|
|
|
Темп прироста, % (показывает, на сколько % уровень текущего периода больше (меньше) уровня базисного периода)
|
|
|
Абсолютное значение 1% прироста (показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста)
|
|
|
Показатель
|
Метод расчета
|
Средний уровень ряда
-Для интервального ряда
|
|
-Для моментального ряда с равными интервалами
|
|
-Для моментального ряда с неравными интервалами
|
|
Средний абсолютный прирост
|
или
|
Средний коэффициент рост
|
или
|
Средний темп роста, %
|
|
Средний темп прироста, %
|
или
|
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста
|
|
Линейный
Пусть
=0, тогда если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) будут (-2, -1, 0, 1, 2). Если четное, то (-5, -3, -1, 1, 3, 5)
Семестр 2 (Индексы)
Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.
Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции
Индивидуальный индекс цен
Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции
Индивидуальный индекс стоимости продукции
Агрегатный индекс физического объема продукции
(Относительное изменение физического объема продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным)
- характеризует абсолютное изменение физического объема в относительном выражении без влияния ценового фактора.
Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции
, iq
– индивидуальный индекс по каждому виду продукции
Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции
Агрегатный индекс цен
(характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции)
- абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен
Агрегатный индекс цен
(характеризует среднее изменение цен на потребительские товары)
Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции
Двухфакторный индекс
Связь:
Индекс планового задания
Индекс степени выполнения плана
Связь:
Изменение себестоимости продукта А по фирме
, средняя себестоимость -
Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции
, d
0
– удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска продукта А
Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов:
, за счет изменения физического объема продукции -
, за счет изменения цен на продукцию -
Абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов:
, за счет изменения физического объема продукции -
, за счет среднего изменения себестоимости единицы продукции -
.
Выработка
- W = Q/T , W
– выработка,
Q
– физический объем реализованной продукции/услуг,
T
– затраты живого труда (среднесписочная численность работников/рабочих)
Трудоемкость
(показатель, обратный выработке) - t = 1/W = T/Q Трудоемкость характеризует величину затрат рабочего времени на единицу произведенной продукции.
Индекс динамики выработки переменного состава
, определяющий отношение выработки отчетного периода к выработке базисного периода - Iw
= W1
/W0
Этот индекс характеризует изменение производительности труда под влиянием всех факторов, а именно: НТП, человеческого фактора (квалификация и т.п.) и др.
Индекс динамики трудоемкости
- It
= t1
/t0
Индекс динамики трудоёмкости характеризует изменение трудоёмкости в отчетном периоде по сравнению с базисным, и его величина зависит от изменения трудоёмкости производимой продукции и от изменения объемов производства этой продукции.
IQ
= IW
* IT
– система связанных индексов, которая позволяет определить влияние интенсивных и экстенсивных факторов на изменение объема продукции, услуг.
Среднегодовая стоимость основных фондов
в базисном и отчетном годах -
,
- введенные в эксплуатацию фонды в течение года,
- число месяцев эксплуатации фондов в данном году,
- фонды, выбывшие из эксплуатации в течение года,
- число месяцев, оставшихся до конца года после выбытия фондов из эксплуатации.
Фондоотдача
-
.
Фондоёмкость
– показатель, обратный фондоотдаче, за базисный и отчетный годы по формуле
Индекс динамики фондоотдачи
IV
п.с.
=
=
Этот индекс характеризует изменение фондоотдачи под влиянием всех факторов, включая НТП (новая техника, технология), человеческий фактор, структурный фактор, который на уровне АО может выражаться в изменении состава основных фондов в отчетном по сравнению с базисным годом.
Индекс динамики фондоемкости
Влияние интенсивного (качественного) и экстенсивного (количественного) факторов
на абсолютное изменение физического объема продукции/услуг. Под экстенсивным фактором обычно понимают абсолютное изменение основных фондов. Под интенсивным – абсолютное изменение показателя фондоотдачи.
Влияние экстенсивного фактора:
Влияние интенсивного фактора:
Влияние обоих факторов
:
Показатели фондовооруженности рабочих
,
- среднесписочная численность рабочих
.
Индекс динамики фондовооруженности:
Коэффициент износа основных фондов
на конец отчетного года
Износ фондов
на конец отчетного года
|